Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Al liceo tutti studiamo geometria sintetica, dove in sostanza si ha a che fare con rette, poligoni e cerchi.
Non ho mai incontrato esercizi di geometria sintetica con parabole o altre coniche né a scuola né alle olimpiadi della matematica, eppure Archimede è riuscito a dimostrare diversi teoremi sulle parabole e non solo.
Vorrei qui proporre di dimostrare certe proprietà delle coniche per via sintetica (molte delle quali sono riuscito a dimostrare, ma non tutte).
Per cominciare dalle ...
Questo mi è piaciuto un sacco. Ve lo propongo.
Si consideri il seguente modello di distribuzione dei figli nei nuclei familiari:
La probabilità che un nucleo familiare scelto a caso abbia \(\displaystyle n \) figli, con \(\displaystyle n \ge 0 \), è \(\displaystyle e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda ^{n}}{n !} \), dove \(\displaystyle \lambda>0 \). Supponiamo inoltre che ogni figlio sia maschio con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), indipendentemente da tutti gli altri figli. ...
Ciao a tutti! Eccomi tornato, spero di riuscire ad essere presente sul forum come ai "tempi d'oro"!
Propongo un semplice problema, ma istruttivo che mette in luce la derivata debole da un altro punto di vista.
"Sia $f\in L^p(\mathbb{R})$ (indicheremo $L^p$ intendendo $L^p(\mathbb{R}$) e supponiamo che esista il limite $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ rispetto alla norma $L^p$ (*).
Poniamo $Af=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Dalla definizione si ha che $A:L^p\to L^p$ è un operatore ben posto con ...
Esercizio:
Sia \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) un dominio normale delimitato in basso da un arco di circonferenza \(\Gamma_r\) concavo di raggio \(r\) ed in alto dal grafico \(G\) di una funzione \(W^{1,1}\) avente gli stessi estremi di \(\Gamma_r\) (vedi figura: in rosso l'arco \(\Gamma_r\), in azzurro il grafico della funzione di Sobolev).
[asvg]xmin=0; xmax=4; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("0.5+sqrt(4-(x-1)^2)",0.5, 3);
stroke="dodgerblue"; ...
Ero indeciso se scrivere qui o in Giochi Matematici... semmai posso spostare.
E' ben noto che una volta entrati in un labirinto, per uscirne basta attaccarsi al muro di destra (o quello di sinistra, la questione e' simmetrica ovviamente) e continuare a seguirlo. Buono a sapersi, tra l'altro.
Vi chiedo se avete un bell'argomento semplice e pulito per dimostrare questo fatto.
Sarebbe gradita una "definizione" del termine "labirinto", per cominciare.
Dico quello che mi viene in ...
Propongo un piccolo esercizio di Informatica Teorica (Lambda-calcolo)
Teorema:
$EETheta\ lambda$-espressione$\ ,\ AAg\ $variabile qualunque
con:
$Theta -= (lambdaomegaf.f(omega\ omega\ f))\ (lambdaomegaf.f(omega\ omega\ f))$
definito come il combinatore di Punto Fisso (di Turing).
allora: [size=125]$Thetag -=_{beta}\ g(Thetag)$[/size]
1. dimostrare l'uguaglianza.
c'è un piccolo trucco per dimostrare che sono componenti di una equivalenza ($beta$-uguaglianza), ed è questa la cosa interessante.
Basta conoscere l'applicazione ...
Questo esercizio non è proprio banale.
La prima parte è un semplice esercizio di "Analisi [tex]$\tfrac{3}{2}$[/tex]"; la seconda parte, sebbene piuttosto classica*, è nettamente più difficile ed è destinata a chi ha conoscenze "superiori".
L'accostamento delle due parti risponde ad una esigenza "didattica": il secondo quesito serve a generalizzare il primo, mostrando che nella generalizzazione si perde una proprietà forte come quella dall'analiticità (cioè la sviluppabilità in serie di ...
Ciao a tutti
posto la domanda qui sperando di che sia la sezione giusta, ma penso di si in quanto non si tratta di esercizi ma solo una curiosità
Mi sono sempre domandato che cosa fossero le fiamme. Intendo proprio le cosidette "lingue" che il fuoco forma
non credo che si possano definite "materia" in senso stretto, però per esempio sono influenzate dal vento, quindi hanno una sorta di massa
Sono più una sorta di energia visibile?
Risulta: $prod_(n=1)^oo(1+1/n^2) = (e^pi-e^(-pi))/(2pi) = sinhpi/pi $.
Come si trova questo risultato?
EDIT: ho trovato che $sinhx$ possiede la seguente formulazione in termini di prodotto infinito: $sinhx = x *prod_(n=1)^oo (1+x^2/(n^2 pi^2))$. Immagino ci sia il Teorema di fattorizzazione di Weierstrass dietro...
Chi ha un po' di esperienza sa che è possibile calcolare esattamente la misura delle palle unitarie di alcune topologie su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex].
Ad esempio, la misura della palla unitaria della topologia euclidea è [tex]$\pi^{\frac{N}{2}}/\Gamma (\tfrac{N}{2} +1)$[/tex]*; mentre la misura della palla unitaria della topologia [tex]$\ell^1$[/tex] (ossia quella indotta dalla norma [tex]\lVert x\rVert =\sum_{n=1}^N |x_n|[/tex]) è [tex]$2^N/N!$[/tex], poiché essa si ottiene giustapponendo ...
Questo è molto simpatico.
***
Per fissare un po' di terminologia, nel seguito si dirà che un quadrato \(Q\) è inscritto nel grafico dell'applicazione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) se e solo se esso ha due vertici sull'asse \(x\) e due vertici sul diagramma del grafico di \(f\). Il lato di \(Q\) che giace lungo l'asse delle ascisse verrà chiamato base.
Ad esempio nella figura che segue:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=0; ymax=6;
axes("","");
plot("x^2",-4,4);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; ...
Vi propongo questo esercizio. Se volete divertirvi...
Io non ho la più pallida idea di come trattarlo
Sia \(\displaystyle K \subset l^{2}(\mathbb{R}) \) l'insieme \[\displaystyle K= \{ x \in l^{2}(\mathbb{R}) \ : \ |x_{n}| \le \frac{1}{n} \ \forall n \in \mathbb{N} \} \]
dove \(\displaystyle x=(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \). Provare che \(\displaystyle K \) è compatto.
Un "dearrangiamento" di [tex]n[/tex] oggetti è una permutazione [tex]\sigma \in S_n[/tex] con la proprietà che [tex]\sigma(x) \neq x[/tex] per ogni [tex]x \in \{1, \ldots, n\}[/tex].
Sia [tex]D(n)[/tex] il numero di dearrangiamenti di [tex]S_n[/tex] (a volte indicato anche con [tex]!n[/tex]). Si riesce a dimostrare che [tex]D(n) = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/tex] (in particolare, la proporzione dei dearrangiamenti in [tex]S_n[/tex] - cioè la probabilità che nel restituire a caso gli ...
è un po che ci penso,senza risultati.
siano $H<G$ gruppi.
è vero che, per ogni automorfismo $g$ di $H$, esista almeno un automorfismo $f$ di $G$ tale che $f(H)=H$ e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ in $H$?
Ho ritrovato questo post. Questo thread vuole essere una prosecuzione di quella discussione in una direzione più algebrica che topologica. Inoltre, affronterò (o meglio, vi farò affrontare ) argomenti collegati a quest'altro topic.
Nota iniziale. Ogni anello sarà da considerarsi commutativo unitario (e possibilmente non nullo).
Definizione. Sia [tex]A[/tex] un anello. Un [tex]A[/tex]-modulo [tex]M[/tex] si dice [tex]A[/tex]-divisibile se per ogni non-zero-divisore [tex]a \in A[/tex] e ...
Per prendere un pò la mano con la convergenza in legge vi propongo due esercizi che mi sono venuti in mente per case, non difficili, ma istruttivi.
Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni:
A1. Se $X_n \to X$ e $Y_n \to Y$ in legge (o come dicono altri, in distribuzione), allora $X_nY_n\to XY$ in legge.
A2. Sia $\tau_n$ una successione di v.a. tali che $\tau_n \to +\infty$ qc, allora se $X_n\to X$ in legge, si ha che $X_{\tau_n}\to X$ in legge.
A2bis. Si ...
Gentili signori,
vorrei proporre il seguente quesito che ho trovato scritto su una lavagna in un aula universitaria:
Sia F: R-->R e
F(x+y)
Sappiamo che se un sottogruppo ha indice primo allora è massimale. Ma cosa possiamo dire dell'indice di un sottogruppo massimale?
Nell'ambito dei gruppi risolubili qualcosa riusciamo a dire.
Teorema. L'indice di un sottogruppo massimale di un gruppo risolubile finito è una potenza di un primo.
Nel seguito propongo una serie di risultati intermedi che servono a dimostrare questo teorema.
Introduco la nozione di "sottogruppo normale minimale". Un sottogruppo normale [tex]N[/tex] di un gruppo ...
Ricordo la seguente definizione:
Definizione. Sia [tex]G[/tex] un gruppo abeliano. Diciamo carattere di [tex]G[/tex] un qualsiasi morfismo [tex]\chi: G \to \mathbb{C}^\times[/tex].
Prove it! Sia [tex]G[/tex] un gruppo abeliano e sia [tex]H \le G[/tex] un suo sottogruppo. Sia poi [tex]\chi[/tex] un carattere di [tex]H[/tex]. Dimostrare che esiste sempre un carattere [tex]\tilde{\chi}[/tex] di [tex]G[/tex] tale che [tex]\tilde{\chi}_{\mid H} \equiv \chi[/tex], ossia tale che la sua ...
Sia $f : [a,b] -> RR$ tale che $f(a) = f(b) = 0$, $f(x) > 0 , AA x in (a,b)$ e inoltre $f(x) + f''(x) > 0$.
Provare allora che $b - a >= pi$.
A prima vista una curiosa tesi, eh?
P.S.: Non sapevo che titolo inserire.
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