Geometria e Algebra Lineare

Ho incominciato questo esercizio tipo esame. Vorrei che qualcuno lo supervisionasse Endomorfismo in $R^3$: $f(x,y,z)=(2x+3y-z,-y+z,-6y+4z)$ 1) si determinino le dimensioni di $kerf$ e $Imf$ la matrice associata è: $((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$ il determinante è $4$ dunque diverso da $0$ E' un automorfismo. La matrice ha rango massimo ed è un endomorfismo invertibile. $rang=DimImf$ $DimImf=3$ $DimKerf=0$ in quanto ...

Ho incominciato a fare un nuovo argomento, e ci sono degli esercizi a proposito, vorrei controllare con voi. Ho due piani: $alpha: 3x-y+2z+2=0$ $Beta: x+y-z=0$ a) si dica se i piani sono paralleli. Non sono paralleli tra loro. perchè sarebbe dovuto essere $(a,b,c)=tau(a',b',c')$ oppure: $3x-y+2z+K=0$ o $x+y-z+k=0$. b) si dica se sono ortogonali. Si, sono ortogonali perchè: $(3,-1,2)*(1,1,-1)=0$ per adesso solo questo. Grazie dell'attenzione.

Sia $U=<(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)>$ e $W:\{(x_2=0),(x_3=0)}$. Cerco la matrice della proiezione lungo W nelle basi canoniche. $(x_1,x_2,x_3,x_4)=u+w$ quindi $w=(x_1,x_2,x_3,x_4)-u=(x_1-a,x_2+a,x_3-b,x_4+b)$. Impongo che quest'ultimo vettore stia in W quindi $\{(x_2+a=0),(x_3-b=0)}$ da cui $\{(a=-x_2),(b=x_3)}$. La generica proiezione è quindi $(x_1+x_2,0,0,x_3+x_4)$ ma deve esserci un errore...dove sbaglio?

Salve , se io ho un piano $pi:ax+by+cz+d=0$ Il vettore perpendicolare al piano è $vec v(a, b,c)$ ??? Giusto? E il vettore parallelo al piano ? mi sto confondendo!

Sono in crisi, non riesco a svolgere un esercizio. Mi chiede di trovare i vettori di norma 3 che siano perpendicolari ad un piano dato $a: x+y-3=0$ non so da dove iniziare

Ciao a tutti; dove posso trovare una dimostrazione non semplificata del teorema seguente? Sia $\Omega \sub \mathbb R^n$ aperto connesso e sia $ \omega : \Omega \to Hom(\mathbb R^n,\mathbb R)$ una forma differenziale lineare in $\mathbb R^n$ chiusa, di classe $C^1(\Omega)$. Se $\gamma_1,\gamma_2$ sono curve chiuse, regolari a tratti, orientabili e omotope, allora $ \int_{\gamma_1} \omega = \int_{\gamma_2} \omega$. Purtroppo non conosco il nome esatto di questo teorema.. Grazie!

Ragazzi qualcuno mi da una mano a risolvere questo sistema lineare: Studiare al variare del parametro reale a, il seguente sistema lineare: $ x+z=0 $ $ ax+y+z=1 $ $ (2a+3)x+ay-z=4 $ Ho problemi anche nella riduzione( si lo so sono un caso grave), qualcuno riesce a risolverlo?

Eccomi di nuovo a chieder lumi. Ho il seguente problema: Allora io so che dati tot vettori essi sono complanari se stanno sullo stesso piano,cioè se sono linearmente dipendenti quindi se il determinante della matrice è 0. Se non sono complanari essi formano una terna positivamente/negativamente orientata a discrezione del segno. In questo problema ho dei vettori in questa forma $bar(v), bar(v)^^4bar(w),-3bar(w)^^bar(v)$. Come trovo la matrice? Secondo me devo sfruttare il fatto che sono non ...

ciao a tutti ho un piccolo problema con i fasci di piani...ovvero ho un'esercizio che mi chiede di fissare un k tale che i tre piani $ x-y-z=0 4kx+4y-8kz=0 kx+ky-2z=0$ appartengano ad uno stesso fascio e sia r la retta di tale fascio.... è circa 2 giorni che ci macino sopra ma non ne vengo fuori.... vi sarei molto grato se qualcuno mi dasse una mano.... mi scuso anticipatamente per eventuali errori di testo ma questa è la prima volta che partecipo a un forum.

ho questa matrice $((k-\lambda,0,-k),(1,k^2-7-\lambda,-1),(7,0,-7-\lambda))$ devo calcolare l'autovalore come risultato ho $\lambda =0$ e $\lambda^2-\lambda(k^2-k-14)+(-k^3+7k^2+7k-49)=0$ e adesso se applico la formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. non riesco a conoscere gli autovalori per valori di k cosa mi consigliate di fare?

Salve, risolvendo un esecizio di algebra ad un certo punto ho trovato un intoppo. Devo cercare un piano che passi per un punto dato $P(3,0,1)$ e sia perpendicolare ad un dato piano $gamma: 2x+3z+1$ questo è il mio procedimento, ho utilizzatto l'equazione della stella di piani imponendo che passi per il punto $P$ $a(x-3)+b(y-0)+c(z-1)=$ che viene $a(x-3)+by+c(z-1)=0$ poi applico la condizione di perpendicolarità tra due piani $aa'+ bb'+ cc'=0$ e poi non so continuare, ...

Buonasera a tutti! Ricordo il primo, il secondo ed il terzo assioma di separazione: Primo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_1[/tex], se per ogni coppia di punti distinti [tex]x,y\in X[/tex] esiste un aperto [tex]U\subseteq X[/tex] tale che [tex]x\in U[/tex] e [tex]y\notin U[/tex] ed un aperto [tex]V\subseteq X[/tex] tale che [tex]y\in V[/tex] e [tex]x\notin V[/tex] . Secondo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] ...

Vi riporto un esercizio del tipo: sia $r$ una retta passante per i punti $A(0,1,0)$ e $B(1,0,1)$, e sia $s$ una retta rappresentata dal sistema cartesiano: $ R{ ( x-y=2 ),( y+z=-1 ):} $. Vogliamo stabilire un piano ($pi$) passante per il punto $P(1,1,1)$ e parallelo ad $r$ ed $s$. Mi è stato suggerito, ma non spiegato, un certo metodo che preveda unicamente l'uso di matrici, ritenendo i miei passaggi troppo ...

Ciao a tutti, mi sto reparando per l'esame di geometria lineare ma non so proprio come fare quaesto esercizio: Sia Bs $ ( \mathbb R ^{3},\mathbb{R} ) $ lo spazio vettoriale delle forme bilineari simmetriche su [tex]{\mathbb{R} }^{3}[/tex] . Si consideri l'insieme Bo = [tex]\left\{ $\varphi$ \in Bs \left( \mathbb{R} }^{3},\mathbb{R} )/ W \subseteq ker$\varphi$ }[/tex] } dove [tex]W=\left\{ \right {\mathbb{R} }^{3} \ni \left( x1,x2,x3) / x1=x2-3=0 }[/tex] } 1) scrivere la matrice ( ...

Salve . Il mio problema è il seguente. Per ogni $a in R$ si consideri il seguente endomorfismo dello spazio vettoriale standard $R^3$ $f : R^3 rarr R^3 f(x,y,z)=(x+y+2az, ay+2z, -y+(a-3)z)$ 1) Si scriva la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base naturale di $R^3$ (e l'ho fatto) $f(1,0,0) rarr (1,0,0) <br /> $f(0,1,0) rarr (1,a,-1) $f(0,0,1) rarr (2a,2,a-3)<br /> <br /> Quindi una base di $Im f$ sarà $B(1,0,0)(1,a,-1)(2a,2,a-3)$<br /> <br /> DOMANDA<br /> Si dica per quali valori di "a in R" il vettore $vec v(1,2,-1)$ verifica la seguente condizione: <br /> <br /> 1) $vec v in Im f$<br /> <br /> risposta: quello che devo fare è vedere solo se questo vettore DIPENDE dai vettori della base dell'immagine?????<br /> <br /> 2) $vec v ...

Dato il seguente endomorfismo di R3, f(x,y,z)=(x-y,-x+y,z) 1) trovare gli autovalori di f e stabilire se f è un'applicazione lineare semplice; 2)determinare gli eventuali k appartenenti a R tli che (+1,0,2) è un autoettore di f 1) la matrice associata è : $((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1))$ gli autovalori sono T1=0,T2=1,T3=2 gli autovalori sono tutti distinti quindi l'endomorfismo è sicuramente semplice. 2)determino gli autovettori che saranno: $((1,1,0))$,$((0,0,1))$,$((1,-1,0))$ e ...

sia $f:RR^4\to RR^3$ l'applicazione lineare $f(x,y,z,t)=(y+z,x+y+t,t+z)$: 1)stabilire se $f$ è iniettiva, surriettiva, biettiva 2)per quali valori di $k$ appartenente a $RR$ risulta $(k,k,k,0)$ appartenere al $Ker(f)$? la maticie associata ad $f$ è $((0,1,1,0),(1,1,0,1),(0,0,1,1))$ 1) il rango della matrce è $3$ quindi è surriettiva, non inniettiva, quindi neanche biettiva. la dimensione del $ker(f)$ è uguale a ...

Dato il punto P(3,0,1) e la retta r: { x = -t ; y = 2t + 3 ; z = 4t - 1 Determinare il piano che contiene il punto P e la retta r. Non riesco a risolvere questo punto, Mi manca solo questo x completare il compito d´esame...Qualcuno puo aiutarmi? ho provato col fascio di piani facendo: 1) ricavare le equazioni della retta in forma cartesiana; 2) utilizzarle nell equazione del fascio di piani; $lambda$ $( 2x + y -3) + gamma ( 4x + z + 1) = 0 $ imporre che passi per il punto ...

In $RR^3$ si consideri il sottospazio $V={x in RR^3: x_1+x_2+x_3=0}$ Si indichi una applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ tale che $f( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $f(V)\subV$, $dim(Imf)=2$ Si determini la matrice $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_a$ allora ho innanzitutto trovato una base di $V$, per esempio $V=<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )>$ per definire una applicazione mi basta definire come essa agisce sui vettori della base, quindi impongo ...

data la seguente matrice: $A=( ( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ) )$ devo calcolare gli autospazi. (premetto che gli autovalori devono essere 0 e -2) comincio facendo il polinomio caratteristico (noto che A ha rango 2, quindi deve risultare 0 come autovalore di molteplicità 2) della matrice. $p_A(t)= det(A-tI_4) = | ( -1-t , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1-t , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -1-t , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-t ) | =$ (sviluppo di Laplace secondo la prima riga) $= (-1-t)|(-1-t , 0 , 1),(0 , -1-t , 0),(1 , 0 , -1-t)|+(1)|(0 , -1-t , 1),(1 , 0 , 0),(0 , 1 , -1-t)| =$ (sviluppo il primo minore secondo la 2° riga, e il secondo minore secondo la 1° colonna) $ =(-1-t)(-1-t)[(-1-t)^2-1]+(1)(1)[(-1-t)^2-1] =t^4+4t^3+2t^2+8t $ che non ha -2 come radice (non sono ...