Fasci di piani

[marco_bum_bum]

ciao a tutti
ho un piccolo problema con i fasci di piani...ovvero ho un'esercizio che mi chiede di fissare un k tale che i tre piani $ x-y-z=0 4kx+4y-8kz=0 kx+ky-2z=0$ appartengano ad uno stesso fascio e sia r la retta di tale fascio.... è circa 2 giorni che ci macino sopra ma non ne vengo fuori.... vi sarei molto grato se qualcuno mi dasse una mano....

mi scuso anticipatamente per eventuali errori di testo ma questa è la prima volta che partecipo a un forum.

[mistake89]

Una idea: Se i piani appartengono ad uno stesso fascio, comunque ne intersechi 2, questi ti daranno una retta $a$ asse del fascio ed ogni altro piano si potrà scrivere come combinazione lineare di tali piani. Pertanto interseca due piani a caso (io ti consiglio il primo ed il secondo poichè il parametro $k$ è presente solo nella $x$) e verifica per quali $lambda,mu,k$ il terzo piano vi appartiene.

[fra e ste]

esatto..basta fare un sistemino in tre variabili!

[marco_bum_bum]

mille grazie x l'mmediata risposta ma avevo già provato questo metodo e i due risultati non combaciano...nella soluzione a k viene assegnato il valore -2/3 e la retta r è rappresentata dal sistema $x-y-z=0$ $-2y+6z-1=0$ mentre a me viene tutt'altro risultato.

[fra e ste]

io l'ho svolto così:

ho scritto il fascio di piani fra i primi due piani dati $ a*(x-y-z) + b*(4kx+4y-8kz)=0 hArr (a+4bk)x+(-a+4b)y+(-a-8kb)z=0 $

scrivo il sistemino, eguagliando i valori delle x y z con quelli del terzo piano: $ { ( a+4bk=k ),( -a+4b=k ),( -a-8kb=-2 ):} $

$ { ( a=4b-k ),( 4b-2k+4bk=0 ),( -4b-8bk+k+2=0 ):} $ $ hArr { ( a=4b-k ),( 2b-k+2bk=0 ),( b=1/(1+3k) ):} $

$ 2/(1+3k) - k + 2k/(1+3k)=0 hArr 2-k-3k^(2)+2k=0 $ con $ k != -1/3 $

da cui $ k = 1 $ o $ k = -2/3 $

probabilmente il libro sceglie arbitrariamente una sola delle soluzioni..

[marco_bum_bum]

grazie ancora adesso torna tutto...