Ricerca autovalori
ho questa matrice
$((k-\lambda,0,-k),(1,k^2-7-\lambda,-1),(7,0,-7-\lambda))$
devo calcolare l'autovalore
come risultato ho $\lambda =0$
e $\lambda^2-\lambda(k^2-k-14)+(-k^3+7k^2+7k-49)=0$
e adesso se applico la formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
non riesco a conoscere gli autovalori per valori di k
cosa mi consigliate di fare?
$((k-\lambda,0,-k),(1,k^2-7-\lambda,-1),(7,0,-7-\lambda))$
devo calcolare l'autovalore
come risultato ho $\lambda =0$
e $\lambda^2-\lambda(k^2-k-14)+(-k^3+7k^2+7k-49)=0$
e adesso se applico la formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
non riesco a conoscere gli autovalori per valori di k
cosa mi consigliate di fare?
Risposte
di distinguere i casi in base al discriminante
adesso ho trovato quattro autovalori
per k= 0 $\lambda$=-7
per k=1 $\lambda$=-7+$sqrt(13)$
$\lambda$=-7-$sqrt(13)$
perfetto adesso per vedere se per tutti i valori di k la matrice è diagonalizzabile
sostituisco k alla matrice originale e poi?
potete aiutarmi grazie
per k= 0 $\lambda$=-7
per k=1 $\lambda$=-7+$sqrt(13)$
$\lambda$=-7-$sqrt(13)$
perfetto adesso per vedere se per tutti i valori di k la matrice è diagonalizzabile
sostituisco k alla matrice originale e poi?
potete aiutarmi grazie
Controlla meglio il tuo polinomio caratteristico.
Credo che ci sia qualche segno errato.
Il polinomio caratteristico della matrice $A=((k,0,-k),(1,k^2-7,-1),(7,0,-7))$
dovrebbe essere
$-\lambda(\lambda-k+7)(\lambda-k^2+7)$.
[Hint sul metodo di calcolo: Laplace sulla seconda colonna]
[mod="cirasa"]@ DAIANA: Ho modificato il tuo post iniziale, sistemando le formule. Le prossime volte racchiudi l'intera formula fra i tag \$.
Inoltre, ti chiedo di modificare il tuo ultimo messaggio (tasto "Modifica" in alto a destra all'interno del messaggio stesso). E' vietato l'uso del maiuscolo. Te l'ho già detto un'altra volta.
Non me lo far ripetere più.[/mod]
Credo che ci sia qualche segno errato.
Il polinomio caratteristico della matrice $A=((k,0,-k),(1,k^2-7,-1),(7,0,-7))$
dovrebbe essere
$-\lambda(\lambda-k+7)(\lambda-k^2+7)$.
[Hint sul metodo di calcolo: Laplace sulla seconda colonna]
[mod="cirasa"]@ DAIANA: Ho modificato il tuo post iniziale, sistemando le formule. Le prossime volte racchiudi l'intera formula fra i tag \$.
Inoltre, ti chiedo di modificare il tuo ultimo messaggio (tasto "Modifica" in alto a destra all'interno del messaggio stesso). E' vietato l'uso del maiuscolo. Te l'ho già detto un'altra volta.
Non me lo far ripetere più.[/mod]
ciras avevi perfettamente ragione avevo fatto alcuni errori di calcolo
$\lambda$= 0
$\lambda$ =-7
$\lambda$ =-6
per k=0 e k=1 adesso come faccio a dire se è diagonalizzabile per ogni k???
$\lambda$= 0
$\lambda$ =-7
$\lambda$ =-6
per k=0 e k=1 adesso come faccio a dire se è diagonalizzabile per ogni k???
per essere diagonalizzabile gli autovalori trovati $\lambda$ devono essere diversi e devono formare una base di autovettori giusto?
Se hanno tutti molteplicità $1$ allora è sicuramente diagonalizzabile (perchè?), se la loro molteplicità algebrica è diversa da 1 allora dobbiamo verificare se coincide con quella geometrica.
Il primo passo è capire quando, al variare di $k$, varia la molteplicità di un autovalore.
Il primo passo è capire quando, al variare di $k$, varia la molteplicità di un autovalore.
per k=0 ho
$\lambda$ =0
$\lambda$ =-7
$\lambda$ =-7
adesso per sapere se è diagonalizzabile devo calcolare l'autospazio
per $\lambda$ =0 il sistema y=0 e x=z ma la mia matrice ha dim 3 e il rango della matrice è 1 quindi l'autospazio ha dim 2 perchè a me ne esce uno solo?
ps: la matrice con i valori sostistuiti è
$((0,0,0),(1,-7,-1),(7,0,-7))$
cioè v=(1,0,1) ????e l'altro??
per $\lambda$ =-7
la matrice $((7,0,0),(1,0,-1),(7,0,0))$
ho che la dim A= 3 rg(A+7I)=2 quindi il sistema
ha come soluzione x=0 e x=y quindi y=0
il v=(0,0,1)
potete dirmi se il ragionamento è giusto e se ho dimostrato che è diagonalizzabile per k=0??
$\lambda$ =0
$\lambda$ =-7
$\lambda$ =-7
adesso per sapere se è diagonalizzabile devo calcolare l'autospazio
per $\lambda$ =0 il sistema y=0 e x=z ma la mia matrice ha dim 3 e il rango della matrice è 1 quindi l'autospazio ha dim 2 perchè a me ne esce uno solo?
ps: la matrice con i valori sostistuiti è
$((0,0,0),(1,-7,-1),(7,0,-7))$
cioè v=(1,0,1) ????e l'altro??
per $\lambda$ =-7
la matrice $((7,0,0),(1,0,-1),(7,0,0))$
ho che la dim A= 3 rg(A+7I)=2 quindi il sistema
ha come soluzione x=0 e x=y quindi y=0
il v=(0,0,1)
potete dirmi se il ragionamento è giusto e se ho dimostrato che è diagonalizzabile per k=0??
per $\lambda=0$ la matrice ha evidentemente rango $2$ e quindi la dimensione dell'autospazio è $1$, ma non c'era nemmeno bisogno di controllare, siccome dovresti sapere che la molteplicità algebrica è maggiore o uguale di quella geometrica, e quest'ultima non è nulla se esiste ovviamente..
l'unica cosa da controllare era per $\lambda=7$, e se scopri che questo autovalore ha molteplicità algebrica $2$ e geometrica $1$, cosa ne deduci?
poi non ho capito bene come cerchi gli autovettori, ma tanto una base non puoi trovarla quindi..
l'unica cosa da controllare era per $\lambda=7$, e se scopri che questo autovalore ha molteplicità algebrica $2$ e geometrica $1$, cosa ne deduci?
poi non ho capito bene come cerchi gli autovettori, ma tanto una base non puoi trovarla quindi..
grazie per la risposta ma ancora non riesco bene a capire
allora per k=0 ho che per
$\lambda$=0 ho molteplicità algebrica pari a 1 la molteplicità geometrica(dim autospazio)= 1
per $\lambda$=-7 la molteplicità algebrica è 2 la molteplicità geometrica= 1 quindi poichè la 1
allora per k=0 ho che per
$\lambda$=0 ho molteplicità algebrica pari a 1 la molteplicità geometrica(dim autospazio)= 1
per $\lambda$=-7 la molteplicità algebrica è 2 la molteplicità geometrica= 1 quindi poichè la 1
Se i calcoli relativi alla dimensione dell'autospazio sono esatti allora è giusto.
Osserva che i casi da distinguere per $k$ però non sono finiti.
Osserva che i casi da distinguere per $k$ però non sono finiti.
si si infatti per k=0 non è diagonalizzabile ma ora devo studiarla per k=1
per k=1
$\lambda$=0
$\lambda$=-6
$\lambda$=-6
adesso per $\lambda$=0
$((1,0,-1),(1,-6,-1),(7,0,-7))$
quindi la mia matrice ha rango 2 la molteplicità algebrica è 1 la molteplicità geometrica è 1
quindi può essere diagonalizzabile
vado a studiare per $\lambda$=-6
la matrice
$((-5,0,-1),(1,0,-1),(7,0,-1))$
adesso noto che la molteplicità algebrica è 2 la molteplicità geometrica è 1 mi sa che ho sbagliato non riesco a capire --
per k=1
$\lambda$=0
$\lambda$=-6
$\lambda$=-6
adesso per $\lambda$=0
$((1,0,-1),(1,-6,-1),(7,0,-7))$
quindi la mia matrice ha rango 2 la molteplicità algebrica è 1 la molteplicità geometrica è 1
quindi può essere diagonalizzabile
vado a studiare per $\lambda$=-6
la matrice
$((-5,0,-1),(1,0,-1),(7,0,-1))$
adesso noto che la molteplicità algebrica è 2 la molteplicità geometrica è 1 mi sa che ho sbagliato non riesco a capire --
non c'è nessuno che può aiutarmi?
"DAIANA":[mod="Martino"]Ti ricordo che da regolamento non sono ammessi "up" dopo meno di 24 ore. Per favore ricordati di questo in futuro.[/mod]
non c'è nessuno che può aiutarmi?
A me l'ultima matrice sembra diagonalizzabile perchè possiede autovalori distinti.
mi spieghi meglio cosa intendi??
per k=1 e $\lambda$=-6
ho la seguente matrice
$((-5,0,-1),(1,0,-1),(7,0,-1))$
ma adesso facendo lo stesso ragionamento ( $\lambda$=-6 ha molteplicità algebrica 2 o sbaglio? quindi poichè la dim di a è 3 la molteplicità geometrica è 1 il che mi fa concludere che la mia matrice non è diagonalizzabile)
non so dove sbaglio
per k=1 e $\lambda$=-6
ho la seguente matrice
$((-5,0,-1),(1,0,-1),(7,0,-1))$
ma adesso facendo lo stesso ragionamento ( $\lambda$=-6 ha molteplicità algebrica 2 o sbaglio? quindi poichè la dim di a è 3 la molteplicità geometrica è 1 il che mi fa concludere che la mia matrice non è diagonalizzabile)
non so dove sbaglio

Ah scusa non avevo letto tutto il topic.
Io ho visto la matrice scritta cosi com'era ed ho pensato dovevi verificare se è diagonalizzabile.
Te inveci parli di $\lambda$ già trovati..
Io ho visto la matrice scritta cosi com'era ed ho pensato dovevi verificare se è diagonalizzabile.
Te inveci parli di $\lambda$ già trovati..
si nn riesco a capire come faccio a capire se per il valore $\lambda$ è diagonalizzabile
Sai calcolare la molteplicità geometrica di un autovalore? Si tratta di determinare una base dell'autospazio relativo $V_lambda$.
In parole povere sostituisci a $lambda$ il valore dell'autovalore considerato in $A$ e moltiplica $Av=0$ con $v=(x,y,z)$. Otterrai un sistema omogeneo che le cui soluzioni rappresentano uno spazio vettoriale. estrai una base. Verifica se le dimensione di tale spazio $V_lambda$ è uguale alla molteplicità algebrica di $lambda$. Se coincide per ogni autovalore allora è diagonalizzabile. Altrimenti no.
In parole povere sostituisci a $lambda$ il valore dell'autovalore considerato in $A$ e moltiplica $Av=0$ con $v=(x,y,z)$. Otterrai un sistema omogeneo che le cui soluzioni rappresentano uno spazio vettoriale. estrai una base. Verifica se le dimensione di tale spazio $V_lambda$ è uguale alla molteplicità algebrica di $lambda$. Se coincide per ogni autovalore allora è diagonalizzabile. Altrimenti no.
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.