Se cambiano tutte le coordinate tranne una
Supponiamo di avere una varietà differenziabile [tex]M[/tex] di dimensione [tex]n[/tex], e sia [tex]p \in M[/tex]. Prendiamo un sistema [tex](U, x^1 \ldots x^n)[/tex] di coordinate locali in [tex]p[/tex]. Come sappiamo abbiamo allora un corrispondente sistema di vettori tangenti:
[tex]$\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p \ldots \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p[/tex].
Ora prendiamo un altro sistema di coordinate locali in [tex]p[/tex], diciamo [tex](V, y^1 \ldots y^n)[/tex], e supponiamo che la prima coordinata, [tex]y^1[/tex], sia uguale alla prima coordinata del vecchio sistema [tex]x^1[/tex]. Domanda: Cosa possiamo dire dei corrispondenti vettori tangenti? E' vero che
[tex]$\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p=\left.\frac{\partial}{\partial y^1}\right\rvert_p[/tex]?
Leggo sul testo di Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, §1.20 (c) che la risposta, in generale, è no. Cosa di cui sono convinto a livello formale ma non a livello emotivo: vogliamo vedere di riuscire a fabbricare un esempio?
[tex]$\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p \ldots \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p[/tex].
Ora prendiamo un altro sistema di coordinate locali in [tex]p[/tex], diciamo [tex](V, y^1 \ldots y^n)[/tex], e supponiamo che la prima coordinata, [tex]y^1[/tex], sia uguale alla prima coordinata del vecchio sistema [tex]x^1[/tex]. Domanda: Cosa possiamo dire dei corrispondenti vettori tangenti? E' vero che
[tex]$\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p=\left.\frac{\partial}{\partial y^1}\right\rvert_p[/tex]?
Leggo sul testo di Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, §1.20 (c) che la risposta, in generale, è no. Cosa di cui sono convinto a livello formale ma non a livello emotivo: vogliamo vedere di riuscire a fabbricare un esempio?
Risposte
Questo
perchè il vettore tangente è tangente alla linea coordinata.
E la linea coordinata per un punto, che si ha variando una sola coordinata e tenendo costanti le altre, dipende
da tutte le coordinate, non solo da quella che si varia.
Mi viene in mente, come esempio, una semisfera come varietà bidimensionale immersa in $RR^3$, con
"equatore" sul piano $x$-$y$, e centro della circonferenza equatoriale l'origine.
Ora, posso adottare come coordinate:
$x^1=\theta$
$x^2=\phi$, dove
$$\theta$ e $phi$ sono le usuali coordinate sferiche.
Così le mie linee coordinate saranno:
i "meridiani" -intesezioni
tra la superficie semisferica ed il fascio dei piani con assse$-=$ asse delle $z$;
ed i "paralleli", come intersezioni tra la superficie ed il fascio improprio di piani di normale parallela all'asse delle $z$.
Ora, considero altre coordinate:
$y^1=\theta$,
$y^2=\psi$ -dove
$\theta$ è ancora la coordinata sferica,
e $\psi$ sia ora l'angolo
tra il vettore posizione di un punto della superficie, ed
il vettore $(1,0,0)^T$.
Vediamo che ora i "meridiani", con $y^1$ costante, sono
gli stessi che per le coordinate $x^1,y^1$.
ma i "paralleli", con $y^2$ costante
sono intersezione tra la superficie sferica ed il fascio improprio di piani di normale parallela all'asse delle $x$.
perchè il vettore tangente è tangente alla linea coordinata.
E la linea coordinata per un punto, che si ha variando una sola coordinata e tenendo costanti le altre, dipende
da tutte le coordinate, non solo da quella che si varia.
Mi viene in mente, come esempio, una semisfera come varietà bidimensionale immersa in $RR^3$, con
"equatore" sul piano $x$-$y$, e centro della circonferenza equatoriale l'origine.
Ora, posso adottare come coordinate:
$x^1=\theta$
$x^2=\phi$, dove
$$\theta$ e $phi$ sono le usuali coordinate sferiche.
Così le mie linee coordinate saranno:
i "meridiani" -intesezioni
tra la superficie semisferica ed il fascio dei piani con assse$-=$ asse delle $z$;
ed i "paralleli", come intersezioni tra la superficie ed il fascio improprio di piani di normale parallela all'asse delle $z$.
Ora, considero altre coordinate:
$y^1=\theta$,
$y^2=\psi$ -dove
$\theta$ è ancora la coordinata sferica,
e $\psi$ sia ora l'angolo
tra il vettore posizione di un punto della superficie, ed
il vettore $(1,0,0)^T$.
Vediamo che ora i "meridiani", con $y^1$ costante, sono
gli stessi che per le coordinate $x^1,y^1$.
ma i "paralleli", con $y^2$ costante
sono intersezione tra la superficie sferica ed il fascio improprio di piani di normale parallela all'asse delle $x$.
Ciao Orazio, grazie per l'interessamento. Si, anche io preferisco ragionare in termini di linee coordinate e quindi il tuo esempio mi va a genio, ma purtroppo mi sa che non conferma quanto detto dal libro di Warner. Infatti quello che vogliamo ottenere è un esempio di due sistemi di coordinate tali che una coordinata del primo coincida con una coordinata del secondo ma nonostante questo le relative linee coordinate sono diverse. Comunque il tuo tentativo è illuminante perché forse ho capito come si può risolvere il problema: purtroppo adesso devo scappare e non ci posso pensare, vediamo più tardi.
Grazie ancora
Grazie ancora
Considera $\RR^3$ in coordinate cilindriche e in coordinate cartesiane. Una delle coordinate (e vettore tangente) è uguale in entrambi i sistemi di riferimento, ma gli altri vettori tangenti non coincidono.
Io consideravo "coordinate" le funzioni dai punti della superficie ad $RR^2$ (potremmo
dire la "parametrizzazione"), (non il sistema di coordinate in $RR^3$)
Mi sembra che nel mio esempio una delle coordinate coincida:
Infatti, per ogni punto della superficie,$ x^1=y^1=\theta$. Mentre
$x^2=\phi$ ed $y^2$ è l'angolo che dicevo.
Certo che un disegno sarebbe esplicativo, però
mi vien complicato farlo!
dire la "parametrizzazione"), (non il sistema di coordinate in $RR^3$)
Mi sembra che nel mio esempio una delle coordinate coincida:
Infatti, per ogni punto della superficie,$ x^1=y^1=\theta$. Mentre
$x^2=\phi$ ed $y^2$ è l'angolo che dicevo.
Certo che un disegno sarebbe esplicativo, però
mi vien complicato farlo!
$RR^3$ è una varietà differenziabile di dimensione $3$. È quindi perfettamente lecito usare come esempio sue coordinate locali.
E si ragazzi però l'esempio che stiamo cercando è un po' più brutto di questi. Noi vogliamo che, anche se la coordinata è la stessa, ciò nonostante i relativi vettori tangenti sono diversi.
Con le coordinate cilindriche non ci ritroviamo, perché la coordinata $z$, che è uguale nel sistema cilindrico e in quello cartesiano, ha sempre gli stessi vettori tangenti: dei bei freccioni dritti dritti verso l'alto. Lo stesso problema nell'esempio di Orazio. Non so se mi sono spiegato.
In effetti questa questione è un po' fastidiosa. Vediamo se riusciamo a cavarci qualcosa, altrimenti chiudiamo un occhio e facciamo finta di non averci mai pensato.
Con le coordinate cilindriche non ci ritroviamo, perché la coordinata $z$, che è uguale nel sistema cilindrico e in quello cartesiano, ha sempre gli stessi vettori tangenti: dei bei freccioni dritti dritti verso l'alto. Lo stesso problema nell'esempio di Orazio. Non so se mi sono spiegato.
In effetti questa questione è un po' fastidiosa. Vediamo se riusciamo a cavarci qualcosa, altrimenti chiudiamo un occhio e facciamo finta di non averci mai pensato.
Avevo letto male il tuo primo post. Pensavo che $x_1$ e $y_1$ dovessero coincidere su tutta l'intersezione delle due carte e che chiedessi il comportamento delle altre coordinate. Ma anche questa questione è abbastanza semplice. Considera $RR$ con le mappe coordinate $x_1(x) = x$ e $y_1(x) = x^3$. $x_1(1) = y_1(1)$, ma $1 = \partial/(\partial x_1) \ne \partial/(\partial y_1) = 3$. I vettori tangenti dipendono insomma dal valore della coordinata su un intorno del punto e non solo dal valore nel punto.
No scusa apatriarca, mi dispiace, si vede che non mi sono proprio spiegato. Io cerco un esempio così composto: due sistemi di coordinate, $x^1...x^n, y^1...y^n$ tali che $x^1=y^1$ su tutto un intorno di $p$ ma nonostante questo $frac{partial}{partial x^1}(p) ne frac{partial}{partial y^1}(p)$.
Questa volta credo di aver capito (e sono anche andato a controllare che cosa c'è scritto sul libro di Warner per vedere se dava suggerimenti). Il modo più semplice per trovare un sistema di coordinate di questo tipo è quello di definire una matrice di cambiamento di base opportuna. La condizione $x_1 = y_1$ si traduce in $(\partial x_1)/(\partial y_1) = 1$, ma $(\partial x_j)/(\partial y_1)$ con $j \ne 1$ non sono necessariamente tutti nulli (e lo stesso risultato si ottiene scambiando il ruolo di $x$ e $y$). Supponi per esempio che sia $x_1 = y_1$ e $x_2 = y_1 + y_2$. I vettori tangenti sarebbero:$(\partial)/(\partial y_1) = (\partial x_1)/(\partial y_1)(\partial)/(\partial x_1) + (\partial x_2)/(\partial y_1)(\partial)/(\partial x_2) = (\partial)/(\partial x_1) + (\partial)/(\partial x_2)$,
$(\partial)/(\partial y_2) = (\partial x_1)/(\partial y_2)(\partial)/(\partial x_1) + (\partial x_2)/(\partial y_2)(\partial)/(\partial x_2) = (\partial)/(\partial x_2)$.
Grazie apatriarca! Questo esempio semplice e illuminante mi ha portato a fare numerose utili riflessioni sulle formule di cambiamento di coordinate e sui vettori tangenti. Se riesco a trovare un po' di tempo (che ultimamente mi scarseggia assai) vedo di scrivere qui alcune considerazioni che forse possono essere interessanti.
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