Dimostrazione disuguaglianza - SNS1991
Salve a tutti. Ho questo problema:
"Provare che per ogni numero intero $n>=2$, si ha $root(n) (n!) < (n+1)/2$" .
Essendoci una disequazione in $n$ numero intero, ho pensato che si potesse dimostrarla con il principio di induzione. Quindi ipotizzando che sia vera per $n$, provo a dimostrare che sia vera per $n+1$.
$root(n+1) (n+1)! < (n+2)/2$
Il primo membro può essere scritto come $root(n+1) (n!) * root(n+1) (n+1)$.
Per ogni $n$ si ha che $root(n+1) (n!)$ è minore di $root(n) (n!)$ , che per ipotesi è minore di $(n+1)/2$. Quindi
$root(n+1) (n!) < (n+1)/2$.
E' solo che quella parte è moltiplicata per un'altra radice, quindi non so più come andare avanti..
Grazie mille dell'aiuto, sempre prezioso.
[mod="@melia"]Ti ho corretto le radici e ho tolto le tue precisazioni, altrimenti il testo risultava di difficile comprensione, spero di non aver fatto pasticci[/mod]
"Provare che per ogni numero intero $n>=2$, si ha $root(n) (n!) < (n+1)/2$" .
Essendoci una disequazione in $n$ numero intero, ho pensato che si potesse dimostrarla con il principio di induzione. Quindi ipotizzando che sia vera per $n$, provo a dimostrare che sia vera per $n+1$.
$root(n+1) (n+1)! < (n+2)/2$
Il primo membro può essere scritto come $root(n+1) (n!) * root(n+1) (n+1)$.
Per ogni $n$ si ha che $root(n+1) (n!)$ è minore di $root(n) (n!)$ , che per ipotesi è minore di $(n+1)/2$. Quindi
$root(n+1) (n!) < (n+1)/2$.
E' solo che quella parte è moltiplicata per un'altra radice, quindi non so più come andare avanti..
Grazie mille dell'aiuto, sempre prezioso.
[mod="@melia"]Ti ho corretto le radici e ho tolto le tue precisazioni, altrimenti il testo risultava di difficile comprensione, spero di non aver fatto pasticci[/mod]
Risposte
Butto lì un'idea molto generica, senza riflettere: al membro sinistro della disuguaglianza da dimostrare compare una media geometrica:
[tex]\displaystyle \left( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \right)^\frac{1}{n}[/tex]
Hai provato a giocare con le disuguaglianze standard tra medie?
[tex]\displaystyle \left( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \right)^\frac{1}{n}[/tex]
Hai provato a giocare con le disuguaglianze standard tra medie?
direi che l'idea di dissonance è risolutiva, se sai che
$root(n)(prod_(i=1)^(n)x_i)<=(sum_(i=1)^(n)x_i)/n$
e questa è proprio la nota disuguaglianza AM-GM (la prima è la media geometrica, la seconda è la media aritmetica)
in due passaggi hai finito.
P.S. bentornata elios, ci mancavano i quesiti SNS!!
$root(n)(prod_(i=1)^(n)x_i)<=(sum_(i=1)^(n)x_i)/n$
e questa è proprio la nota disuguaglianza AM-GM (la prima è la media geometrica, la seconda è la media aritmetica)
in due passaggi hai finito.
P.S. bentornata elios, ci mancavano i quesiti SNS!!
Grazie mille della correzione al testo e dei suggerimenti! E grazie del bentornata! 
Ricapitolando, noto che $root(n) (n!)$ è la media geometrica dei primi $n$ numeri naturali, la quale, per AM-GM, è minore della media aritmetica $(1+2+3+...+n)/n$. Ricordando che la somma dei primi $n$ numeri naturali (cioè il denominatore della media aritmetica) è $n(n+1)/2$, allora la media aritmetica è $n(n+1)/2*1/n = (n+1)/2$, come volevasi dimostrare.
Grazie ancora!
Ricapitolando, noto che $root(n) (n!)$ è la media geometrica dei primi $n$ numeri naturali, la quale, per AM-GM, è minore della media aritmetica $(1+2+3+...+n)/n$. Ricordando che la somma dei primi $n$ numeri naturali (cioè il denominatore della media aritmetica) è $n(n+1)/2$, allora la media aritmetica è $n(n+1)/2*1/n = (n+1)/2$, come volevasi dimostrare.
Grazie ancora!
Anche io avevo pensato di dimostrarlo per induzione... Basta elevare alla \(n\), è lecito, siamo in \(\mathbb{N}\) e dobbiamo dimostrare la disuguaglianza per \(n\geq 2\)
\[\sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}{2}\]
\[n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\]
Supponiamo questa disuguaglianza vera. È vera anche per \(n+1\)?
\[(n+1)!\overset{?}{<}\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}\]
\[(n+1)n!\overset{?}{<}\left(\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\]
\[n!\overset{?}{<}\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\]
Abbiamo supposto vera \(n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\), quindi se \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\geq 1\) allora \(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\geq\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\) e di conseguenza la disuguaglianza sopra risulta vera. Studiamo \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\). È sempre maggiore o uguale a uno?
\[\frac{1}{2} \, \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{{\left(n + 1\right)}}\geq 1\]
\[\frac{(n+2)^{n+1}-2(n+1)^{n+1}}{2(n+1)^{n+1}}\geq 0\]
\[(n+2)^{n+1}-2(n+1)^{n+1}\geq 0 \text{, verificata } \forall\, n\in \mathbb{N}\]
(basta provare a vedere cosa succede quando n cresce, partendo da zero...)
Quindi, essendo \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\) \(\forall\, n\in \mathbb{N}\) maggiore di uno o al più uguale per \(n=0\), abbiamo dimostrato che, se è vera la disuguaglianza che vogliamo dimostrare, è vera anche per \(n+1\). Se verifichiamo che la disuguaglianza vale per un qualsiasi intero \(n\) questa quindi sarà valida anche per tutti gli interi successivi. Troviamo che
\[2!<\left(\frac{2+1}{2}\right)^2\]
\[\sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}{2}\]
\[n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\]
Supponiamo questa disuguaglianza vera. È vera anche per \(n+1\)?
\[(n+1)!\overset{?}{<}\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}\]
\[(n+1)n!\overset{?}{<}\left(\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\]
\[n!\overset{?}{<}\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\]
Abbiamo supposto vera \(n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\), quindi se \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\geq 1\) allora \(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\geq\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\) e di conseguenza la disuguaglianza sopra risulta vera. Studiamo \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\). È sempre maggiore o uguale a uno?
\[\frac{1}{2} \, \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{{\left(n + 1\right)}}\geq 1\]
\[\frac{(n+2)^{n+1}-2(n+1)^{n+1}}{2(n+1)^{n+1}}\geq 0\]
\[(n+2)^{n+1}-2(n+1)^{n+1}\geq 0 \text{, verificata } \forall\, n\in \mathbb{N}\]
(basta provare a vedere cosa succede quando n cresce, partendo da zero...)
Quindi, essendo \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\) \(\forall\, n\in \mathbb{N}\) maggiore di uno o al più uguale per \(n=0\), abbiamo dimostrato che, se è vera la disuguaglianza che vogliamo dimostrare, è vera anche per \(n+1\). Se verifichiamo che la disuguaglianza vale per un qualsiasi intero \(n\) questa quindi sarà valida anche per tutti gli interi successivi. Troviamo che
\[2!<\left(\frac{2+1}{2}\right)^2\]
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