Applicazione Lineare... dove sbaglio??
Buonasera! Ho fatto l'esame di Geometria, fortunatamente tutto bene... Solo un paio di correzioni che on ho capito. La prima, riguardo un'applicazione lineare; la seconda, riguardo una conica. Ora vi posto l'esercizio
1) "Dato l'omomorfismo $f: (x,y)inR^2->(-2x+y,-x,y,-x+y)inR^4$, si stabilisca quanti vettori hanno per immagine $(0,-1,2,1)$, e quanti $(1,1,-1,0)$".
Questo esercizio l'ho risolto in questo modo: ho trovato le immagini dei vettori della base canonica, ossia:
$(1,0)->(2,-1,0,-1)$
$(0,1)->(1,0,1,1)$
di cui la matrice associata sarà
$A=((-2,1),(-1,0),(0,1),(-1,1))$
Da questa di osserva che $dim Im f=2$ ed in base alla relazione $dim Ker f + dim Im f= dim V= 2$ (quindi $dim Ker f =0$) ho affermato che l'omomorfismo è iniettivo ma non suriettivo, Per cui un solo vettore avrà per immagine $(0,-1,2,1)$; ed un altro, distinto, avrà per immagine $(1,1,-1,0)$. Ma il professore mi ha scritto vicino "Sicuro?" e mi annulla l'esercizio... Perché? O.O
2) "Si classifichi la conica $Gamma$ di equazione $3kx^2-y^2-kxy+x=0$. Stabilire poi
-per quali $k$ $Gamma$ ha un asintoto parallelo alla retta $5x+3y=0$
Per classificare la conica ho studiato la matrice associata:
$((3k,-k/2,1/2),(-k/2,-1,0),(1/2,0,0))$
da cui si oserva che $det A!=0$ quindi $Gamma$ non è mai riducibile. Studiando $A_33$ viene $k/4(-12-k)>0$ da cui posso scrivere le varie coniche al variare di $k$:
$k<-12$ $A_33 <0$ IPERBOLE
$-120$ ELLISSE
$k>0$ $A_33<0$ IPERBOLE (e qui, non so perché, mi ha cerchiato il primo "$0$")
$k=0, -12$ $A_33=0$ PARABOLA
Ora passo a trovare $k$ che soddisfi la condizione di asintoto. Per avere asintoto parallelo a $5x+3y=0$ il punto improprio $(-3,5,0)$ deve appartenere alla conica. Impongo il passaggio per tale punto:
$27k -25 +15k -3=0=>$ [...] E qui il prof mi ha sottolineato (con evidente veemenza xD) $-3$. Il mio errore sta nel fatto che ho sostituito le coordinate proiettive del punto nella retta in coordinate cartesiane? Perché, effettivamente, se trasformo la retta in coordinate proiettive, il termine $x$ diventa $x_1x_3$ e quindi, operando il passaggio per il punto, risulta $0$ e non $-3$. È questo il mio errore? Grazie e... mi scuso per esser stato un po' prolisso
1) "Dato l'omomorfismo $f: (x,y)inR^2->(-2x+y,-x,y,-x+y)inR^4$, si stabilisca quanti vettori hanno per immagine $(0,-1,2,1)$, e quanti $(1,1,-1,0)$".
Questo esercizio l'ho risolto in questo modo: ho trovato le immagini dei vettori della base canonica, ossia:
$(1,0)->(2,-1,0,-1)$
$(0,1)->(1,0,1,1)$
di cui la matrice associata sarà
$A=((-2,1),(-1,0),(0,1),(-1,1))$
Da questa di osserva che $dim Im f=2$ ed in base alla relazione $dim Ker f + dim Im f= dim V= 2$ (quindi $dim Ker f =0$) ho affermato che l'omomorfismo è iniettivo ma non suriettivo, Per cui un solo vettore avrà per immagine $(0,-1,2,1)$; ed un altro, distinto, avrà per immagine $(1,1,-1,0)$. Ma il professore mi ha scritto vicino "Sicuro?" e mi annulla l'esercizio... Perché? O.O
2) "Si classifichi la conica $Gamma$ di equazione $3kx^2-y^2-kxy+x=0$. Stabilire poi
-per quali $k$ $Gamma$ ha un asintoto parallelo alla retta $5x+3y=0$
Per classificare la conica ho studiato la matrice associata:
$((3k,-k/2,1/2),(-k/2,-1,0),(1/2,0,0))$
da cui si oserva che $det A!=0$ quindi $Gamma$ non è mai riducibile. Studiando $A_33$ viene $k/4(-12-k)>0$ da cui posso scrivere le varie coniche al variare di $k$:
$k<-12$ $A_33 <0$ IPERBOLE
$-12
$k>0$ $A_33<0$ IPERBOLE (e qui, non so perché, mi ha cerchiato il primo "$0$")
$k=0, -12$ $A_33=0$ PARABOLA
Ora passo a trovare $k$ che soddisfi la condizione di asintoto. Per avere asintoto parallelo a $5x+3y=0$ il punto improprio $(-3,5,0)$ deve appartenere alla conica. Impongo il passaggio per tale punto:
$27k -25 +15k -3=0=>$ [...] E qui il prof mi ha sottolineato (con evidente veemenza xD) $-3$. Il mio errore sta nel fatto che ho sostituito le coordinate proiettive del punto nella retta in coordinate cartesiane? Perché, effettivamente, se trasformo la retta in coordinate proiettive, il termine $x$ diventa $x_1x_3$ e quindi, operando il passaggio per il punto, risulta $0$ e non $-3$. È questo il mio errore? Grazie e... mi scuso per esser stato un po' prolisso
Risposte
Per il primo esercizio.. purtroppo hai fatto un errore banale e per cui ti mangerai il fegato.
Tu giustamente hai mostrato l'iniettività.. quindi SE un vettore sta nell'immagine di f ALLORA la sua controimmagine è un unico vettore.. ma non hai controllato che quei due vettori stessero effettivamente nell'immagine di f.
Per il secondo punto al momento non so aiutarti, perchè non mi ricordo assolutamente niente della classificazione delle coniche
[editato, avevo letto male il secondo punto]
Tu giustamente hai mostrato l'iniettività.. quindi SE un vettore sta nell'immagine di f ALLORA la sua controimmagine è un unico vettore.. ma non hai controllato che quei due vettori stessero effettivamente nell'immagine di f.
Per il secondo punto al momento non so aiutarti, perchè non mi ricordo assolutamente niente della classificazione delle coniche
[editato, avevo letto male il secondo punto]
Ciao. Per quanto riguarda il punto 2. provo a darti la mia interpretazione, anche se è passato parecchio tempo da quando ho studiato queste cose.
Le equazioni degli asintoti si determinano uguagliando a zero il complesso dei coefficienti dei termini di secondo grado. Una volta uguagliato a zero imponi che il punto improprio di quella retta appartiene anche agli asintoti e ti determini il valore di k per cui questo avviene. Il numero -3 quindi non compare in tutto questo.
Le equazioni degli asintoti si determinano uguagliando a zero il complesso dei coefficienti dei termini di secondo grado. Una volta uguagliato a zero imponi che il punto improprio di quella retta appartiene anche agli asintoti e ti determini il valore di k per cui questo avviene. Il numero -3 quindi non compare in tutto questo.
@alfaceti: Quella è la meccanica, ma cerchiamo di spiegare perché si fa così.
Il motivo è semplice. Si cerca una retta tangente la conica data in un punto improprio (="asintoto"). Supponiamo che una equazione della conica sia $f(x, y)=0$. Introduciamo coordinate omogenee $X_0, X_1, X_2$ mediante le equazioni
${(x=(X_1)/(X_0)), (y=(X_2)/(X_0)):}$,
e chiamiamo $F(X_0, X_1, X_2)=0$ l'equazione omogeneizzata. In questo modo l'equazione della retta impropria è $X_0=0$.
Troviamo i punti impropri della conica: a questo scopo si deve risolvere il sistema
${(F(X_0, X_1, X_2)=0), (X_0=0):}$
ovvero trovare l'intersezione tra la conica data e la retta impropria. Sostanzialmente stiamo "uguagliando a zero i termini di secondo grado", come dici tu. Si ottengono delle terne di tipo $[0, xi, eta]$ che rappresentano punti impropri: per ognuna di queste si ottiene l'equazione della retta tangente:
$(partial F)/(partial X_0)(0, xi, eta) X_0+ (partial F)/(partial X_1) (0, xi, eta)X_1+ (partial F)/(partial X_2)(0, xi, eta)X_2=0$.
Questo è un asintoto della conica data in coordinate omogenee. L'errore commesso da NickInter sta nel non avere applicato correttamente la procedura di omogeneizzazione, ovvero il passaggio da $f(x, y)=0$ a $F(X_0, X_1, X_2)=0$: nello specifico, invece di imporre $F(0, -3, 5)=0$, lui ha imposto qualcosa come $f(-3, 5)=0$ e il professore non ha gradito.
Il motivo è semplice. Si cerca una retta tangente la conica data in un punto improprio (="asintoto"). Supponiamo che una equazione della conica sia $f(x, y)=0$. Introduciamo coordinate omogenee $X_0, X_1, X_2$ mediante le equazioni
${(x=(X_1)/(X_0)), (y=(X_2)/(X_0)):}$,
e chiamiamo $F(X_0, X_1, X_2)=0$ l'equazione omogeneizzata. In questo modo l'equazione della retta impropria è $X_0=0$.
Troviamo i punti impropri della conica: a questo scopo si deve risolvere il sistema
${(F(X_0, X_1, X_2)=0), (X_0=0):}$
ovvero trovare l'intersezione tra la conica data e la retta impropria. Sostanzialmente stiamo "uguagliando a zero i termini di secondo grado", come dici tu. Si ottengono delle terne di tipo $[0, xi, eta]$ che rappresentano punti impropri: per ognuna di queste si ottiene l'equazione della retta tangente:
$(partial F)/(partial X_0)(0, xi, eta) X_0+ (partial F)/(partial X_1) (0, xi, eta)X_1+ (partial F)/(partial X_2)(0, xi, eta)X_2=0$.
Questo è un asintoto della conica data in coordinate omogenee. L'errore commesso da NickInter sta nel non avere applicato correttamente la procedura di omogeneizzazione, ovvero il passaggio da $f(x, y)=0$ a $F(X_0, X_1, X_2)=0$: nello specifico, invece di imporre $F(0, -3, 5)=0$, lui ha imposto qualcosa come $f(-3, 5)=0$ e il professore non ha gradito.
Grazie! Fa piacere anche a me un po' di ripasso. Mi ricordavo che per trovare gli asintoti si faceva l'intersezione con la retta impropria e quindi giustamente i termini di grado inferiore a due si levano di mezzo. Se non ricordo male per il punto improprio noi usavamo un'altra notazione. In pratica lo zero lo mettevamo alla fine, per cui il punto improprio di quella retta era (-3, 5, 0) e in coordinate omogenee l'equazione era del tipo F(x, y, z) = 0 con z=0 equazione della retta impropria. (non uso la notazione con gli indici perchè non so come si scrivono!). E' lo stesso oppure sono io che ricordo male?
[ Gli indici si scrivono con un underscore: \$X_0\$ - $X_0$. Se vuoi vedere come si scrive una formula è sufficiente che tu ci passi sopra con il mouse e attenda un secondo: apparirà il codice in un riquadro. Per istruzioni complete invece fai clic sulla parola seguente: formule. ]
Certo, la coordinata aggiuntiva si può mettere anche alla fine e non cambia nulla. Anzi mi sa che è questa la notazione adottata da NickInter. Tempo fa scrissi un piccolo riassunto sull'argomento, chissà magari ti può interessare: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#312064. Cito anche la questione di "dove si mette la coordinata in più".
Certo, la coordinata aggiuntiva si può mettere anche alla fine e non cambia nulla. Anzi mi sa che è questa la notazione adottata da NickInter. Tempo fa scrissi un piccolo riassunto sull'argomento, chissà magari ti può interessare: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#312064. Cito anche la questione di "dove si mette la coordinata in più".
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