Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
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Dato [tex]n[/tex] intero positivo, sia [tex]P_n[/tex] la probabilità che una matrice [tex]n \times n[/tex] a coefficienti interi abbia determinante dispari.
Calcolare [tex]\lim_{n \to \infty} P_n[/tex].
PS: Riesco ad approssimare arbitrariamente bene il valore di questo limite ma non sono sicuro che ne esista (o che se ne possa calcolare) un'espressione esplicita.
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Studente Anonimo
10 ott 2012, 19:56
Ehilà! Oggi sto un pò impazzendo con questa disugualianza (ricavata prendendo spunto da un esercizio di un test di ammissione alla SNS) che non riesco proprio a dimostrare ( ) ..ma sicuramente non sto vedendo qualcosa di banale!
Chi mi da una mano ?
$ a^2+ (b^4)/a^2 geq (a^2 + b^2)/2 $
L'ho girata e rigirata ma non mi sembra di trovare alcuna relazione utile
Thanks!
Non so se è la sezione giusta, dato che qua dentro a moltissimi basta un secondo per fare dimostrazioni che io metto ere geologiche ad elaborare (nei rari casi in cui non getto la spugna). Comunque, sono rimasto colpito da questo fatto, che credo di aver dimostrato con tecniche non troppo elementari. Ero però curioso se voi riuscivate a fare di meglio, attaccando il problema da una prospettiva diversa dalla mia. Eccolo:
Esercizio. Sia $S$ un sottoinsieme chiuso e connesso di ...
Al lavoro mi si è posto questo problema:
ho un quadrilatero piano (molto simile ad un rettangolo), di cui conosco la lunghezza di tutti i lati e delle diagonali; devo calcolare gli angoli fra la congiungente dei punti medi dei lati minori e ciascuno dei lati minori stessi.
Ho pensato di risolverlo per via trigonometrica, ma senza fare neanche un passo avanti.
Allora ho provato per via analitica, introducendo un riferimento solidale al quadrilatero, nella speranza di ricavare le coordinate dei ...
Dato un reale [tex]0 < a < 1[/tex] calcolare
[tex]\sum_{m,n \geq 0} a^{m+n} \min \{m,n\}[/tex].
Che divertimento
Fonte.
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Studente Anonimo
2 ott 2012, 16:55
Sfogliando Analisi Matematica di G. Prodi mi sono imbattuto in un problemino a mio avviso interessante. Voglio proporvelo:
Calcolare il limite della successione $\{a_n\}_(n\in\mathbb{N})$ dove $a_n=\sin(\alpha)\sin(2\alpha)...\sin(n\alpha)$
dove $\alpha\in\mathbb{R}$ è una costante arbitraria.
Un esercizio semplice sulle formule di Green.
***
Esercizio:
1. Dimostrare che, comunque si fissi \(n\in \mathbb{N}\), il problema di Dirichlet:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
\Delta u (x)=u^{2n+1}(x) &\text{, in } \Omega\\
u(x)=0 &\text{, su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
(qui \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto connesso con frontiera sufficientemente regolare) ha solo la soluzione banale \(\bar{u}(x)=0\).
2. È possibile dire lo stesso per il problema di Dirichlet relativo al ...
Provo a raccontarvi il seguente problemino come posso (nel senso che probabilmente non è il miglior modo per porlo). Comunque...
Problema. Sia $Gamma$ una circonferenza nel piano euclideo $RR^2$ e siano, sempre in $RR^2$, $d_1 , d_2 , d_3$ tre direzioni fissate. Sia $x_0 \in Gamma$ fissato. Partendo da $x_0$ tracciamo una corda avente $d_1$ come direzione e incidente $Gamma$ nel punto $x_1$; da ...
Siano \(\displaystyle K, \; k, \; p \) tre numeri naturali, con \(\displaystyle K>k \). Provare che valgono le seguenti disuguaglianze: \[\displaystyle (p+1)k^{p} \le \frac{K^{p+1} - k^{p+1}}{K-k} \le (p+1)K^{p} \quad \quad [1]\]
Hint:
Servirsi della disuguaglianza di Bernoulli \[\displaystyle x^{p} \ge 1 + p(x-1) \] con esponente \(\displaystyle p+1 \), \(\displaystyle x=\frac{k}{K} \) e quindi \(\displaystyle x=\frac{K}{k} \)
Si ponga poi \(\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n} k^{p} \); ...
... Ovvero, dimostrazioni assurde di risultati semplici.
Proviamo a proporre dimostrazioni di fatti elementari basate su teoremi "difficili": potrebbe essere un passatempo divertente per ammazzare il tempo tra una nuotata ed un'altra.
Comincio con questo:
Per ogni \(3\leq n\in \mathbb{N}\), il numero \(\sqrt[n]{2}\) è irrazionale.
Dim.: Per assurdo, supponiamo che \(\sqrt[n]{2} =\frac{p}{q}\) con \(p,q\in \mathbb{N}\).
Evidentemente si ha \(p>1\) ed anche \(q>1\); ma ...
Voglio proporre un quesito di teoria degli insiemi che mi sembra molto interessante.
Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti. L'insieme $B^A$ è per definizione l'insieme di tutte le funzioni da $A$ a $B$.
Come sono fatti gli insiemi $A^\emptyset$ e $\emptyset^B$ ? (ovviamente $\emptyset$ è l'insieme vuoto)
Dò io la definizione formale di funzione. Questa definizione però dipende dalla definizione formale di ...
Propongo un esercizio da un test. Anche se l'argomento è (sembra) semplice, viene da un test per laureati brevi.. insomma ve lo propongo. Se i moderatori riterranno che andrà spostato in Superiori, allora non sia fatta la mia ma la sua volontà.
Siano $x$,$y$,$z$ i tre angoli di un triangolo. Provare che:
$sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)<=1/8$.
Per quale valore si ha l'uguaglianza?
Non l'ho risolto. Pubblico in spoiler le mie idee:
Anzitutto: per un triangolo ...
Esercizio:
1. Si provi il seguente criterio di convergenza:
Sia $f:[0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ una funzione decrescente (i.e. $x\leq y\ \Rightarrow \ f(x)\geq f(y)$).
i. Se risulta:
\[
\tag{1}
\limsup_{x\to +\infty} \frac{e^x\ f(e^x)}{f(x)} 1
\]
allora la serie a termini positivi $\sum f(n)$ diverge.
2. È possibile generalizzare il criterio ...
Quasi tutti conoscono - o dovrebbero conoscere! - il seguente criterio di convergenza, che vi propongo di dimostrare (possiedo una mia dimostrazione).
Criterio di convergenza (condensazione di Cauchy). Sia $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ una successione decrescente di numeri reali non negativi. Allora
(i) \[\tag{C}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \text{ converge } \Longleftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} 2^na_{2^n} \text{ converge }.
\]
(ii) Sotto le stesse ipotesi, vale anche la seguente stima: ...
Salve, è il mio primo post, e spero di non esordire con una stupidata.
Mi sono recentemente appassionato alle vicende legate al quinto postulato di Euclide, e mi ha molto stupito come la sua indimostrabilità abbia afflitto ed esasperato molti matematici, molti fra questi annoverabili fra i "più grandi di sempre".
Ragionando sulla questione, sono arrivato a chiedermi: è dimostrato che senza assiomi è impossibile dimostrare, o è anche questo un assioma?
La domanda può sembrare fine a se stessa, ...
Un esercizio che ho svolto con alcuni colleghi qualche giorno fa.
Dovrei scriverlo per bene, semmai posso farlo qua in caso di soluzioni proposte differenti dalla nostra.
Esercizio
Sia [tex]$X=C^1([-1,1], \mathbb{R})$[/tex] lo spazio vettoriale delle funzioni [tex]$\phi: [-1,1]\to \mathbb{R}$[/tex] derivabili con derivata continua, normato con
[tex]$||\phi||=\int_{-1}^{1} |\phi(s)|ds+\int_{-1}^{1} |\phi'(s)|ds$[/tex]
Verificare che la successione di funzioni
\[
\phi_n(s)=\begin{cases}
1+s & \text{ se } -1\le s < 0\\
1+s-\frac{ns^2}{2} & \text{ se } ...
Esistono degli studi di natura matematica sull'interazione sociale usati dai siti d'incontro o similari?
A presto
Grazie
Ammetto di non averlo ancora letto con attenzione, ma credo possa essere utile a chi ha appena seguito dei corsi di algebra cercare eventuali errori in questo articolo. Naturalmente se non ce ne sono tanto meglio.
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Studente Anonimo
15 ago 2012, 20:43
Un esercizio che ho trovato in giro. Molto carino e semplice: dedicato a chi prepara Analisi I.
Esercizio. Sia $f:RR \to RR$ continua. Fissati $a,b \in \RR$, calcolare
\[
\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_a^b f(x+h)-f(x)dx.
\]
Determinare il luogo delle proiezioni ortogonali di un punto dello spazio
sui piani che passano per un altro punto fissato.
che è una sfera?
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