[help] Studio sistema lineare.
Ragazzi qualcuno mi da una mano a risolvere questo sistema lineare:
Studiare al variare del parametro reale a, il seguente sistema lineare:
$ x+z=0 $
$ ax+y+z=1 $
$ (2a+3)x+ay-z=4 $
Ho problemi anche nella riduzione( si lo so sono un caso grave), qualcuno riesce a risolverlo?
Studiare al variare del parametro reale a, il seguente sistema lineare:
$ x+z=0 $
$ ax+y+z=1 $
$ (2a+3)x+ay-z=4 $
Ho problemi anche nella riduzione( si lo so sono un caso grave), qualcuno riesce a risolverlo?
Risposte
Ma perché non utilizzi Cramer?
tu dici che mi converrebbe usare la formula di cramer?
Ah a proposito, come faccio a capire quando conviene usare la riduzione per riga/colonna o quando usare cramer?
Ah a proposito, come faccio a capire quando conviene usare la riduzione per riga/colonna o quando usare cramer?
[mod="Martino"]Ciao pierissimo, benvenuto nel forum.
Attenzione: l'argomento che hai proposto è di algebra lineare, quindi va nella sezione "Geometria e Algebra Lineare". Sposto.[/mod]
Attenzione: l'argomento che hai proposto è di algebra lineare, quindi va nella sezione "Geometria e Algebra Lineare". Sposto.[/mod]
Se hai un parametro in una matrice quadrata meglio Cramer, se la matrice fosse rettangolare dovresti utilizzare la riduzione a scalini facendo attenzione ad un ipotetico parametro!
Scusate l'intromissione.
Volevo solo ricordare che un sistema può essere risolto con il metodo di Cramer se la matrice dei coefficienti del sistema ha determinante non nullo.
In questo caso la matrice dipende dal parametro $a$. Per qualche valore del parametro può accadere che tale matrice abbia determinante nullo e il metodo di Cramer non si può più applicare!
Volevo solo ricordare che un sistema può essere risolto con il metodo di Cramer se la matrice dei coefficienti del sistema ha determinante non nullo.
In questo caso la matrice dipende dal parametro $a$. Per qualche valore del parametro può accadere che tale matrice abbia determinante nullo e il metodo di Cramer non si può più applicare!
@cirasa: Credo che però sia proprio quello che vuole il problema, ossia di discutere se il sistema è compatibile o incompatibile, e quali siano le sue eventuali soluzioni, al variare di $a$, e quindi è giusto partire con Cramer.
Ho l'impressione che stiamo dicendo la stessa cosa 
Chiarisco ciò che volevo dire nell'intervento precedente:
Dato un sistema lineare
(*) ${(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1),(a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2),(...),(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{n n}x_n=b_n):}$
indicata con $A$ la matrice dei coefficienti del sistema, se $"det" A!=0$, allora (*) ammette un'unica soluzione data da
$x_1=\frac{|(b_1,a_{12},...,a_{1n}),(b_2,a_{22},...,a_{2n}),(...,....,....,....),(b_n,a_{n2},...,a_{n n})|}{"det"A}$, $x_2=\frac{|(a_{11},b_1,...,a_{1n}),(a_{21},b_2,...,a_{2n}),(...,....,....,....),(a_{n1},b_n,...,a_{n n})|}{"det"A}$, ...., $x_n=\frac{|(a_{11},a_{12},...,b_1),(a_{21},a_{22},...,b_2),(...,...,...,...),(a_{n1},a_{n2},...,b_n)|}{"det"A}$.
Questo è il teorema di Cramer (che io, per la cronaca, non uso mai perchè è il più inefficiente dal punto di vista computazionale
).
Ora, ovviamente se $"det"A=0$ tutta questa bella costruzione non può essere usata.
Quindi, quando dobbiamo risolvere un sistema, il mio consiglio è, prima di buttarsi nella risoluzione del sistema (con Cramer o con qualsiasi altro metodo), fermarsi un attimo e chiedersi: "Il sistema è compatibile? Se sì, quante soluzioni mi aspetto?".
Nell'esercizio in questione, la matrice dei coefficienti ha determinante nullo per qualche valore di $A$ (che dobbiamo determinare) e quindi per quei valori Cramer ce lo possiamo scordare.
Per gli altri valori, no problem e si può usare il metodo preferito, anche Cramer.
Succo del discorso: è vero che si può usare Cramer, ma non per tutti i valori di $a$.
Più che "è giusto partire con Cramer", io scriverei "è giusto partire con una bella discussione della compatibilità del sistema". Poi, se compatibile, è giusto proseguire con la risoluzione.
Capisco che probabilmente tutta questa pappardella era sottointesa nel discorso di "j18eos" o nell'obiezione di "Raptorista".
Ma ho preferito sottolinearla per evitare che gli utenti un po' più inesperti si buttino nei conti senza la (secondo me) necessaria discussione preliminare.
Chiarisco ciò che volevo dire nell'intervento precedente:
Dato un sistema lineare
(*) ${(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1),(a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2),(...),(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{n n}x_n=b_n):}$
indicata con $A$ la matrice dei coefficienti del sistema, se $"det" A!=0$, allora (*) ammette un'unica soluzione data da
$x_1=\frac{|(b_1,a_{12},...,a_{1n}),(b_2,a_{22},...,a_{2n}),(...,....,....,....),(b_n,a_{n2},...,a_{n n})|}{"det"A}$, $x_2=\frac{|(a_{11},b_1,...,a_{1n}),(a_{21},b_2,...,a_{2n}),(...,....,....,....),(a_{n1},b_n,...,a_{n n})|}{"det"A}$, ...., $x_n=\frac{|(a_{11},a_{12},...,b_1),(a_{21},a_{22},...,b_2),(...,...,...,...),(a_{n1},a_{n2},...,b_n)|}{"det"A}$.
Questo è il teorema di Cramer (che io, per la cronaca, non uso mai perchè è il più inefficiente dal punto di vista computazionale
).Ora, ovviamente se $"det"A=0$ tutta questa bella costruzione non può essere usata.
Quindi, quando dobbiamo risolvere un sistema, il mio consiglio è, prima di buttarsi nella risoluzione del sistema (con Cramer o con qualsiasi altro metodo), fermarsi un attimo e chiedersi: "Il sistema è compatibile? Se sì, quante soluzioni mi aspetto?".
Nell'esercizio in questione, la matrice dei coefficienti ha determinante nullo per qualche valore di $A$ (che dobbiamo determinare) e quindi per quei valori Cramer ce lo possiamo scordare.
Per gli altri valori, no problem e si può usare il metodo preferito, anche Cramer.
Succo del discorso: è vero che si può usare Cramer, ma non per tutti i valori di $a$.
Più che "è giusto partire con Cramer", io scriverei "è giusto partire con una bella discussione della compatibilità del sistema". Poi, se compatibile, è giusto proseguire con la risoluzione.
Capisco che probabilmente tutta questa pappardella era sottointesa nel discorso di "j18eos" o nell'obiezione di "Raptorista".
Ma ho preferito sottolinearla per evitare che gli utenti un po' più inesperti si buttino nei conti senza la (secondo me) necessaria discussione preliminare.
@cirasa: quindi in sostanza stai dicendo di usare prima il teorema di Rouché-Capelli e poi Cramer (o metodo analogo) dove è compatibile. Giusto?
Sì, io faccio sempre così. Prima discuto la compatibilità del sistema lineare con il teorema di Rouchè-Capelli e poi, se compatibile, lo risolvo.
Naturalmente non è una regola. Io sono abituato così.
In ogni caso, mettiamo che io non discuta il sistema con Rouchè-Capelli. Voglio risolvere il sistema con il metodo di Cramer.
Prima di utilizzare un metodo, devo controllare che lo si possa fare.
E per utilizzare Cramer devo prima controllare che la matrice dei coefficienti sia non degenere.
Se non lo faccio, pecco di superficialità e rischio di sbagliare.
Vabbè, in questo caso la cosa era molto semplice. Si vede facilmente che per qualche valore di $a$, usando Cramer, si annulla il denominatore.
E quindi per quei valori di $a$, Cramer non funziona. Ovviamente nella risoluzione bisogna specificarlo e capire cosa succede al sistema in quei casi.
Naturalmente non è una regola. Io sono abituato così.
In ogni caso, mettiamo che io non discuta il sistema con Rouchè-Capelli. Voglio risolvere il sistema con il metodo di Cramer.
Prima di utilizzare un metodo, devo controllare che lo si possa fare.
E per utilizzare Cramer devo prima controllare che la matrice dei coefficienti sia non degenere.
Se non lo faccio, pecco di superficialità e rischio di sbagliare.
Vabbè, in questo caso la cosa era molto semplice. Si vede facilmente che per qualche valore di $a$, usando Cramer, si annulla il denominatore.
E quindi per quei valori di $a$, Cramer non funziona. Ovviamente nella risoluzione bisogna specificarlo e capire cosa succede al sistema in quei casi.
In generale bisogna capire a priori il carattere il sistema di equazioni lineari di I grado (compatibile, incompatibile, a più soluzioni, ad unica soluzione) eppoi procedere di conseguenza. Questa è la forza portante della matematica: l'analisi qualitativa dei problemi! (Grazie Poincaré)
"cirasa":
Sì, io faccio sempre così. Prima discuto la compatibilità del sistema lineare con il teorema di Rouchè-Capelli e poi, se compatibile, lo risolvo.
Naturalmente non è una regola. Io sono abituato così.
Correggimi se sbaglio, per poter discutere la compatibilità del sistema, con il teorema di Rouchè-Capelli, la matrice deve essere ridotta, o sbaglio?
Il teorema di Rouchè-Capelli ti dice una cosa ben precisa: prendi la matrice dei coefficienti del sistema, chiamiamola $A$, e prendi la matrice completa (quella formata dai coefficienti del sistema + la colonna dei termini noti), chiamiamola $B$.
Se il rango di $A$ è uguale al rango di $B$, allora il sistema è compatibile.
Se il rango di $A$ è diverso dal rango di $B$, allora non lo è.
In questo caso dunque per discutere la compatibilità del sistema, devi trovare il rango di $A$ e il rango di $B$ (dipenderanno dal parametro $a$).
E per fare ciò, puoi per esempio ridurre le matrici a scalini
Se il rango di $A$ è uguale al rango di $B$, allora il sistema è compatibile.
Se il rango di $A$ è diverso dal rango di $B$, allora non lo è.
In questo caso dunque per discutere la compatibilità del sistema, devi trovare il rango di $A$ e il rango di $B$ (dipenderanno dal parametro $a$).
E per fare ciò, puoi per esempio ridurre le matrici a scalini
"cirasa":
In questo caso dunque per discutere la compatibilità del sistema, devi trovare il rango di $A$ e il rango di $B$ (dipenderanno dal parametro $a$).
E per fare ciò, puoi per esempio ridurre le matrici a scalini
perfetto, era quello che provo a fare, ma arrivo ad un punto morto, dove devo considerare troppi valori del parametro h.
precisamente arrivo a ridurre la matrice fino a questo punto(ehm non conosco i tag di formattazione per inserire la matrice)
| 1 0 1 | 0
| 0 1 -a-1 | 1
| 0 0 a^2-a-4 | 4-a
come proseguo?(forse è meglio che la riscrivo come sistema?)
Vediamo di raccogliere le idee : il sistema scritto in forma matriciale è $AX =B $ con
$A=((1,0,1),(a,1,1),((2a+3),a,-1))$ ; $X= ((x),(y),(z)) $ ; $B=((0),(1),(4))$ .
Il sistema è quadrato $3x3 $ ; quindi se $det A ne = 0$ trovo una sola soluzione data dalla regola di Cramer.
$ det A = a^2-3a-4 $ che è $ne 0 $ per $ a ne 4; ne -1 $ quindi per tutti i valori di $a ne 4, ne -1 $ si ha e una sola soluzione che si può trovare ad es. con la regola di Cramer.
Vanno adesso esaminati i casi $ a= 4 ; a=-1 $
Sia $ a= 4 $ , calcolo rango $A=2 $ facile da verificare : rango $(A|B )= 2 $ meno immediato
Il teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che il sistema è compatibile e ci sono soluzioni.
Come trovarle ? Dalla matrice $A$ estraiamo un minore di rango $ 2 $ con relativo determinante $ne 0 $ ; ad esempio sia $((1,0),(4,1))$
Di conseguenza il sistema iniziale è equivalente a questo :
$x =-z $
$ 4x+y= 1-z $
che è facilemnte risolvibile .......
Quante sono le soluzioni : $oo^(n-r) $ essendo $ n= $ numero incognite ; $r= $ rango matrice , nel caso quindi le soluzioni sono $oo ^ 1 $.
Resta poi da esaminare il caso $ a= -1 $.
$A=((1,0,1),(a,1,1),((2a+3),a,-1))$ ; $X= ((x),(y),(z)) $ ; $B=((0),(1),(4))$ .
Il sistema è quadrato $3x3 $ ; quindi se $det A ne = 0$ trovo una sola soluzione data dalla regola di Cramer.
$ det A = a^2-3a-4 $ che è $ne 0 $ per $ a ne 4; ne -1 $ quindi per tutti i valori di $a ne 4, ne -1 $ si ha e una sola soluzione che si può trovare ad es. con la regola di Cramer.
Vanno adesso esaminati i casi $ a= 4 ; a=-1 $
Sia $ a= 4 $ , calcolo rango $A=2 $ facile da verificare : rango $(A|B )= 2 $ meno immediato
Il teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che il sistema è compatibile e ci sono soluzioni.
Come trovarle ? Dalla matrice $A$ estraiamo un minore di rango $ 2 $ con relativo determinante $ne 0 $ ; ad esempio sia $((1,0),(4,1))$
Di conseguenza il sistema iniziale è equivalente a questo :
$x =-z $
$ 4x+y= 1-z $
che è facilemnte risolvibile .......
Quante sono le soluzioni : $oo^(n-r) $ essendo $ n= $ numero incognite ; $r= $ rango matrice , nel caso quindi le soluzioni sono $oo ^ 1 $.
Resta poi da esaminare il caso $ a= -1 $.
grazie mille.
Solitamente quando inizio lo studio di un sistema lineare con parametro, vado direttamente a ridurre il sistema, è una migliore pratica quella di calcolare il determinante?
Nel caso in cui il determinante è uguale a zero, come continuo?
Scusate le mille domande ma sono un pò confuso...
grazie mille ancora
Solitamente quando inizio lo studio di un sistema lineare con parametro, vado direttamente a ridurre il sistema, è una migliore pratica quella di calcolare il determinante?
Nel caso in cui il determinante è uguale a zero, come continuo?
Scusate le mille domande ma sono un pò confuso...
grazie mille ancora
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