Piano passante per un punto e perpendicolare ad un piano
Salve,
risolvendo un esecizio di algebra ad un certo punto ho trovato un intoppo. Devo cercare un piano che passi per un punto dato $P(3,0,1)$ e sia perpendicolare ad un dato piano $gamma: 2x+3z+1$
questo è il mio procedimento, ho utilizzatto l'equazione della stella di piani imponendo che passi per il punto $P$
$a(x-3)+b(y-0)+c(z-1)=$ che viene $a(x-3)+by+c(z-1)=0$
poi applico la condizione di perpendicolarità tra due piani $aa'+ bb'+ cc'=0$
e poi non so continuare, mi blocco e non riesco a verificare la perpendicolarità e terminare l esercizio....
qualcuno mi può illuminare?
Grazie
risolvendo un esecizio di algebra ad un certo punto ho trovato un intoppo. Devo cercare un piano che passi per un punto dato $P(3,0,1)$ e sia perpendicolare ad un dato piano $gamma: 2x+3z+1$
questo è il mio procedimento, ho utilizzatto l'equazione della stella di piani imponendo che passi per il punto $P$
$a(x-3)+b(y-0)+c(z-1)=$ che viene $a(x-3)+by+c(z-1)=0$
poi applico la condizione di perpendicolarità tra due piani $aa'+ bb'+ cc'=0$
e poi non so continuare, mi blocco e non riesco a verificare la perpendicolarità e terminare l esercizio....
qualcuno mi può illuminare?
Grazie
Risposte
Tale piano non è unico.
Considera la retta $s$ per $P$ perpendicolare a $gamma$. Ogni piano del fascio di piani di asse la retta $s$ è un piano per $P$ perpendicolare a $gamma$
Considera la retta $s$ per $P$ perpendicolare a $gamma$. Ogni piano del fascio di piani di asse la retta $s$ è un piano per $P$ perpendicolare a $gamma$
oddio che cosa complicata....quindi ho sbagliato tutto?
devo fare la retta passante per un punto ( in questo caso $P$ ) e perpendicolare ad un piano ( in questo caso $gamma$ ), e dopodichè fare il fascio di piani passanti per la retta $s$ giusto?
devo fare la retta passante per un punto ( in questo caso $P$ ) e perpendicolare ad un piano ( in questo caso $gamma$ ), e dopodichè fare il fascio di piani passanti per la retta $s$ giusto?
Non hai sbagliato tutto. E' solo che con questo sistema (fascio di piani etc) è tutto molto più semplice e lineare perché lavori sempre con oggetti ben determinati senza troppi parametri da eliminare.
Solo una precisazione formale. La retta è una varietà lineare di dimensione 1 nella stessa maniera in cui il piano è una varietà lineare di dimensione 2, pertanto una retta è contenuta in un piano, mentre un punto vi appartiene!
Solo una precisazione formale. La retta è una varietà lineare di dimensione 1 nella stessa maniera in cui il piano è una varietà lineare di dimensione 2, pertanto una retta è contenuta in un piano, mentre un punto vi appartiene!
Non potrebbe essere un piano tipo:
$3x-2z+k=0$
perchè i vettori direttori sono sempre ortogonali.
$(3,0,-2)*(2,0,3)=0$
$3x-2z+k=0$
perchè i vettori direttori sono sempre ortogonali.
$(3,0,-2)*(2,0,3)=0$
$ a(x-3) + by + c(z-1) = 0 $
fin qui è giusto. dopo di che, per dire che due piani sono perpendicolari bisogna verificare che i loro vettori direttori lo siano, cioè devi imporre
$ (a,b,c) * (2,0,3) = 0 hArr 2a+3c=0 hArr a=- 3/2 c $
ottenendo quindi un fascio di piani del tipo $ -3/2 c (x-3) +by + c(z-1)=0 hArr by + c(-3/2 x +z +7/2)=0 $
fin qui è giusto. dopo di che, per dire che due piani sono perpendicolari bisogna verificare che i loro vettori direttori lo siano, cioè devi imporre
$ (a,b,c) * (2,0,3) = 0 hArr 2a+3c=0 hArr a=- 3/2 c $
ottenendo quindi un fascio di piani del tipo $ -3/2 c (x-3) +by + c(z-1)=0 hArr by + c(-3/2 x +z +7/2)=0 $
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