Assiomi di separazione
Buonasera a tutti!
Ricordo il primo, il secondo ed il terzo assioma di separazione:
Primo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_1[/tex], se per ogni coppia di punti distinti [tex]x,y\in X[/tex] esiste un aperto [tex]U\subseteq X[/tex] tale che [tex]x\in U[/tex] e [tex]y\notin U[/tex] ed un aperto [tex]V\subseteq X[/tex] tale che [tex]y\in V[/tex] e [tex]x\notin V[/tex] .
Secondo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_2[/tex], o si dice che è uno spazio di Hausdorff, se per ogni coppia di punti distinti [tex]x,y\in X[/tex] esistono due aperti [tex]U,V\in \vartheta[/tex] tali che [tex]x\in U[/tex], [tex]y\in V[/tex] e [tex]U\cap V=\emptyset[/tex].
Terzo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_3[/tex], o si dice che è uno spazio regolare, se è [tex]T_1[/tex] e per ogni chiuso [tex]F[/tex] e ogni punto [tex]x\notin F[/tex] esistono due aperti disgiunti [tex]U,V[/tex] tali che [tex]x\in U[/tex] e [tex]F\subseteq V[/tex].
Mi viene posta la questione: se nel terzo assioma si ometta l'ipotesi della validità di [tex]T_1[/tex] allora [tex]T_3\nRightarrow T_2[/tex]. L'idea da seguire, che non mi è chiara, è la seguente. Sia [tex]X[/tex] uno spazio con la topologia indiscreta con la proprietà che per ogni chiuso [tex]F\subseteq X[/tex] e ogni [tex]x\notin F[/tex] esistono aperti [tex]U,V[/tex] tali che [tex]x\in U[/tex] e [tex]F\subseteq V[/tex]. L'unico chiuso [tex]F[/tex] per il quale esiste un punto [tex]x\notin F[/tex] è [tex]F=\emptyset[/tex] ed allora basta prendere [tex]U=X[/tex] e [tex]V=\emptyset[/tex].
Ma come deduco da ciò che non vale [tex]T_2[/tex]?
Vi ringrazio per le risposte.
Ricordo il primo, il secondo ed il terzo assioma di separazione:
Primo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_1[/tex], se per ogni coppia di punti distinti [tex]x,y\in X[/tex] esiste un aperto [tex]U\subseteq X[/tex] tale che [tex]x\in U[/tex] e [tex]y\notin U[/tex] ed un aperto [tex]V\subseteq X[/tex] tale che [tex]y\in V[/tex] e [tex]x\notin V[/tex] .
Secondo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_2[/tex], o si dice che è uno spazio di Hausdorff, se per ogni coppia di punti distinti [tex]x,y\in X[/tex] esistono due aperti [tex]U,V\in \vartheta[/tex] tali che [tex]x\in U[/tex], [tex]y\in V[/tex] e [tex]U\cap V=\emptyset[/tex].
Terzo assioma. Uno spazio [tex](X,\vartheta)[/tex] si dice che soddisfa l'assioma di separazione [tex]T_3[/tex], o si dice che è uno spazio regolare, se è [tex]T_1[/tex] e per ogni chiuso [tex]F[/tex] e ogni punto [tex]x\notin F[/tex] esistono due aperti disgiunti [tex]U,V[/tex] tali che [tex]x\in U[/tex] e [tex]F\subseteq V[/tex].
Mi viene posta la questione: se nel terzo assioma si ometta l'ipotesi della validità di [tex]T_1[/tex] allora [tex]T_3\nRightarrow T_2[/tex]. L'idea da seguire, che non mi è chiara, è la seguente. Sia [tex]X[/tex] uno spazio con la topologia indiscreta con la proprietà che per ogni chiuso [tex]F\subseteq X[/tex] e ogni [tex]x\notin F[/tex] esistono aperti [tex]U,V[/tex] tali che [tex]x\in U[/tex] e [tex]F\subseteq V[/tex]. L'unico chiuso [tex]F[/tex] per il quale esiste un punto [tex]x\notin F[/tex] è [tex]F=\emptyset[/tex] ed allora basta prendere [tex]U=X[/tex] e [tex]V=\emptyset[/tex].
Ma come deduco da ciò che non vale [tex]T_2[/tex]?
Vi ringrazio per le risposte.
Risposte
"Topologia indiscreta="...?
Topologia indiscreta: [tex]\vartheta _i=\{X,\emptyset\}[/tex] ...
Ah, ok. Beh allora è facile, dai. Ti pare che ${X, \emptyset}$ possa essere una topologia di Hausdorff?
Intuitivamente no. Ma come lo formalizzo?
Io avrei pensato a questa argomentazione: gli unici aperti sono [tex]X[/tex] e [tex]\emptyset[/tex] e presi i punti [tex]x,y,x \neq y[/tex] dovrebbe risultare, ad esempio, [tex]x\in X[/tex] e [tex]y \in \emptyset[/tex] e quest'ultima asserzione è assurda. Giusto?
Io avrei pensato a questa argomentazione: gli unici aperti sono [tex]X[/tex] e [tex]\emptyset[/tex] e presi i punti [tex]x,y,x \neq y[/tex] dovrebbe risultare, ad esempio, [tex]x\in X[/tex] e [tex]y \in \emptyset[/tex] e quest'ultima asserzione è assurda. Giusto?
Si. Chiaramente ti serve che $X$ contenga almeno due elementi.
Certamente! Ma come noto che non sta valendo [tex]T_1[/tex]?
Modo inutilmente complicato: se valesse $T_1$, dal momento che puoi separare i punti dai chiusi dovrebbe valere anche $T_2$ ma abbiamo appena dimostrato che non è così.
Modo migliore: dimostralo direttamente. Prendi due punti distinti: in quali aperti è contenuto uno? In quali l'altro? Ti pare che possa valere $T_1$?
Modo migliore: dimostralo direttamente. Prendi due punti distinti: in quali aperti è contenuto uno? In quali l'altro? Ti pare che possa valere $T_1$?
"Andrea90":
Certamente! Ma come noto che non sta valendo [tex]T_1[/tex]?
E' ugualmente molto semplice.
Se hai $x\inU$ con $U$ aperto, questo può essere solo $X$ intero, essendo questo l'unico aperto non vuoto.
Ma non può trovare alcun elemento $y\inX$ tale che $y\notinX$.
edit: chiedo scusa a dissonance, non avevo visto il messaggio suo
Ah ok! Grazie! Tutto chiaro!
Prego.
Un altro modo complicato per risolvere il problema è ricordare che uno spazio topologico è $T_1$ se e solo se ogni singoletto è chiuso (se stai studiando dalle dispense che penso, questa caratterizzazione degli spazi $T_1$ c'è di sicuro).
Ma appunto nel caso dell'indiscreta (salvo il caso di uno spazio con un solo elemento) gli unici chiusi sono il vuoto e tutto lo spazio, senza possibilità per i singoletti.
Un altro modo complicato per risolvere il problema è ricordare che uno spazio topologico è $T_1$ se e solo se ogni singoletto è chiuso (se stai studiando dalle dispense che penso, questa caratterizzazione degli spazi $T_1$ c'è di sicuro).
Ma appunto nel caso dell'indiscreta (salvo il caso di uno spazio con un solo elemento) gli unici chiusi sono il vuoto e tutto lo spazio, senza possibilità per i singoletti.
Esattamente! Avevo pensato anche io a sfruttare questa caratterizzazione!
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