Pensare un po' di più

Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.

Domande e risposte

Ordina per

In evidenza
In evidenza
Più recenti
Più popolari
Con risposta
Con miglior risposta
Senza risposta
Sk_Anonymous
Questo dovrebbe essere un iper-classico, ma lo propongo ugualmente. Dopo alcuni tentativi sono riuscito a risolverlo. Provare che un insieme aperto \(\displaystyle \mbox{A} \subset \mathbb{R} \) è l'unione al più numerabile di intervalli aperti disgiunti.
12
22 gen 2012, 21:30

giannirecanati
Sia \(\displaystyle \sigma \) una permutazione dell'insieme dei numeri \(\displaystyle 1,2,.... n \)(cioè un'applicazione biunivoca nell'insieme in sé). Poniamo \(\displaystyle N(\sigma)=\sum_{i=1}^{n} \left| \sigma(i)-i \right| \). Si determini il massimo valore che può assumere \(\displaystyle N(\sigma) \). Problema delle olimpiadi, ma non so proprio come approcciarlo.
3
22 gen 2012, 18:35

Pappappero1
Propongo qui un problema a cui sto pensando da alcuni giorni. Fissiamo un naturale $n > 1$ e associamo a $n$ un albero binario così definito: - la radice è $n$. - un nodo, etichettato con $k$, ha un solo figlio se $k$ è pari, e questo figlio si chiama $k/2$, e due figli se $k$ è dispari, indicati con $(k+1)/2$ e $(k-1)/2$. - un nodo non ha figli se è etichettato con ...
8
24 gen 2012, 10:50

Seneca1
Propongo questo esercizio (conto di pensarci nei prossimi giorni): Costruisci una funzione $f in C^(oo)$ (smooth function) positiva sull'insieme dei numeri razionali ed avente un'infinità più che numerabile di zeri.
7
19 gen 2012, 15:41

Sk_Anonymous
Questo esercizio è abbastanza tosto. Ci ho pensato un po', ma per ora non ho concluso alcunché. Siano \(\displaystyle m,n \; \in \mathbb{N} \) tali che \(\displaystyle m\le n \) e siano \(\displaystyle a_{m} \ge a_{m+1} \ge ... \ge a_{n} \ge 0 \) numeri reali. Provare che per ogni \(\displaystyle x \; \in (0,2\pi) \) vale la disuguaglianza \[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right | \le \frac{a_{m}}{\left | \sin(x/2) \right|} \]
18
10 dic 2011, 21:15

boba74
Posto anche qui, perchè nella sezione geometria è passata inosservata.... Scusate l'argomento un po' inusuale, ma si tratta di applicare la geometria alle forme "naturali" in questo caso i tronchi d'albero. A volte, alcuni tronchi d'albero crescono contorti, e le fibre del legno tendono ad avvolgersi a elica attorno al tronco anzichè mantenersi parallele all'asse. Senza parlare dei motivi di ciò (che vorrei capire, ma ancora non ci sono arrivato), mi è venuto in mente che potrebbe essere ...
4
17 gen 2012, 11:54

Steven11
E' stato dato quest'anno al test d'ammissione. Per chi vuole cimentarsi, è uno dei più semplici, insieme al numero 2, secondo me. Considera i numeri interi relativi $p_1, p_2, p_3$ e gli interi positivi $q_1, q_2, q_3$ tali che $|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$ Verificare che si ha $p_3=p_2+p_1$ e $q_3=q_2+q_1$ eventualmente dopo un riordinamento delle coppie $(p_1,q_1)$, $(p_2,q_2)$ e $(p_3,q_3)$ L'ultima frase è da leggersi così: non per forza deve essere ...
16
5 set 2008, 01:32

squall901
Salve a tutti, forse vi sembrerà una domanda un pò banale ma l'area del rettangolo base*altezza è data per definizione o si dimostra? E in caso fosse una definizione posso dire che l'ipervolume di un "iperettangolo" (chiamiamolo così) definito come prodotto cartesiano di n intervalli reali chiusi, è uguale alla produttoria delle lunghezze di tali intervalli?
3
13 gen 2012, 16:11

e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86
Volevo proporvi questo curioso risultato (la dimostrazione è elementare) e chiedervi se ne avete interpretazioni algebriche e/o categoriali. In linguaggio algebrico, dice sostanzialmente che se due elementi [tex]k,c[/tex] di un dato monoide verificano: (1) [tex]k^2=k[/tex], (2) [tex]c^2=1[/tex], (3) [tex](kc)^4=(kc)^2[/tex], allora il sottomonoide generato da [tex]k[/tex] e [tex]c[/tex] ha ordine al più [tex]14[/tex]. Se volete, la mia domanda è: cosa significa l'ipotesi (3)?

fu^2
una piccola cosa per iniziare l'anno (che io non sapevo e ho scoperto di recente). Dal momento che è più importante di quanto uno creda (me ne sto accorgendo ora nell'iniziare a studiare i preamboli della tesi) penso sia quantomeno interessante saperlo (anche se penso sia un argomento noto ai più), anche se non è un risultato difficile. Consideriamo una successione superadditiva, ovvero t.c. $a_{n+m}\geq a_n+a_m$ per ogni $n,m$ naturali. Allora la successione ...
1
3 gen 2012, 09:07

Sk_Anonymous
Questo esercizio proviene da un libro di Algebra di cui mi sto innamorando. Non è difficile, ma io l'ho trovato propedeutico in quanto mi ha permesso di ragionare intorno ad alcune questioni algebriche abbastanza sottili. Possiedo una mia soluzione. Si dimostri che se \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \) sono gruppi finiti, \(\displaystyle |G| \) e \(\displaystyle |H| \) sono primi tra loro, ed \(\displaystyle f:G \to H \) è un omomorfismo di gruppi, allora \(\displaystyle ...
6
31 dic 2011, 01:48

spiovan
Ciao a tutti, vorrei sottoporre al forum un problema, penso relativamente semplice, ma nello stesso tempo esemplificativo di un problema matematico "pratico" che ho affrontato dove lavoro. Si tratta di un meccanismo che deve spargere della salsa di pomodoro sopra alla base di una pizza secondo una spirale di Archimede, partendo dall'esterno (vicino alla crosta) ed andando verso il centro, allo scopo di imitare il piu' possibile quello che fa il pizzaiolo con il cucchiaio per cercare di ...
3
17 dic 2011, 11:39

gugo82
Rompo il mio pubblico silenzio con questo post (raggiungendo, tra l'altro, un numero palindromo). Nonostante sembri complicato, questo è un esercizio fondamentalmente "semplice"; perciò gradirei che ci provassero i "giovani" (ad esempio, gli studenti che hanno già visto o stanno studiando argomenti di Analisi superiore). *** Notazioni e definizioni utili: Qui e nel seguito \(B(x_0;R)\) e \(B^\prime (x_0;R)\) denotano, rispettivamente, la palla aperta di \(\mathbb{R}^N\) con centro \(x_0\in ...
4
29 ott 2011, 17:16

Paolo902
Problema. Sia $(a_n)_{n \in \NN}$ la ben nota successione di Fibonacci, cioè la successione definita ricorsivamente da $a_0=0$, $a_1=1$, $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ per $n>=2$. Si chiede di determinare il raggio di convergenza della serie di potenze (in campo complesso) \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n \] Bonus. Naturalmente, i più volenterosi possono anche pensare a una generalizzazione del problema (bisogna saper smanettare un minimo con le equazioni alle differenze).
5
10 dic 2011, 17:20

Andrea2976
Sia $f$ una funzione reale definita e continua su $(0,1]$. Se esistono $M \in \R_{+}$ e $H \in (\frac{1}{2},1)$ tali che: $|f(s)| \leq Ms^{\frac{1}{2}-H} \quad , \quad s\in (0,1]$ allora $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} n (\int_{\frac{i-1}{n} }^{\frac{i}{n}}f(s)ds)^{2}=\int_{0}^{1}f^{2}(s)ds$ P.S. Ho una mia dimostrazione che risale ai tempi della laurea.
3
9 dic 2011, 15:52

DajeForte
Salve a tutti. Questa sera pensavo alla legge dei grandi numeri e mi sono chiesto: se $a_n$ e' una successione tale che $1/n sum_{k=1}^n a_k$ converge allora $1/n sum_{k=1}^n |a_k|$ converge. Non dovrebbe essere troppo complesso; domani, penso, ci riflettero'; intanto sono curioso di sapere i vostri pareri. Grazie, ciao.
6
1 dic 2011, 00:20

Omar931
Si è tosto ma fa niente. Dati due punti A e B inizialmente separati da una distanza l. Sia [tex]v_a[/tex] maggiore di [tex]v_b[/tex]. (sicuramente parlo dei moduli) Il vettore [tex]v_a[/tex] è sempre puntato su B. Mentre B ha un moto rettilineo uniforme. Dopo quanto tempo A e B s'incontrano? Edit: grazie gugo me ne ero scordato!
2
29 nov 2011, 21:54

Paolo902
Esercizio. Si calcoli il valore esatto della somma \[ 1+ \cos\left(\frac{2}{15}\pi\right) + \cos\left(\frac{4}{15}\pi\right) + \ldots + \cos\left(\frac{14}{15}\pi\right) \] Bonus. Generalizzare il risultato ottenuto. E' un esercizio secondo me molto bello, soprattutto per quanto riguarda la generalizzazione. Sono in possesso di una soluzione, che ho elaborato io e che fa uso di "alcuni" strumenti (non dico quali per non svelare tutto ). Ma non escludo ci siano altre vie, magari più ...
2
19 nov 2011, 20:38

e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86
Allora Magari sarà una stupidata (nel quale caso chiuderò io stesso questa discussione), ma è da un giorno intero che mi struggo su una certa disuguaglianza che ora ho risolto tramite mathoverflow (mitico). Però è rimasta una cosa in qualche modo in sospeso. Condivido con voi questa cosa perché la ritengo curiosa. Poi magari è una banalità, non so. Definiamo [tex]f(n,k) := \sum_{i=1}^k {n \choose i}[/tex]. Volevo dimostrare che se [tex]n[/tex] è abbastanza grande allora [tex]f(n,[n/3]) ...

Sk_Anonymous
Propongo questo interessante esercizio che il mio professore di analisi ha inserito nei fogli settimanali. Possiedo una mia soluzione. Per \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle a_{n} \in \mathbb{R} \) l'unica radice positiva del polinomio \(\displaystyle p_{n}(x)=x^{n} + x^{n-1} + ... + x -1 \) nella variabile \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \). Provare che la successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge e calcolarne il ...
5
15 nov 2011, 14:56