Esercizio forme blineari simmetriche
Ciao a tutti, mi sto reparando per l'esame di geometria lineare ma non so proprio come fare quaesto esercizio:
Sia Bs $ ( \mathbb R ^{3},\mathbb{R} ) $ lo spazio vettoriale delle forme bilineari simmetriche su [tex]{\mathbb{R} }^{3}[/tex] . Si consideri l'insieme Bo = [tex]\left\{ $\varphi$ \in Bs \left( \mathbb{R} }^{3},\mathbb{R} )/ W \subseteq ker$\varphi$ }[/tex] } dove
[tex]W=\left\{ \right {\mathbb{R} }^{3} \ni \left( x1,x2,x3) / x1=x2-3=0 }[/tex] }
1) scrivere la matrice ( rispetto alla base standard di [tex]{\mathbb{R} }^{3}[/tex] ) della generica [tex]$\varphi$ \in Bo[/tex] , verificare che Bo è un sottospazio vettoriale di Bs [tex]( {\mathbb{R} }^{3},\mathbb{R} )[/tex] e trovare una base per Bo
2) Classificare tutte le forme bilineari [tex]$\varphi$ \in Bo[/tex] che verifichino la condizione: i sottospazi vettoriali W1=L((1,1,1)) e W2= [tex]\left\{ \left(x1,x2,x3) \in {\mathbb{R} }^{3} /x1+x3=0 }[/tex] } sono ortogonali (rispetto a [tex]$\varphi$[/tex] )
Mi potreste spiegare che ragionamento fare? Perchè non riesco a capire proprio da dove iniziare...
Sia Bs $ ( \mathbb R ^{3},\mathbb{R} ) $ lo spazio vettoriale delle forme bilineari simmetriche su [tex]{\mathbb{R} }^{3}[/tex] . Si consideri l'insieme Bo = [tex]\left\{ $\varphi$ \in Bs \left( \mathbb{R} }^{3},\mathbb{R} )/ W \subseteq ker$\varphi$ }[/tex] } dove
[tex]W=\left\{ \right {\mathbb{R} }^{3} \ni \left( x1,x2,x3) / x1=x2-3=0 }[/tex] }
1) scrivere la matrice ( rispetto alla base standard di [tex]{\mathbb{R} }^{3}[/tex] ) della generica [tex]$\varphi$ \in Bo[/tex] , verificare che Bo è un sottospazio vettoriale di Bs [tex]( {\mathbb{R} }^{3},\mathbb{R} )[/tex] e trovare una base per Bo
2) Classificare tutte le forme bilineari [tex]$\varphi$ \in Bo[/tex] che verifichino la condizione: i sottospazi vettoriali W1=L((1,1,1)) e W2= [tex]\left\{ \left(x1,x2,x3) \in {\mathbb{R} }^{3} /x1+x3=0 }[/tex] } sono ortogonali (rispetto a [tex]$\varphi$[/tex] )
Mi potreste spiegare che ragionamento fare? Perchè non riesco a capire proprio da dove iniziare...
Risposte
Ciao e benvenuto/a fra noi.
Bel problema, decisamente interessante. Allora, vediamo un po'.
Immagino che tu sappia scrivere abbastanza rapidamente una base di $W$, dico bene?
Quindi, la prima cosa da fare è scrivere una bella base per $W$ determinandone la sua dimensione.
Poi, che cosa vuol dire che $W subseteq "Ker" phi$? Vuol dire che se $barx in W => ...$, no? Ma com'è fatto il generico elemento di $W$? Sarà combinazione lineare di...
Dai prova un po' a ragionare su questa linea, posta qualche conto e vediamo come andare avanti.
Enjoy
P.S. Torino, vero? Abbena o Garbiero?
Bel problema, decisamente interessante. Allora, vediamo un po'.
Immagino che tu sappia scrivere abbastanza rapidamente una base di $W$, dico bene?
Quindi, la prima cosa da fare è scrivere una bella base per $W$ determinandone la sua dimensione.
Poi, che cosa vuol dire che $W subseteq "Ker" phi$? Vuol dire che se $barx in W => ...$, no? Ma com'è fatto il generico elemento di $W$? Sarà combinazione lineare di...
Dai prova un po' a ragionare su questa linea, posta qualche conto e vediamo come andare avanti.
Enjoy
P.S. Torino, vero? Abbena o Garbiero?
Garbiero
Allora W ha dimensione 1 e una base è ad esempio L=((0,1,1))
(Mi sono accorta che nel testo ho sbagliato a digitare, per trovare la base la seconda equazione non è x2-3=0 ma x2-x3=0...)
Poi se [tex]\vec x \in Ker[/tex] [tex]$\varphi$[/tex] allora vuol dire che inserito nell'equazione della forma bilineare la annulla giusto?
Però se non ho la foma bilineare come faccio?
Allora W ha dimensione 1 e una base è ad esempio L=((0,1,1))
(Mi sono accorta che nel testo ho sbagliato a digitare, per trovare la base la seconda equazione non è x2-3=0 ma x2-x3=0...)
Poi se [tex]\vec x \in Ker[/tex] [tex]$\varphi$[/tex] allora vuol dire che inserito nell'equazione della forma bilineare la annulla giusto?
Però se non ho la foma bilineare come faccio?
"AlyAly":
Garbiero
Ah, capito.
Allora W ha dimensione 1 e una base è ad esempio L=((0,1,1))
(Mi sono accorta che nel testo ho sbagliato a digitare, per trovare la base la seconda equazione non è x2-3=0 ma x2-x3=0...)
Sì, esatto. Comunque, tranquilla, avevo immaginato che non potesse essere $x_2-3$ altrimenti non era neanche un sottospazio... e poi ricordo bene questo esercizio.
Poi se [tex]\vec x \in Ker[/tex] [tex]$\varphi$[/tex] allora vuol dire che inserito nell'equazione della forma bilineare la annulla giusto?
Però se non ho la foma bilineare come faccio?
Hmmm, vedo un po' di confusione. Frena, frena. Qual è la definizione di $"ker" phi$? partiamo da lì: scrivi un po' la definizione...
Allora se [tex]\vec y \in Bs[/tex] allora Ker [tex]$\varphi$[/tex] = [tex]\left\{ \right} \vec x \in {\mathbb{R} }^{3}/ $\varphi$\left( \vec x,\vec y ) =0 \forall \vec y \in {\mathbb{R} }^{3}[/tex] }... giusto?
Esattamente.
[tex]\ker \varphi$ =\left\{ \right} \vec x \in {\mathbb{R} }^{3} \vert $\varphi$\left( \vec x,\vec y ) = 0,\,\, \forall \vec y \in {\mathbb{R} }^{3} \}[/tex].
Adesso, piccolo trucchetto che avevo usato io: una base di $W$, come hai giustamente detto tu prima, è data dal vettore $(0,1,1)=e_2+e_3$, dove con $e_i$ intendo i vettori della base canonica di $RR^3$ (ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, insomma la classica per intenderci). Ok fin qui? Ho solo scritto il vettore di una base di $W$ come somma di due vettori "belli".
Ma $W subseteq "ker"phi$: quindi, ad esempio, il vettore $x=e_2+e_3$ sta nel nucleo sei d'accordo? (sta in $W$, quindi sta anche nel nucleo). Ma se sta nel nucleo, l'hai scritto tu stessa, significa che
$phi(e_2+e_3, y) = 0$ per qualsiasi $y$ tu scelga in $RR^3$.
Ci sei? Adesso è facile facile... due suggerimenti: $y$ lo puoi scegliere qualsiasi e la forma è bilineare ... riesci a concludere da sola la prima parte?
[tex]\ker \varphi$ =\left\{ \right} \vec x \in {\mathbb{R} }^{3} \vert $\varphi$\left( \vec x,\vec y ) = 0,\,\, \forall \vec y \in {\mathbb{R} }^{3} \}[/tex].
Adesso, piccolo trucchetto che avevo usato io: una base di $W$, come hai giustamente detto tu prima, è data dal vettore $(0,1,1)=e_2+e_3$, dove con $e_i$ intendo i vettori della base canonica di $RR^3$ (ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, insomma la classica per intenderci). Ok fin qui? Ho solo scritto il vettore di una base di $W$ come somma di due vettori "belli".
Ma $W subseteq "ker"phi$: quindi, ad esempio, il vettore $x=e_2+e_3$ sta nel nucleo sei d'accordo? (sta in $W$, quindi sta anche nel nucleo). Ma se sta nel nucleo, l'hai scritto tu stessa, significa che
$phi(e_2+e_3, y) = 0$ per qualsiasi $y$ tu scelga in $RR^3$.
Ci sei? Adesso è facile facile... due suggerimenti: $y$ lo puoi scegliere qualsiasi e la forma è bilineare ... riesci a concludere da sola la prima parte?
Ma quindi ad [tex]\vec y[/tex] posso dare un valore qualsiasi che voglio io, ad esempio (1,1,1)? o devo tenere conto di alcune cose?
Può variare come vuoi tu; segue dalla definizione di nucleo. Ai fini dell'esercizio, però, conviene prendere un paio di $y$ particolari... li hai davanti a te, non a caso ho scritto $(0,1,1) = e_2+e_3$...
Dai che ci sei...
Dai che ci sei...
Quindi come 2 valori di [tex]\vec y[/tex] prendo (0,1,0) e (0,0,1) ,ok
però me ne servono 3 di valori, esatto? quindi il terzo lo prendo a caso tipo (1,0,0)?
però me ne servono 3 di valori, esatto? quindi il terzo lo prendo a caso tipo (1,0,0)?
Perfect!
Dai a $y$ quei valori, sfrutta la bilinearità della forma e... ricordati che $phi(e_1, e_2)=a_(12)$ cioè è l'elemento di posto $1,2$ della matrice associata alla forma rispetto alla base canonica di $RR^3$.
Dai così che stai andando alla grande!
Dai a $y$ quei valori, sfrutta la bilinearità della forma e... ricordati che $phi(e_1, e_2)=a_(12)$ cioè è l'elemento di posto $1,2$ della matrice associata alla forma rispetto alla base canonica di $RR^3$.
Dai così che stai andando alla grande!
ok
Allora se ho capito bene prendo un vettore [tex]\vec x[/tex]= (x1,x2,x3) e poi calcolo le soluzioni del sistema
$ { ( varphi(vec x,vec e1 )=0 ),( varphi(vec x, vec e2)=0),(varphi(vec x ,vec e3)=0 ):} $
Però poi ho qualche problema a risolvere il sistema...mi viene:
$ { ( x1a12+x2a22+x3a23=0 ),( x1a13+x2a23+x3a33=0),( x1a11+x2a12+x3a13=0):} $
e da qui come lo risolvo? Ho sbagliato qualcosa?
Allora se ho capito bene prendo un vettore [tex]\vec x[/tex]= (x1,x2,x3) e poi calcolo le soluzioni del sistema
$ { ( varphi(vec x,vec e1 )=0 ),( varphi(vec x, vec e2)=0),(varphi(vec x ,vec e3)=0 ):} $
Però poi ho qualche problema a risolvere il sistema...mi viene:
$ { ( x1a12+x2a22+x3a23=0 ),( x1a13+x2a23+x3a33=0),( x1a11+x2a12+x3a13=0):} $
e da qui come lo risolvo? Ho sbagliato qualcosa?
Non capisco bene il sistema, ma penso sia sbagliato.
Ti faccio vedere con $e_1$, poi devi fare la stessa cosa anche con $e_2, e_3$.
Da $phi(e_2+e_3, y)=0$ per ogni $y$ si ha, prendendo $y=e_1$, $phi(e_2 +e_3, e_1)=0$ da cui, per bilinearità, $phi(e_2,e_1)+phi(e_3,e_1)=0$ cioè $a_(21)+a_(31)=0$ o, il che è lo stesso (forma simmetrica), $a_(12)+a_(13)=0$ (gli $a_(ij)$ sono gli elementi incogniti della matrice associata alla forma).
Procedendo in maniera analoga, tiri fuori altre due equazioni del genere. In totale avrai tre equazioni in sei incognite (=sei è l'ordine dello spazio della matrici simmetriche di ordine 3), dove le incognite appunto saranno i generici elementi della matrice. Risolvendo in maniera parametrica il sistema, adempi finalmente alla prima richiesta dell'esercizio.
Ok?
Ti faccio vedere con $e_1$, poi devi fare la stessa cosa anche con $e_2, e_3$.
Da $phi(e_2+e_3, y)=0$ per ogni $y$ si ha, prendendo $y=e_1$, $phi(e_2 +e_3, e_1)=0$ da cui, per bilinearità, $phi(e_2,e_1)+phi(e_3,e_1)=0$ cioè $a_(21)+a_(31)=0$ o, il che è lo stesso (forma simmetrica), $a_(12)+a_(13)=0$ (gli $a_(ij)$ sono gli elementi incogniti della matrice associata alla forma).
Procedendo in maniera analoga, tiri fuori altre due equazioni del genere. In totale avrai tre equazioni in sei incognite (=sei è l'ordine dello spazio della matrici simmetriche di ordine 3), dove le incognite appunto saranno i generici elementi della matrice. Risolvendo in maniera parametrica il sistema, adempi finalmente alla prima richiesta dell'esercizio.
Ok?
Ah, capito!!!
allora prendo come paramentri a,b,c ed esempio a quindi alla fine la matrice mi viene
$ ( ( a , -b , b ),( -b , -c , c ),( b , c , -c ) ) $
allora prendo come paramentri a,b,c ed esempio a quindi alla fine la matrice mi viene
$ ( ( a , -b , b ),( -b , -c , c ),( b , c , -c ) ) $
Non ho controllato i conti, ma mi pare proprio di ricordare che il risultato fosse qualcosa del genere...
Bene, brava. Tutto chiaro quindi?
Bene, brava. Tutto chiaro quindi?
Sì, tutto chiaro!
Poi per la base tengo conto che è isomorfo al sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche 3x3, quindi prendo la base canonica delle mtrici simmetriche che ha dimensione 3 e scrivo le tre corrispondenti forme bilineari simmetriche...
e poi il secondo punto dopo queste cose è facile...Grazie mille davvero!!!!!!!!!!
Poi per la base tengo conto che è isomorfo al sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche 3x3, quindi prendo la base canonica delle mtrici simmetriche che ha dimensione 3 e scrivo le tre corrispondenti forme bilineari simmetriche...
e poi il secondo punto dopo queste cose è facile...Grazie mille davvero!!!!!!!!!!
Perfetto, allora. Figurati, è stato un piacere.
Se hai ancora dubbi ricordati che siamo qui. Buono studio e in bocca al lupo
Se hai ancora dubbi ricordati che siamo qui. Buono studio e in bocca al lupo
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