Successione non quasi uniformemente convergente
Curiosando un po' nei libri di analisi matematica per studiare la misura di Lebesgue, ho ritrovato questo interessante esercizio, che spero non sia troppo banale per questa sezione.
Trovare un esempio di successione di funzioni che converge quasi ovunque, ma non quasi uniformemente.
Ecco la mia idea:
Vi pare ok? Avete altre soluzioni più interessanti?
Trovare un esempio di successione di funzioni che converge quasi ovunque, ma non quasi uniformemente.
Ecco la mia idea:
Vi pare ok? Avete altre soluzioni più interessanti?
Risposte
Non è che abbia capito molto il tuo controesempio. Poi la parte dove scrivi: pi_ùche_nu_merabili_int_ervalli_in_i 
Quale è la definizione di convergenza quasi uniforme?
Quale è la definizione di convergenza quasi uniforme?
Il controesempio è sicuramente sbagliato. In uno spazio di misura finita ogni successione convergente puntualmente converge quasi uniformemente:
http://en.wikipedia.org/wiki/Egorov%27s_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Egorov%27s_theorem
"dissonance":
Il controesempio è sicuramente sbagliato. In uno spazio di misura finita ogni successione convergente puntualmente converge quasi uniformemente:
http://en.wikipedia.org/wiki/Egorov%27s_theorem
E già. Inoltre la funzione riportata $f_n(x)=1_{(n,n+1)}(x)$ è un controesempio di una successione convergente a.e. ma non in misura.
Ok, se non altro mi sono reso conto del grosso errore che commettevo. In pratica affermavo che ogni insieme più che numerabile, se misurabile, non ha misura nulla, ma banalmente l'insieme di Cantor (quello detto polvere di Cantor) mi smentisce.
Tenterò di nuovo (non ho molta pratica con la teoria della misura).
Tenterò di nuovo (non ho molta pratica con la teoria della misura).
La notte porta consiglio, e ho rivalutato l'esempio che ho fatto.
L'obiezione che non può essere buono perché vale il teorema di Egorov è quanto meno affrettata, perché bisognerebbe prima provare che le funzioni della mia successione siano misurabili, e io credo che non siano misurabili.
Quanto al fatto che avevo lasciato in dubbio, cioè l'ipotesi che un insieme più che numerabile non possa avere misura nulla, chiaramente è falso, però siccome i punti $\xi$ li scelgo io, posso fare in modo che costituiscano un insieme non misurabile (o forse anche a misura positiva).
Poi magari non funziona lo stesso, ma sono fiducioso.
L'obiezione che non può essere buono perché vale il teorema di Egorov è quanto meno affrettata, perché bisognerebbe prima provare che le funzioni della mia successione siano misurabili, e io credo che non siano misurabili.
Quanto al fatto che avevo lasciato in dubbio, cioè l'ipotesi che un insieme più che numerabile non possa avere misura nulla, chiaramente è falso, però siccome i punti $\xi$ li scelgo io, posso fare in modo che costituiscano un insieme non misurabile (o forse anche a misura positiva).
Poi magari non funziona lo stesso, ma sono fiducioso.
"robbstark":
La notte porta consiglio, e ho rivalutato l'esempio che ho fatto.
L'obiezione che non può essere buono perché vale il teorema di Egorov è quanto meno affrettata, perché bisognerebbe prima provare che le funzioni della mia successione siano misurabili, e io credo che non siano misurabili.
In questo contesto si assume sempre che le funzioni coinvolte siano misurabili, altrimenti non si parla neanche di "convergenza puntuale q.o." o di "convergenza quasi uniforme". Vedi qua per esempio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_ ... onvergence
Certo pensare che il proprio esempio non valga perché non soddisfa una convenzione non è molto soddisfacente, però resta il fatto che stai facendo qualcosa di eccessivamente complicato. Ci vorrebbe qualcosa di più semplice, secondo me. Comunque non ho seguito i dettagli della tua costruzione, magari se ne può tirare fuori qualcosa di buono.
Penso che a parte per la convenzione che hai linkato la soluzione che ho dato dovrebbe andare bene; inoltre nel libro da cui l'ho tratto non viene inclusa la misurabilita' delle funzioni nelle definizioni di convergenza quasi ovunque e quasi uniforme.
Volendo cercare una successione di funzioni misurabili convergente quasi ovunque, ma non quasi uniformemente, per il teorema di Egorov occorre che il dominio delle funzioni sia illimitato. In questo caso pero' la richiesta mi sembra troppo banale, in quanto andrebbe bene qualsiasi successione convergente non uniformemente su $RR$, tanto per fare un esempio:
$f_n(x)={(1,se -n < x < n),(0,al trove):}$
E' cosi', o ho commesso qualche errore madornale?
Volendo cercare una successione di funzioni misurabili convergente quasi ovunque, ma non quasi uniformemente, per il teorema di Egorov occorre che il dominio delle funzioni sia illimitato. In questo caso pero' la richiesta mi sembra troppo banale, in quanto andrebbe bene qualsiasi successione convergente non uniformemente su $RR$, tanto per fare un esempio:
$f_n(x)={(1,se -n < x < n),(0,al trove):}$
E' cosi', o ho commesso qualche errore madornale?
E' meglio se riporti la tua definizione di convergenza quasi uniforme, così stiamo tranquilli di dire le stesse cose.
PS: Comunque penso che ci siamo. Io intendevo proprio qualcosa del genere quando parlavo di "esempio più semplice". Certo, se tu vuoi uno spazio di misura finita allora si che il controesempio deve essere molto complicato, per via del teorema di Severini-Egorov che ti fa scattare la convergenza quasi uniforme non appena le funzioni siano misurabili. Comunque meglio uniformare le definizioni ora.
PS: Comunque penso che ci siamo. Io intendevo proprio qualcosa del genere quando parlavo di "esempio più semplice". Certo, se tu vuoi uno spazio di misura finita allora si che il controesempio deve essere molto complicato, per via del teorema di Severini-Egorov che ti fa scattare la convergenza quasi uniforme non appena le funzioni siano misurabili. Comunque meglio uniformare le definizioni ora.
Riporto la definizione che ho usato:
Una successione di funzioni $f_n:A->RR$, $A$ misurabile, converge quasi uniformemente in $A$ ad $f$, se $AA eta > 0, EE A_{eta}, m(A_{eta})
P.s.: In effetti poco fa ho notato che anche il libro che ho usato sottintendeva la misurabilita' delle $f_n$, tuttavia mi sembra che anche levando questa ipotesi la definizione resti sensata, per quanto magari inutile.
Una successione di funzioni $f_n:A->RR$, $A$ misurabile, converge quasi uniformemente in $A$ ad $f$, se $AA eta > 0, EE A_{eta}, m(A_{eta})
P.s.: In effetti poco fa ho notato che anche il libro che ho usato sottintendeva la misurabilita' delle $f_n$, tuttavia mi sembra che anche levando questa ipotesi la definizione resti sensata, per quanto magari inutile.
Questo mi pare funzioni se si mettono a posto i (pochi) dettagli.
Siano \((r_n)\) un'enumerazione dei razionali in \([0,1]\) (i.e. l'immagine ordinata di una biiezione \(\mathbb{N}\to \mathbb{Q}\cap [0,1]\)) ed \(f_n:[0,1]\to \mathbb{R}\) definite ponendo:
\[
f_n(x):= \chi_{\{r_n\}}(x)=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\neq r_n\\
1 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Evidentemente le \(f_n\) sono misurabili (per essere funzioni caratteristiche di insiemi misurabili) e convergono puntualmente alla funzione nulla in \([0,1]\).
D'altra parte, la convergenza non può essere uniforme in alcun sottoinsieme pieno \(X\subseteq [0,1]\), perché \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) è denso in \([0,1]\) ergo \(\sup_{X} |f_n| = 1\) per ogni \(X\subseteq [0,1]\) di misura positiva.
Siano \((r_n)\) un'enumerazione dei razionali in \([0,1]\) (i.e. l'immagine ordinata di una biiezione \(\mathbb{N}\to \mathbb{Q}\cap [0,1]\)) ed \(f_n:[0,1]\to \mathbb{R}\) definite ponendo:
\[
f_n(x):= \chi_{\{r_n\}}(x)=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\neq r_n\\
1 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Evidentemente le \(f_n\) sono misurabili (per essere funzioni caratteristiche di insiemi misurabili) e convergono puntualmente alla funzione nulla in \([0,1]\).
D'altra parte, la convergenza non può essere uniforme in alcun sottoinsieme pieno \(X\subseteq [0,1]\), perché \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) è denso in \([0,1]\) ergo \(\sup_{X} |f_n| = 1\) per ogni \(X\subseteq [0,1]\) di misura positiva.
Interessante, anche se non risponde a quello che cercavo. Infatti questa funzione è quasi uniformemente convergente.
Però mostra che una successione convergente può non convergere uniformemente in alcun intervallo.
Volendo trovare invece una successione convergente (quasi ovunque) che non sia quasi uniformemente convergente, su un dominio limitato, bisogna aumentare notevolmente il numero di punti di convergenza non uniforme (è detto male, ma penso si capisca), anche perché le funzioni devono essere non misurabili. Quello che proponevo io era quindi di definire una funzione definita per casi su diverse numerazioni (le classi d'equivalenza) e facevo in modo che per ogni classe ci fosse un punto di convergenza non uniforme. Volendo si può utilizzare anche questa tua funzione, estendendola alle varie classi d'equivalenza.
Però mostra che una successione convergente può non convergere uniformemente in alcun intervallo.
Volendo trovare invece una successione convergente (quasi ovunque) che non sia quasi uniformemente convergente, su un dominio limitato, bisogna aumentare notevolmente il numero di punti di convergenza non uniforme (è detto male, ma penso si capisca), anche perché le funzioni devono essere non misurabili. Quello che proponevo io era quindi di definire una funzione definita per casi su diverse numerazioni (le classi d'equivalenza) e facevo in modo che per ogni classe ci fosse un punto di convergenza non uniforme. Volendo si può utilizzare anche questa tua funzione, estendendola alle varie classi d'equivalenza.
"robbstark":
Infatti questa funzione è quasi uniformemente convergente.
Hai ragione... Mi dimenticavo del teorema di Egoroff.
Ad ogni modo, come diceva dissonance, è inutile continuare a cercare tra funzioni misurabili definite su un sottospazio di misura finita, proprio in virtù del teorema di Egoroff... Quindi o prendi un sottospazio di misura infinita, oppure ti vai ad impelagare in una cosa senza alcun senso (perché non ha tanto senso cercare tra le funzioni non misurabili).
Da dove hai preso l'esercizio?
L'ho preso dall'Emmanuele di Analisi Matematica 2, comunque rileggendo, credo proprio che il suo intento fosse quello di notare che la soluzione è facile su spazi di misura infinita. Sono stato io che mi sono impelagato in spazi di misura finita, perché mi sembrava più difficile, e in effetti lo era.
"robbstark":No, non e` piu` difficile, e` proprio privo di senso, grazie al teorema di Severini Egoroff. Tieni presente che in questo contesto le funzioni vanno sempre prese misurabili, proprio come in topologia consideri solo funzioni continue e in geometria differenziale solo funzioni differenziabili. E` una convenzione, ma ha molto senso perche` senza di essa lo sviluppo della teoria sarebbe molto piu` macchinoso, per non dire impossibile.
Sono stato io che mi sono impelagato in spazi di misura finita, perché mi sembrava più difficile, e in effetti lo era.
"dissonance":
No, non e` piu` difficile, e` proprio privo di senso, grazie al teorema di Severini Egoroff. Tieni presente che in questo contesto le funzioni vanno sempre prese misurabili, proprio come in topologia consideri solo funzioni continue e in geometria differenziale solo funzioni differenziabili. E` una convenzione, ma ha molto senso perche` senza di essa lo sviluppo della teoria sarebbe molto piu` macchinoso, per non dire impossibile.
Non sono del tutto d'accordo.
Intanto perché quando ho visto l'esercizio ancora non sapevo del teorema di Severini Egoroff.
Secondo, un fatto può essere interessante di per sé, senza che serva a costruire una teoria. Da un punto di vista fisico o applicativo mi sembra inutile considerare funzioni non misurabili, alla stessa maniera di come mi sembra inutile considerare la funzione di Dirichlet, la polvere di Cantor, la funzione di Weierstrass e tanti altri oggetti famosi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo