Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti! Vi chiedo un aiuto: mi potete spiegare come sostanzialmente si diagonalizza una matrice? Inoltre ho un problema: devo indicare per quali valori di $ k $ la matrice $ A $ è diagonalizzabile. $ A= ( ( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , k , 0 ) ) $ .
Ho fatto così:
$ A-lambdaI| ( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , k , 0 ) | $
Pongo che il determinante deve essere uguale a 0, in modo da trovare il polinomio caratteristico.
$ det(A-lambdaI)= 0 <=> k| ( 1-lambda , 0 , 0 ),( 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | +lambda| (1-lambda , 0 , -1 ), ( 0 , -1-lambda , 1 ) , ( 0 ,0 , 1-lambda) |=0 <=> -lambda^4+lambda^3+(k+1)lambda^2-lambda-k=0 $ .
So che probabilmente è una domanda scema ma come faccio a ridurre al polinomio ...
L'esercizio dice:
Classificare $Q: x^2+y^2+xz-z=0$ e verificare che $\pi: x+y-1=0$ è un piano diametrale rispetto a $Q$ e determinare la direzione coniugata.
L'esercizio l'ho risolto: $Q$ risulta essere un ellissoide, il cui centro $C(1,0,-2) in \pi$ che quindi è un piano diametrale.
Ma ora, scusate la domande sciocca, come determinino il polo del piano diametrale?
Per analogia con il caso bidimensionale ho pensato intersecandolo con il piano improprio ...
La Proiezione di $(1+i,1+i)$ nella direzione di $(1,i)$
Abbiamo numeri complessi, la proiezione è diversa da i numeri Reali.
Procedimento?
Salve,avrei bisogno di un aiuto nel risolvere i seguenti problemi:
1)Nel triangolo isoscele abc la base ab ,osira 6 cm e il coseno dell'angolo al certice è 7/25. Detto m il punto medio di ab,si determini un punto p sul lato ac in modo che risulti (p*m)^2 + (p*b)^2 = 41 (senza usare il teorema di pitagora).
2)Verifica che gli elementi del triangolo qualunque abc sussiste sempre la seguente relazione: a*b*cosGamma+b*c*cosAlfa+a*c*cosBeta = 1/2*(a^2+b^2+c^2)
Vi spiego in poche parole quello che è il mio problema:
Supponiamo di avere un'equazione agli autovalori e di avere una matrice A quadrata ma non simmetrica.
Tenuto conto che una tale matrice non può essere simmetrizzata (per quello che ne so), a parte scriverla come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica sfruttando la sua trasporta, esiste un teorema che mi permetta di costruire una matrice simmetrica in grado di darmi gli stessi autovalori di quella non ...
Ciao a tutti,
avendo due Matrici normate devo dimostrare che:
a)
$||A+B||<=||A||+||B||$ (disuguaglianza triangolare);
b)
$||AB||<=||A|| ||B||$ (compatibilità con il prodotto di matrici).
[tex]\displaystyle \|A\|=\left(\sum_{i,j=1}^n(a_{i,j})^2\right)^{1/2},\ \ A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})[/tex].
Io ho sostituito la definizione per A und B ma poi non so piü come procedere...qualcuno potrebbe darmi un indizio?
grazie
Buonasera a tutti!
Nel libro di testo ho trovato le seguenti affermazioni:
1) Lo spazio topologico $(RR;tau_d)$, dove con $tau_d$ si denota la topologia discreta, soddisfa il primo ma non il secondo assioma di numerabilità;
2) Lo spazio topologico $(RR;tau_c)$, dove con $tau_d$ si denota la topologia cofinita, non soddisfa il primo assioma di numerabilità.
Come le posso giustificare?
Riguardo la prima avrei pensato a questa idea: lo spazio topologico in ...
Ciao!
Volevo sapere se era corretto il mio ragionamento.
Allora ho una proiettività φ nel piano e mi sono date 3 rette e le loro rispettive rette immagine, un punto e la sua rispettiva immagine.
Le equazioni delle rette e le coordinate del punto sono:
$m: x=0$
$n: y=0$
$r: t=0$
$P: (1,5,2)$
le immagini sono rispettivamente
$\phi(m)=n$
$\phi(n)=r$
$\phi(r)=m$
$\phi(P)= (-2,1,40)$
Allora cosa ...
Ciao...vi posto un latro sistema lineare...questo però l'ho risolto e volevo conferma di quanto svolto!
${(2x+3y+z=2),(x-4y+2z=-1),(4x+y-z=1):}$
l'ho risolto con cramer... prima ho calcolato il determimante (D) della matrice assiciata al sistema,ed è diverso da zero... $det=10$
poi mi sono calcolata Dx Dy Dz...
x=Dx/D y=Dy/D z=Dz/D
x=18/5 y=21/10 z = 37/10 è giusto?
ci sono altri sistemi di risoluzione x qsto tipo di siostemi con termini noti diversi da zero? grazie
Salve a tutti..
avrei due problemi da risolvere:
il primo è come fare a trovare i punti all'infinito di un insieme;ad esempio come si calcolano quelli dell'insieme $((t,1/t,t-1/t)t∈R^3,t>0)$?
Il secondo è come determinare i punti di intersezione di spazi proiettivi come $((t:t^2:t^3)t∈R) e ((2s:4 :s^2)s∈R)$..
Grazie a tutti quelli che risponderanno
Scusate ragazzi come posso fare a dimostrare ad esempio che:
f((-1; 1; 1)) = (1; 0; 0) non è un applicazione lineare??
grazie
Ciao a tutti! Innanzi tutto mi scuso se sono sempre qui a chiedere aiuto ma la prof ha spiegato le sfere in modo molto sbrigativo e non l'ho capito bene. Questo è il problema:
Data la sfera $ sum:x^2+y^2+z^2-2x+y=0 $ ( $ C=(1;-1/2;0) $ e $ r=sqrt5/2 $ ) trovare la sfera $ sum ' $ tangente a $ sum $ nell'origine e avente centro sul piano $ pi: x-2y-z+2=0 $ .
Io avevo pensato di prendere il piano passante per l'origine ortogonale alla retta passante per il centro della sfera ...
Salve, qualcuno, potrebbe farmi uno schema su come determinare un endomorfismo di uno spazio vettoriale?
Rieccomi
Vorrei sottoporvi una mia impressione, non so quanto fondata, per sapere le vostri opinioni in proposito. Magari è un'osservazione scema, o forse solo una coincidenza (rare, in Matematica).
La situation è questa. Prendiamo uno spazio vettoriale finitamente generato, $mathcal V$ di dimensione $n$. Fissata una base $B$ in $mathcalV$, consideriamo un endomorfismo $f:mathcal V->mathcal V$.
Chiamo $A$ la matrice quadrata di ordine ...
Sto preparando la tesi ma non riesco ad implementare con matlab una funzione che faccia la seguente cosa:
1) Dati due punti A(x_1, y_1, z_1) e B(x_2, y_2, z_2) trovare la retta passante per questi due punti.
2) Dato un terzo punto C(x_3, y_3, z_3) trovare la distanza tra questo punto e la retta scritta al punto 1.
Il tutto lo dovrei implementare con MATLAB. Ma questo in effetti potrebbe essere il problema meno difficile da risolvere, una volta noto il procedimento matematico.
So che ...
determinare il rango al variare di $a$
$M=[[2,a,0,1],[0,a+1,-1,a],[1,-2a,-2,0]]$
trovo che $|(0,-1),(1,-2)|$ è diverso da zero quindi ha almeno rango 2
orlandola trovo $A=[[2a,0,1],[0,-1,a],[1,-2,0]]$ il cui determinante utilizzando Laplace risulta $4a^2+1$
e $B=[[2a,a,0],[0,a+1,-1],[1,-2a,-2]]$ il cui determinante (sempre con Laplace) risulta $a(-8a-5)$.
Il determinante di A non si annulla mai mentre B si annulla per a=0 o a=-5/8.
Il libro mi da come risultato che per ...
Buongiorno
Devo determinare l'equazione delle sfere tangenti al piano $ pi: x-y+2z-1=0 $ nel punto $ P=(1,0,0) $ e tangenti all'asse z.
Allora, in primo luogo ho cercato l'equazione generica di tutte le circonferenze tangenti a $ pi $ in $ P $. Mi viene questo:
$ (x-1)^(2)+y^2+z^2+k(x-y+2z-1)=0 => x^2+y^2+z^2-2x+1+k(x-y+2z-1)=0 => x^2+y^2+z^2+x(-2+k)-ky+2kz+1-k=0 $
Ora so che il centro e il raggio sono rispettivamente:
$ C=(1-k/2 ; k/2 ; -k ) $ e $ r=sqrt(3/2k^2)=ksqrt(3/2) $
Ora però cosa devo fare?
Salve a tutti
stavo facendo un esercizio.. dove definisce un applicazione $ varphi:V rarr W $dove $V,W$ sono spazi vettorial su $RR$
ad un certo punto chiede di considerare il sottoinsieme $ theta= {psi in End_(RR)(V): varphi o psi=0} $ e $ sigma={vartheta in End_(RR)(W): vartheta o varphi=0} $
chiede di dimostrare che siano sottospazi di endomorfismi su V e W rispettivamente:
ho scritto
$ f_1,f_2 in theta $ dunque $(varphi o f_1)(v) = (varphi o f_2)(v) = 0$
$ (varphi o (f_1+ f_2))(v)=varphi o [(f_1(v)+ f_2(v))]=varphi [(f_1(v)+ f_2(v))]=varphi [f_1(v)]+ varphi[f_2(v)]=0+0=0 $
e analogamente per il prodotto per uno scalare insomma $theta$ è un ...
In $RR^3$ si considerino i sottospazi
$V={x in RR^3: x_1-3x_2-3x_3=0} , W={x in RR^3: 2x_1+x_2+x_3=0}$
Si indichi una applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ tale che
°$f$ sia iniettiva,
°per ogni $v in V$ si abbia $f(v) in W$
Si determini la matrice $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_A$.
Allora intanto mi sono trovato una base di entrambi gli spazi, quindi per esempio
$V=<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ), ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )>$ e $W=<( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) ), ( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )>$
ora so che ogni vettore $v in V$ è dato dalla forma ...
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