[EX] - Di nuovo sulle serie

[Sk_Anonymous]

Calcolare \[\displaystyle e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}} \]
e utilizzare quindi il risultato per calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right] \]

[wnvl]

un tentativo... ancora pensando

\(\displaystyle e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}}=e^{i/n^{2}} \cdot \frac{e^{in/n^{2}}-1}{e^{i/n^{2}}-1} \)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}}\right]=\lim_{n \to \infty} \left[e^{i/n^{2}} \cdot \frac{e^{in/n^{2}}-1}{e^{i/n^{2}}-1}\right]=???\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right]=Im \left[\lim_{n \to \infty} \left[e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}}\right]\right]=???\)

[wnvl]

O ...

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right]=
\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2}} \right]=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{n\cdot(n+1)}{2n^2} \right]=\frac{1}{2}\)

[Sk_Anonymous]

Il tuo secondo risultato è corretto, wnvl. Dovrei controllare i passaggi, ma credo che tu ne sappia un bel po' più di me, quindi mi fido.

[wnvl]

Ma non riesco a trovare lo stesso risultato con il primo metodo...

[Sk_Anonymous]

Appena ho un attimo di tempo ti mostro la mia soluzione.

[gugo82]

"Delirium":Calcolare \[\displaystyle e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}} \]
e utilizzare quindi il risultato per calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right] \]

Spero di non aver sbagliato i contacci.

Ricordato che \(\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^n}{1-q}\), si ha:
\[
\sum_{k=1}^n e^{\imath\ k/n^2} = e^{\imath/n^2}\ \frac{1-e^{\imath/n}}{1-e^{\imath/n^2}}\; ,
\]
e ciò accomoda il punto 1.

Per risolvere il punto 2 ci sono più conti da fare.
Razionalizzando, separando il reale dall'immaginario e facendo un po' di conti si vede che:
\[
\begin{split}
e^{\imath/n^2}\ \frac{1-e^{\imath/n}}{1-e^{\imath/n^2}} &= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left( e^{\imath /n^2} +e^{\imath /n} -e^{\imath (n+1)/n^2} -1\right)\\
&= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \Bigg[ \cos \frac{1}{n^2} + \cos \frac{1}{n} - \cos \frac{n+1}{n^2}-1 \\
&\phantom{\frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \Bigg[}+ \imath \left( \sin \frac{1}{n^2} + \sin \frac{1}{n} -\sin \frac{n+1}{n^2}\right)\Bigg]
\end{split}
\]
e d'altra parte:
\[
\sum_{k=1}^n e^{\imath\ k/n^2} = \sum_{k=1}^n \cos \frac{k}{n^2} +\imath\ \sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n^2}
\]
cosicché uguagliando le parti reali ed i coefficienti delle parti immaginarie otteniamo:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^n \cos \frac{k}{n^2} &= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left( \cos \frac{1}{n^2} + \cos \frac{1}{n} - \cos \frac{n+1}{n^2}-1\right)\\
\sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n^2} &= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left( \sin \frac{1}{n^2} + \sin \frac{1}{n} -\sin \frac{n+1}{n^2}\right)\; .
\end{split}
\]
Ricordato che:
\[
\begin{split}
\cos \frac{n+1}{n^2} &= \cos \frac{1}{n}\ \cos \frac{1}{n^2} - \sin \frac{1}{n}\ \sin \frac{1}{n^2}\\
\sin \frac{n+1}{n^2} &= \sin \frac{1}{n}\ \cos \frac{1}{n^2} + \cos \frac{1}{n}\ \sin \frac{1}{n^2}
\end{split}
\]
le precedenti si riscrivono:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^n \cos \frac{k}{n^2} &= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left( \cos \frac{1}{n^2} + \cos \frac{1}{n} - \cos \frac{1}{n}\ \cos \frac{1}{n^2} + \sin \frac{1}{n}\ \sin \frac{1}{n^2}-1\right)\\
&= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left[ \cos \frac{1}{n^2} \left( 1- \cos \frac{1}{n}\right) + \cos \frac{1}{n} + \sin \frac{1}{n}\ \sin \frac{1}{n^2}-1\right]\\
&= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left[ \left( \cos \frac{1}{n^2} -1\right) \left( 1- \cos \frac{1}{n}\right) + \sin \frac{1}{n}\ \sin \frac{1}{n^2}\right]\\
\sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n^2} &= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left( \sin \frac{1}{n^2} + \sin \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n}\ \cos \frac{1}{n^2} - \cos \frac{1}{n}\ \sin \frac{1}{n^2}\right)\\
&= \frac{1}{2(1-\cos \frac{1}{n^2})}\ \left[ \sin \frac{1}{n^2} \left( 1- \cos \frac{1}{n}\right) + \sin \frac{1}{n} \left( 1- \cos \frac{1}{n^2}\right) \right]\\
\end{split}
\]
dalle quali, usando le note approssimazioni asintotiche per \(\sin x \approx x\) e \(1-\cos x\approx x^2/2\) quando \(x\to 0\), ricaviamo:
\[
\begin{split}
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k}{n^2} &= \lim_{n\to \infty} n^4\ \left( \frac{1}{n^3}- \frac{1}{4n^6}\right) = +\infty\\
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n^2} &= \lim_{n\to \infty} n^4\ \left( \frac{1}{2n^4}- \frac{1}{2n^5}\right) = \frac{1}{2}\; .
\end{split}
\]

[wnvl]

spesso la soluzione complessa è più breve, ma qui c'è inverso

[Thomas16]

però wnvl secondo me ti manca verificare che i termini che trascuri nello sviluppo effettivamente nel limite danno contributo nullo.... (non è difficile ma mi sembra un passaggio da fare)

[dissonance]

"wnvl":O ...

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right]=
\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2}} \right]=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{n\cdot(n+1)}{2n^2} \right]=\frac{1}{2}\)

Questa soluzione non mi convince. Anzi, temo che ci sia un errore classico: se non mi sbaglio, in modo simile si giunge ad una dimostrazione errata del Teorema del Limite Centrale in probabilità. Il problema è che ogni addendo porta con sé una parte trascurabile: \(\sin(k/n^2)=k/n^2+o(k/n^2)\) ma le parti trascurabili si accumulano e nel limite per \(n \to \infty\) formano una somma infinita, e non è affatto detto che questa sia trascurabile.

[wnvl]

"Thomas":però wnvl secondo me ti manca verificare che i termini che trascuri nello sviluppo effettivamente nel limite danno contributo nullo.... (non è difficile ma mi sembra un passaggio da fare)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right]=
\lim_{n \to \infty} \left[ \left(\frac{1}{n^{2}} -\frac{1}{6n^{6}} + \dots \right) + \dots + \left(\frac{n}{n^{2}}- \frac{n^3}{6n^{6}}\dots \right) \right]\)

\(\displaystyle=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{n\cdot(n+1)}{2n^2} +O(\frac{1}{n^2})\right]=\frac{1}{2}\)

[Thomas16]

Ok. mi sembra tutto torni, ora ... così io e dissonance siamo più tranquilli. dissonance sei d'accordo?

[dissonance]

Sono d'accordissimo sul fatto che

\[\tag{OK}\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}.\]

Penso che meriti maggiore giustificazione il resto, ovvero il fatto che

\[\tag{?}-\frac{1}{6n^6}-\ldots -\frac{n^3}{6n^6} + \frac{1}{5!n^{10}}+\ldots+\frac{n^5}{5!n^{10}}+\ldots =O\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

Secondo me questo non è ovvio, perché la somma non è finita ma infinita. Forse non sto riuscendo a vedere qualcosa di evidente?

[wnvl]

"dissonance":
\[\tag{?}-\frac{1}{6n^6}-\ldots -\frac{n^3}{6n^6} + \frac{1}{5!n^{10}}+\ldots+\frac{n^5}{5!n^{10}}+\ldots =O\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

Secondo me questo non è ovvio, perché la somma non è finita ma infinita. Forse non sto riuscendo a vedere qualcosa di evidente?

Prendiamo i termini \(\displaystyle -\frac{x^3}{3!} \) dei seni.

Alora abbiamo

\(\displaystyle -\frac{1}{6n^6}-\ldots -\frac{n^3}{6n^6} \)

Ci sono n termi e ogni termine è \(\displaystyle O\left(\frac{1}{n^3}\right) \)

\(\displaystyle n \cdot O\left(\frac{1}{n^3}\right)=O\left(\frac{1}{n^2}\right) \)


Possiamo applicare il stesso ragionamento per i termini \(\displaystyle \frac{x^5}{5!} \) dei seni...

[dissonance]

Bene, mi dai l'occasione di porre in maniera molto esplicita il mio dubbio. Questo tuo post dimostra che

\[\left(\frac{1}{6n^6}-\ldots -\frac{n^3}{6n^6}\right) + \left(\frac{1}{5!n^{10}}+\ldots+\frac{n^5}{5!n^{10}}\right)+\ldots=O\left(\frac{1}{n^2}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)+\ldots.\]

Tuttavia io non credo sia vero che

\[\tag{!!} O\left(\frac{1}{n^2}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)+\ldots=O\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

Ecco, questo è il problema. Mi pare che tu faccia implicitamente uso della proprietà \((!!)\) che secondo me è falsa in generale. Dovresti dimostrare nel caso specifico che la proprietà è vera.

[wnvl]

"dissonance":

\[\tag{!!} O\left(\frac{1}{n^2}\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)+\ldots=O\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

No, abbiamo

\[ O\left(\frac{1}{n^2}\right)+O\left(\frac{1}{n^4}\right)+O\left(\frac{1}{n^6}\right)+\ldots=O\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

[dissonance]

"wnvl":No, abbiamo

\[ O\left(\frac{1}{n^2}\right)+O\left(\frac{1}{n^4}\right)+O\left(\frac{1}{n^6}\right)+\ldots=O\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

Questa formula è sicuramente più ragionevole ma purtroppo non mi sembra ovvia. Potresti dimostrarla, per favore?

[Thomas16]

Ho come l'impressione che scrivendo tutto lo sviluppo in serie confonda e non risulti ovvia un risultato della teoria dello sviluppo in serie, ovvero che:

$sen(x)=x+o(x^2)$

dove quell'o-piccolo contiene "tutti" i termini (infiniti) dello sviluppo! A questo punto si applica questo termine per termine, poi si moltiplica per gli $n$ addendi come ha fatto wnvl considerando solo il secondo termine non banale dello sviluppo in serie.

ps: scusate preferisco usare gli o-piccoli invece che gli o-grandi!

[dissonance]

Ma anche così non va bene, Thomas. Questo procedimento di sostituzione funziona per un numero fisso di addendi. Qui invece il numero di addendi dipende da \(n\), e aumenta con esso, quindi sostituire come hai fatto tu non è corretto perché quegli o-piccolo si accumulano e nel limite per \(n\to \infty\) diventano in numero infinito. Quindi non è più ovvio che essi siano trascurabili, perché una somma di infinite quantità trascurabili non necessariamente è trascurabile.

C'era, mi ricordo, un vecchio post di Gugo in cui il caveat veniva illustrato per bene.

[Thomas16]

ma infatti moltiplichiamo quando abbiamo n (finiti) addendi: $o(1/n)*n=o(1)$. E poi passiamo al limite. A me sembra torni bene, magari ci penso un po'...

[Thomas16]

NB: do per sottointeso che quegli addendi sono $n$ e sono tutti (da verifichare) $o(1/n)$, dal primo all'ultimo