Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Questo dovrebbe essere un iper-classico, ma lo propongo ugualmente. Dopo alcuni tentativi sono riuscito a risolverlo.
Provare che un insieme aperto \(\displaystyle \mbox{A} \subset \mathbb{R} \) è l'unione al più numerabile di intervalli aperti disgiunti.
Sia \(\displaystyle \sigma \) una permutazione dell'insieme dei numeri \(\displaystyle 1,2,.... n \)(cioè un'applicazione biunivoca nell'insieme in sé). Poniamo \(\displaystyle N(\sigma)=\sum_{i=1}^{n} \left| \sigma(i)-i \right| \). Si determini il massimo valore che può assumere \(\displaystyle N(\sigma) \).
Problema delle olimpiadi, ma non so proprio come approcciarlo.
Propongo qui un problema a cui sto pensando da alcuni giorni.
Fissiamo un naturale $n > 1$ e associamo a $n$ un albero binario così definito:
- la radice è $n$.
- un nodo, etichettato con $k$, ha un solo figlio se $k$ è pari, e questo figlio si chiama $k/2$, e due figli se $k$ è dispari, indicati con $(k+1)/2$ e $(k-1)/2$.
- un nodo non ha figli se è etichettato con ...
Propongo questo esercizio (conto di pensarci nei prossimi giorni):
Costruisci una funzione $f in C^(oo)$ (smooth function) positiva sull'insieme dei numeri razionali ed avente un'infinità più che numerabile di zeri.
Questo esercizio è abbastanza tosto. Ci ho pensato un po', ma per ora non ho concluso alcunché.
Siano \(\displaystyle m,n \; \in \mathbb{N} \) tali che \(\displaystyle m\le n \) e siano \(\displaystyle a_{m} \ge a_{m+1} \ge ... \ge a_{n} \ge 0 \) numeri reali. Provare che per ogni \(\displaystyle x \; \in (0,2\pi) \) vale la disuguaglianza \[\displaystyle \left | \sum_{k=m}^{n} a_{k} e^{ikx} \right | \le \frac{a_{m}}{\left | \sin(x/2) \right|} \]
Posto anche qui, perchè nella sezione geometria è passata inosservata....
Scusate l'argomento un po' inusuale, ma si tratta di applicare la geometria alle forme "naturali" in questo caso i tronchi d'albero.
A volte, alcuni tronchi d'albero crescono contorti, e le fibre del legno tendono ad avvolgersi a elica attorno al tronco anzichè mantenersi parallele all'asse. Senza parlare dei motivi di ciò (che vorrei capire, ma ancora non ci sono arrivato), mi è venuto in mente che potrebbe essere ...
E' stato dato quest'anno al test d'ammissione.
Per chi vuole cimentarsi, è uno dei più semplici, insieme al numero 2, secondo me.
Considera i numeri interi relativi $p_1, p_2, p_3$ e gli interi positivi $q_1, q_2, q_3$ tali che
$|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$
Verificare che si ha
$p_3=p_2+p_1$ e $q_3=q_2+q_1$
eventualmente dopo un riordinamento delle coppie $(p_1,q_1)$, $(p_2,q_2)$ e $(p_3,q_3)$
L'ultima frase è da leggersi così: non per forza deve essere ...
Salve a tutti, forse vi sembrerà una domanda un pò banale ma l'area del rettangolo base*altezza è data per definizione o si dimostra? E in caso fosse una definizione posso dire che l'ipervolume di un "iperettangolo" (chiamiamolo così) definito come prodotto cartesiano di n intervalli reali chiusi, è uguale alla produttoria delle lunghezze di tali intervalli?
Volevo proporvi questo curioso risultato (la dimostrazione è elementare) e chiedervi se ne avete interpretazioni algebriche e/o categoriali.
In linguaggio algebrico, dice sostanzialmente che se due elementi [tex]k,c[/tex] di un dato monoide verificano:
(1) [tex]k^2=k[/tex], (2) [tex]c^2=1[/tex], (3) [tex](kc)^4=(kc)^2[/tex],
allora il sottomonoide generato da [tex]k[/tex] e [tex]c[/tex] ha ordine al più [tex]14[/tex].
Se volete, la mia domanda è: cosa significa l'ipotesi (3)?
una piccola cosa per iniziare l'anno (che io non sapevo e ho scoperto di recente).
Dal momento che è più importante di quanto uno creda (me ne sto accorgendo ora nell'iniziare a studiare i preamboli della tesi) penso sia quantomeno interessante saperlo (anche se penso sia un argomento noto ai più), anche se non è un risultato difficile.
Consideriamo una successione superadditiva, ovvero t.c. $a_{n+m}\geq a_n+a_m$ per ogni $n,m$ naturali.
Allora la successione ...
Questo esercizio proviene da un libro di Algebra di cui mi sto innamorando. Non è difficile, ma io l'ho trovato propedeutico in quanto mi ha permesso di ragionare intorno ad alcune questioni algebriche abbastanza sottili. Possiedo una mia soluzione.
Si dimostri che se \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \) sono gruppi finiti, \(\displaystyle |G| \) e \(\displaystyle |H| \) sono primi tra loro, ed \(\displaystyle f:G \to H \) è un omomorfismo di gruppi, allora \(\displaystyle ...
Ciao a tutti,
vorrei sottoporre al forum un problema, penso relativamente semplice, ma nello stesso tempo esemplificativo di un problema matematico "pratico" che ho affrontato dove lavoro. Si tratta di un meccanismo che deve spargere della salsa di pomodoro sopra alla base di una pizza secondo una spirale di Archimede, partendo dall'esterno (vicino alla crosta) ed andando verso il centro, allo scopo di imitare il piu' possibile quello che fa il pizzaiolo con il cucchiaio per cercare di ...
Rompo il mio pubblico silenzio con questo post (raggiungendo, tra l'altro, un numero palindromo).
Nonostante sembri complicato, questo è un esercizio fondamentalmente "semplice"; perciò gradirei che ci provassero i "giovani" (ad esempio, gli studenti che hanno già visto o stanno studiando argomenti di Analisi superiore).
***
Notazioni e definizioni utili:
Qui e nel seguito \(B(x_0;R)\) e \(B^\prime (x_0;R)\) denotano, rispettivamente, la palla aperta di \(\mathbb{R}^N\) con centro \(x_0\in ...
Problema. Sia $(a_n)_{n \in \NN}$ la ben nota successione di Fibonacci, cioè la successione definita ricorsivamente da $a_0=0$, $a_1=1$, $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ per $n>=2$.
Si chiede di determinare il raggio di convergenza della serie di potenze (in campo complesso)
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n
\]
Bonus. Naturalmente, i più volenterosi possono anche pensare a una generalizzazione del problema (bisogna saper smanettare un minimo con le equazioni alle differenze).
Sia $f$ una funzione reale definita e continua su $(0,1]$. Se esistono $M \in \R_{+}$ e $H \in (\frac{1}{2},1)$ tali
che:
$|f(s)| \leq Ms^{\frac{1}{2}-H} \quad , \quad s\in (0,1]$
allora
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} n (\int_{\frac{i-1}{n} }^{\frac{i}{n}}f(s)ds)^{2}=\int_{0}^{1}f^{2}(s)ds$
P.S. Ho una mia dimostrazione che risale ai tempi della laurea.
Salve a tutti.
Questa sera pensavo alla legge dei grandi numeri e mi sono chiesto:
se $a_n$ e' una successione tale che $1/n sum_{k=1}^n a_k$ converge
allora $1/n sum_{k=1}^n |a_k|$ converge.
Non dovrebbe essere troppo complesso; domani, penso, ci riflettero'; intanto sono curioso di sapere i vostri pareri.
Grazie, ciao.
Si è tosto ma fa niente.
Dati due punti A e B inizialmente separati da una distanza l.
Sia [tex]v_a[/tex] maggiore di [tex]v_b[/tex]. (sicuramente parlo dei moduli)
Il vettore [tex]v_a[/tex] è sempre puntato su B. Mentre B ha un moto rettilineo uniforme.
Dopo quanto tempo A e B s'incontrano?
Edit: grazie gugo me ne ero scordato!
Esercizio. Si calcoli il valore esatto della somma
\[
1+ \cos\left(\frac{2}{15}\pi\right) + \cos\left(\frac{4}{15}\pi\right) + \ldots + \cos\left(\frac{14}{15}\pi\right)
\]
Bonus. Generalizzare il risultato ottenuto.
E' un esercizio secondo me molto bello, soprattutto per quanto riguarda la generalizzazione. Sono in possesso di una soluzione, che ho elaborato io e che fa uso di "alcuni" strumenti (non dico quali per non svelare tutto ).
Ma non escludo ci siano altre vie, magari più ...
Allora
Magari sarà una stupidata (nel quale caso chiuderò io stesso questa discussione), ma è da un giorno intero che mi struggo su una certa disuguaglianza che ora ho risolto tramite mathoverflow (mitico). Però è rimasta una cosa in qualche modo in sospeso. Condivido con voi questa cosa perché la ritengo curiosa. Poi magari è una banalità, non so.
Definiamo [tex]f(n,k) := \sum_{i=1}^k {n \choose i}[/tex]. Volevo dimostrare che se [tex]n[/tex] è abbastanza grande allora [tex]f(n,[n/3]) ...
Propongo questo interessante esercizio che il mio professore di analisi ha inserito nei fogli settimanali. Possiedo una mia soluzione.
Per \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle a_{n} \in \mathbb{R} \) l'unica radice positiva del polinomio \(\displaystyle p_{n}(x)=x^{n} + x^{n-1} + ... + x -1 \) nella variabile \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \). Provare che la successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge e calcolarne il ...
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