Spazio di Banach strettamente convesso, ma non uniformemente
Qualche anno fa mi chiesi quale fosse un esempio semplice di spazio di Banach strettamente convesso, ma non uniformemente. Proprio oggi pomeriggio mi e' tornata in mente questa curiosita' che mi ero chiesto, in quanto casualmente mi sono imbattuto in un esempio. Non so se e' il piu' semplice, ma e' uno abbastanza semplice.
Sia $X$ la somma diretta $l^2$ di tutti gli spazi $l^n(\mathbb N)$, per $n\in\mathbb N$, $n\geq2$.
Esercizio (se vi va di farlo). Mostrare che $X$ e' strettamente convesso, ma non uniformemente convesso.
P.s. qualora non fosse chiaro, per somma diretta di tipo $l^2$ di due spazi di Banach $X$ e $Y$ intendo lo spazio di Banach $X\oplus Y$ munito della norma $||x\oplus y||=\sqrt{||x\||^2+||y||^2}$
Sia $X$ la somma diretta $l^2$ di tutti gli spazi $l^n(\mathbb N)$, per $n\in\mathbb N$, $n\geq2$.
Esercizio (se vi va di farlo). Mostrare che $X$ e' strettamente convesso, ma non uniformemente convesso.
P.s. qualora non fosse chiaro, per somma diretta di tipo $l^2$ di due spazi di Banach $X$ e $Y$ intendo lo spazio di Banach $X\oplus Y$ munito della norma $||x\oplus y||=\sqrt{||x\||^2+||y||^2}$
Risposte
Cia0 Valerio,
l'esercizio mi stuzzica, purtroppo conosco solo la nozione di spazio uniformemente convesso: puoi postare la definizione o un'indicazione di spazio strettamente convesso!?
Grazie, Armando
l'esercizio mi stuzzica, purtroppo conosco solo la nozione di spazio uniformemente convesso: puoi postare la definizione o un'indicazione di spazio strettamente convesso!?
Grazie, Armando
Ciao Armando,
mi fa piacere che l'esercizio ti interessa. Uno spazio di Banach e' strettamente convesso se dati due punti della sfera unitaria, il segmento che li unisce interseca la sfera unitaria solo in quei due punti. Ad esempio $\ell^1$ e $\ell^\infty$ NON sono strettamente convessi, perche' la sfera unitaria e' un rombo o un quadrato. Tutti gli spazi $\ell^p$, con $p\ne1,\infty$ sono strettamente convessi e addirittura uniformemente convessi.
mi fa piacere che l'esercizio ti interessa. Uno spazio di Banach e' strettamente convesso se dati due punti della sfera unitaria, il segmento che li unisce interseca la sfera unitaria solo in quei due punti. Ad esempio $\ell^1$ e $\ell^\infty$ NON sono strettamente convessi, perche' la sfera unitaria e' un rombo o un quadrato. Tutti gli spazi $\ell^p$, con $p\ne1,\infty$ sono strettamente convessi e addirittura uniformemente convessi.
Recentemente ho lasciato un link a questo esercizio in questo topic correlato:
quando-vale-l-uguaglianza-nella-disuguaglianza-triangolare-t94224.html
Gli articoli citati contengono delle riflessioni interessanti sulle nozioni richiamate da Valerio. In particolare l'articolo di Clarkson è illuminante riguardo l'uniforme convessità.
quando-vale-l-uguaglianza-nella-disuguaglianza-triangolare-t94224.html
Gli articoli citati contengono delle riflessioni interessanti sulle nozioni richiamate da Valerio. In particolare l'articolo di Clarkson è illuminante riguardo l'uniforme convessità.
Interessante! Grazie per il link. E per la citazione.
Grazie a te per avere proposto questo esercizio che ha stuzzicato la mia curiosità.
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