[EX] Punto singolare sul bordo del cerchio di convergenza
A me è piaciuto molto come risultato e propongo che siano coloro che non lo conoscevano a darne una dimostrazione.
Teorema: Sia $f(z) = sum_(k=0)^(+oo) a_k (z - z_0)^k$ una serie di potenze e sia $r > 0$ il suo raggio di convergenza. Si provi che sul bordo del cerchio di convergenza $ \partial B_r(z_0)$ esiste almeno un punto singolare.
Suggerimento:
Teorema: Sia $f(z) = sum_(k=0)^(+oo) a_k (z - z_0)^k$ una serie di potenze e sia $r > 0$ il suo raggio di convergenza. Si provi che sul bordo del cerchio di convergenza $ \partial B_r(z_0)$ esiste almeno un punto singolare.
Suggerimento:
Risposte
Non ho capito una cosa, scusami: che tipo di convergenza c'è sul bordo? Immagino che su $\partial B_{r}(z_0)$ ci sia convergenza solo semplice, i.e. non assoluta. Giusto? 
"Paolo90":
Non ho capito una cosa, scusami: che tipo di convergenza c'è sul bordo? Immagino che su $\partial B_{r}(z_0)$ ci sia convergenza solo semplice, i.e. non assoluta. Giusto?
Ciao Paolo... Non ci sono ipotesi sul comportamento della serie sul bordo del cerchio di convergenza.
EDIT: La serie di potenze oggetto del teorema sopra descritto è chiamata, secondo il linguaggio classico, un elemento analitico di centro $z_0$.
Ti spiacerebbe ricordare la definizione di punto singolare? Perché con quella che ho in mente io l'unica risposta che mi viene da dare è "ovvio", quindi immagino che tu stia usando una definizione un po' diversa! 
Un punto singolare per $f(z) = \sum a_k (z - z_0)^k$ è un punto in cui la serie $f(z)$ non converge.
EDIT: Con questa definizione l'asserto non è vero (vd. esempio di Paolo90 nel post seguente).
EDIT: Con questa definizione l'asserto non è vero (vd. esempio di Paolo90 nel post seguente).
Allora temo proprio di non aver capito.
Prendi la serie (invento) $\sum_{n=1}^{\infty}z^n/n^2$. Il centro è 0, il raggio è 1. Di più, sul bordo c'è convergenza assoluta: infatti, se $|z|=1$, allora $\sum_{n=1}^{\infty} |z^n|/|n^2| = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ che converge (e sappiamo pure la somma!).
Più in generale, si può dimostrare - ed è molto semplice - che se una serie converge assolutamente in un punto del bordo del cerchio di convergenza, allora converge assolutamente su tutto il bordo (il motivo di ciò è molto semplice: in soldoni, tutti i punti sulla circonferenza-bordo hanno lo stesso modulo!).
Che cosa mi perdo? Grazie
Prendi la serie (invento) $\sum_{n=1}^{\infty}z^n/n^2$. Il centro è 0, il raggio è 1. Di più, sul bordo c'è convergenza assoluta: infatti, se $|z|=1$, allora $\sum_{n=1}^{\infty} |z^n|/|n^2| = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ che converge (e sappiamo pure la somma!).
Più in generale, si può dimostrare - ed è molto semplice - che se una serie converge assolutamente in un punto del bordo del cerchio di convergenza, allora converge assolutamente su tutto il bordo (il motivo di ciò è molto semplice: in soldoni, tutti i punti sulla circonferenza-bordo hanno lo stesso modulo!).
Che cosa mi perdo? Grazie
Sottoscrivo quanto detto da Paolo. E questo avvalora il mio dubbio precedente. Guarda, citando da Rudin (capitolo 16, prima definizione):
Definizione. Sia [tex]D[/tex] un disco aperto, sia [tex]f \in H(D)[/tex]. Sia [tex]\beta[/tex] un punto di frontiera per [tex]D[/tex]. Diciamo che [tex]\beta[/tex] è un punto regolare per [tex]f[/tex] se esiste un disco [tex]D_1[/tex] centrato in [tex]\beta[/tex] ed una funzione [tex]g \in H(D_1)[/tex] tale che [tex]g_{\mid D \cap D_1} = f_{D \cap D_1}[/tex]. Ogni punto di frontiera di [tex]D[/tex] che non è regolare è chiamato punto singolare.
E questa era la definizione che mi ricordavo di punto singolare. Ora, con questa definizione il tuo claim diventa vero, ma, come ti comunicavo in privato, la soluzione è sostanzialmente ovvia.
Posso chiederti a quali fonti stai attingendo?
@Paolo: con questa definizione, come dicevo, l'asserto diventa vero. L'arcano sta nel fatto che la "geometria" associata alla tua serie è più complessa di quello che sembra e, anzi, è un esempio che mi fa pensare un sacco. Tu puoi estendere sempre una funzione olomorfa (ad esempio, una serie di potenze) in modo, diciamo, "illimitato". Il problema è che salta fuori che alcune funzioni non possono essere definite su [tex]\mathbb C[/tex]; la cosa sorprendente è che la loro struttura analitica determina completamente la geometria del luogo dove si va ad estendere (e questo è un giro di parole poco elegante per evitare di dire superficie di Riemann). Ad esempio, lo sviluppo in serie del logaritmo determina automaticamente il famoso elicoide! Sorprendente, vero?!
Definizione. Sia [tex]D[/tex] un disco aperto, sia [tex]f \in H(D)[/tex]. Sia [tex]\beta[/tex] un punto di frontiera per [tex]D[/tex]. Diciamo che [tex]\beta[/tex] è un punto regolare per [tex]f[/tex] se esiste un disco [tex]D_1[/tex] centrato in [tex]\beta[/tex] ed una funzione [tex]g \in H(D_1)[/tex] tale che [tex]g_{\mid D \cap D_1} = f_{D \cap D_1}[/tex]. Ogni punto di frontiera di [tex]D[/tex] che non è regolare è chiamato punto singolare.
E questa era la definizione che mi ricordavo di punto singolare. Ora, con questa definizione il tuo claim diventa vero, ma, come ti comunicavo in privato, la soluzione è sostanzialmente ovvia.
Posso chiederti a quali fonti stai attingendo?
@Paolo: con questa definizione, come dicevo, l'asserto diventa vero. L'arcano sta nel fatto che la "geometria" associata alla tua serie è più complessa di quello che sembra e, anzi, è un esempio che mi fa pensare un sacco. Tu puoi estendere sempre una funzione olomorfa (ad esempio, una serie di potenze) in modo, diciamo, "illimitato". Il problema è che salta fuori che alcune funzioni non possono essere definite su [tex]\mathbb C[/tex]; la cosa sorprendente è che la loro struttura analitica determina completamente la geometria del luogo dove si va ad estendere (e questo è un giro di parole poco elegante per evitare di dire superficie di Riemann). Ad esempio, lo sviluppo in serie del logaritmo determina automaticamente il famoso elicoide! Sorprendente, vero?!
Vi chiedo scusa, ho fatto una confusione terribile. In effetti mi torna tutto ciò che ha scritto Paolo.
Avevo letto il teorema usando una definizione diversa da quella che usa il testo (ed evidentemente le due nozioni non sono equivalenti).
Il testo da cui ho tratto questo risultato è "Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa" di Sansone e la definizione utilizzata di punto singolare è data in termini di prolungabilità.
Avevo letto il teorema usando una definizione diversa da quella che usa il testo (ed evidentemente le due nozioni non sono equivalenti).
Il testo da cui ho tratto questo risultato è "Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa" di Sansone e la definizione utilizzata di punto singolare è data in termini di prolungabilità.
Ok, quindi come la mia. Già che sono qui faccio che fare la dimostrazione, visto che sono due righe.
Poniamo [tex]D := B_r(z_0)[/tex]. Supponiamo per assurdo che non ci siano punti singolari. Allora per ogni [tex]z \in \partial B_r(z_0)[/tex] esistono un disco [tex]D_z = B_{r_z}(z)[/tex] ed una funzione [tex]g_z \in H(D_z)[/tex] tali che [tex](g_z)_{\mid D \cap D_z} = f_{\mid D \cap D_z}[/tex]. Siccome [tex]\partial D[/tex] è compatto, possiamo selezionare un numero finito di questi punti [tex]z_1,\ldots,z_n[/tex] in modo che i dischi associati [tex]D_1,\ldots,D_n[/tex] ricoprano [tex]\partial D[/tex]. Allora il principio del prolungamento analitico garantisce che se [tex]D_i \cap D_j \ne \emptyset[/tex] si ha [tex](g_i)_{\mid D_i \cap D_j} = (g_j)_{\mid D_i \cap D_j}[/tex] (dove le [tex]g_i[/tex] sono le [tex]g_{z_i}[/tex]). A questo punto abbiamo finito, perché le [tex]g_i[/tex] si incollano tra di loro e con [tex]f[/tex] (le funzioni olomorfe formano fascio!
) producendo un'estensione [tex]\widetilde{f} \colon U \to \mathbb C[/tex] dove [tex]U = D_1 \cup \ldots \cup D_n[/tex] è un aperto contenente in modo proprio [tex]\overline{D}[/tex]. Bene, ma allora sappiamo che il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di potenze di [tex]\widetilde{f}[/tex] in [tex]z_0[/tex] è precisamente uguale alla distanza di [tex]z_0[/tex] da [tex]\partial U[/tex] (teorema di Cauchy), il che è evidentemente assurdo essendo da un lato questa distanza strettamente maggiore di [tex]r[/tex] e dall'altro lato ci si rende conto che lo sviluppo in serie di potenze di [tex]\widetilde{f}[/tex] ha precisamente gli stessi coefficienti di quello di [tex]f[/tex] (di nuovo, principio del prolungamento analitico).
Uhm. Non è due righe. Avessi fatto un disegno era davvero di due righe, però!
Poniamo [tex]D := B_r(z_0)[/tex]. Supponiamo per assurdo che non ci siano punti singolari. Allora per ogni [tex]z \in \partial B_r(z_0)[/tex] esistono un disco [tex]D_z = B_{r_z}(z)[/tex] ed una funzione [tex]g_z \in H(D_z)[/tex] tali che [tex](g_z)_{\mid D \cap D_z} = f_{\mid D \cap D_z}[/tex]. Siccome [tex]\partial D[/tex] è compatto, possiamo selezionare un numero finito di questi punti [tex]z_1,\ldots,z_n[/tex] in modo che i dischi associati [tex]D_1,\ldots,D_n[/tex] ricoprano [tex]\partial D[/tex]. Allora il principio del prolungamento analitico garantisce che se [tex]D_i \cap D_j \ne \emptyset[/tex] si ha [tex](g_i)_{\mid D_i \cap D_j} = (g_j)_{\mid D_i \cap D_j}[/tex] (dove le [tex]g_i[/tex] sono le [tex]g_{z_i}[/tex]). A questo punto abbiamo finito, perché le [tex]g_i[/tex] si incollano tra di loro e con [tex]f[/tex] (le funzioni olomorfe formano fascio!
) producendo un'estensione [tex]\widetilde{f} \colon U \to \mathbb C[/tex] dove [tex]U = D_1 \cup \ldots \cup D_n[/tex] è un aperto contenente in modo proprio [tex]\overline{D}[/tex]. Bene, ma allora sappiamo che il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di potenze di [tex]\widetilde{f}[/tex] in [tex]z_0[/tex] è precisamente uguale alla distanza di [tex]z_0[/tex] da [tex]\partial U[/tex] (teorema di Cauchy), il che è evidentemente assurdo essendo da un lato questa distanza strettamente maggiore di [tex]r[/tex] e dall'altro lato ci si rende conto che lo sviluppo in serie di potenze di [tex]\widetilde{f}[/tex] ha precisamente gli stessi coefficienti di quello di [tex]f[/tex] (di nuovo, principio del prolungamento analitico).Uhm. Non è due righe. Avessi fatto un disegno era davvero di due righe, però!
Oh bene, bene: adesso mi torna tutto.
Evidentemente era solo un problema di definizione. Bello, semplice e molto interessante!
Evidentemente era solo un problema di definizione. Bello, semplice e molto interessante!
Beh grazie alla disattenzione di partenza è uscito un topic interessante, anche io dentro di me confondevo un po' i due concetti.
Ci ho ripensato un po'. In effetti la definizione della classe delle funzioni olomorfe è sempre data in relazione ad un aperto del piano complesso. Un elemento analitico è una funzione olomorfa nei punti interni al cerchio di convergenza; i punti del bordo non sono punti interni e anche se la serie convergesse in qualcuno di questi punti, non avrebbe senso domandarsi se la funzione è ivi derivabile in senso complesso.
Per questi punti di frontiera, quindi, viene comodo usare un'altra definizione (che è quella che ha ricordato maurer).
Vi sembra corretto?
Per questi punti di frontiera, quindi, viene comodo usare un'altra definizione (che è quella che ha ricordato maurer).
Vi sembra corretto?
Sì. Se ci pensi è quello che si fa solitamente, ad esempio, in geometria differenziale. Una funzione è differenziabile su un chiuso (ad esempio), se per ogni punto esiste un intorno aperto nello spazio globale ed un'estensione differenziabile della funzione che stai considerando a tale aperto.
Ma è possibile che in certe zone oltre il raggio di convergenza continui a valere la stessa espressione in serie di potenze?
A me in ogni caso la sottigliezza che ha colpito è il fatto che la funzione possa non essere prolungabile olomorficamente attorno a un punto anche se in quel punto la serie di potenze è convergente (esempio di paolo + dimostrazione di maurer).
A me in ogni caso la sottigliezza che ha colpito è il fatto che la funzione possa non essere prolungabile olomorficamente attorno a un punto anche se in quel punto la serie di potenze è convergente (esempio di paolo + dimostrazione di maurer).
E' sorprendente, sì, soprattutto perché fa sorgere la domanda: ma allora, qual è l'ostruzione che non stiamo vedendo?
"maurer":
E' sorprendente, sì, soprattutto perché fa sorgere la domanda: ma allora, qual è l'ostruzione che non stiamo vedendo?
Ottima domanda.
Ma, in fondo, ho anche già accennato ad una risposta:
Il quadro viene poi completato dal teorema di monodromia. In sostanza, la funzione olomorfa si espande su una superficie di Riemann [tex]X[/tex] e questa superficie arriva con un biolomorfismo locale [tex]X \to \mathbb C[/tex] (infatti, è un rivestimento sull'immagine).
"maurer":
L'arcano sta nel fatto che la "geometria" associata alla tua serie è più complessa di quello che sembra e, anzi, è un esempio che mi fa pensare un sacco. Tu puoi estendere sempre una funzione olomorfa (ad esempio, una serie di potenze) in modo, diciamo, "illimitato". Il problema è che salta fuori che alcune funzioni non possono essere definite su [tex]\mathbb C[/tex]; la cosa sorprendente è che la loro struttura analitica determina completamente la geometria del luogo dove si va ad estendere (e questo è un giro di parole poco elegante per evitare di dire superficie di Riemann). Ad esempio, lo sviluppo in serie del logaritmo determina automaticamente il famoso elicoide! Sorprendente, vero?!
Il quadro viene poi completato dal teorema di monodromia. In sostanza, la funzione olomorfa si espande su una superficie di Riemann [tex]X[/tex] e questa superficie arriva con un biolomorfismo locale [tex]X \to \mathbb C[/tex] (infatti, è un rivestimento sull'immagine).
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