Indicare una applicazione lineare

[Blackorgasm]

In $RR^3$ si consideri il sottospazio

$V={x in RR^3: x_1+x_2+x_3=0}$

Si indichi una applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ tale che $f( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $f(V)\subV$, $dim(Imf)=2$

Si determini la matrice $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_a$

allora ho innanzitutto trovato una base di $V$, per esempio $V=<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )>$

per definire una applicazione mi basta definire come essa agisce sui vettori della base, quindi impongo che

$f( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )$

$f( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$ (questo mi servirà per imporre che $dim(Imf)=2$)

con questo quindi ho imposto che $f(V)\subV$;

ora siccome voglio una applicazione $f:RR^3->RR^3$, amplio la base di $V$ ad una base di $RR^3$ con il vettore fornitomi:

$RR^3=<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$

arrivati a questo punto avrò che $Imf=<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$

e $kerf=<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )>$

ora imposto la matrice associata all'applicazione lineare, quindi

$f( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , -1 , 1 ) )=( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) )$

da cui $A=( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) )*( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , -1 , 1 ) )^-1$

è giusto il procedimento? grazie in anticipo

[klarence1]

Come hai fatto tu non si ha la condizione $f(V)=V$ perchè nel tuo caso $f(V)=<((0),(0),(0)), ((1),(-1),(0))>$ che non è $V$ ma un suo sottospazio.

[Blackorgasm]

in effetti il testo richiedeva che $f(V)$ sia contenuto in $V$ (mi scuso ed in effetti non so come si faccia il simbolo), sotto questa condizione va bene?

[mistake89]

"Blackorgasm":in effetti il testo richiedeva che $f(V)$ sia contenuto in $V$ (mi scuso ed in effetti non so come si faccia il simbolo), sotto questa condizione va bene?

Direi di sì!

Però ieri, per risolvere questo esercizio come l'hai consegnato ci ho pensato davvero tanto, anche se son convinto che una soluzione non c'è.
Si tratterebbe di trovare due vettori, linearamente indipendenti $f(v_1),f(v_2)$ che generino $f(V)=V$ e che risultino però linearmente dipendenti con $(1,1,1)$. Ma io non credo che esistano, altrimenti non sarebbero una base di $RR^3$, quindi l'applicazione non sarebbe definita.

Ora la consegna è più ragionevole.

Ah \sub si usa per $\sub$

[Blackorgasm]

ok mi scuso per "l'errore" fatto nella scrittura comunque grazie mille per le risposte e adesso correggo subito il mio post