Dimensione di un sottospazio
Ciao ragazzi, ho un dubbio atroce.
Quando voglio determinare la dimensione di un sottospazio vettoriale, e considero la matrice dei coefficienti delle equazioni del sottospazio, la dimensione mi è data dal rango della matrice oppure dall'indice delle infinite soluzioni (per es. infinito alla due soluzioni -> dim = 2) ?
Ho notato che se ad esempio ho rango 2 nella matrice, la base è formata da due vettori (quelli che hanno contribuito al rango), e quindi si vede subito che la dimensione del sottospazio è due, ma in alcuni esercizi (come quelli sulle applicazioni lineari) in cui devo avere ad esempio dimensione zero, mi ritrovo a ricondurmi all'indice delle infinite soluzioni, perchè ovviamente il rango non può essere 0. Non so, ho molta confusione mentale.
Qualcuno può illuminarmi?
Grazie
Quando voglio determinare la dimensione di un sottospazio vettoriale, e considero la matrice dei coefficienti delle equazioni del sottospazio, la dimensione mi è data dal rango della matrice oppure dall'indice delle infinite soluzioni (per es. infinito alla due soluzioni -> dim = 2) ?
Ho notato che se ad esempio ho rango 2 nella matrice, la base è formata da due vettori (quelli che hanno contribuito al rango), e quindi si vede subito che la dimensione del sottospazio è due, ma in alcuni esercizi (come quelli sulle applicazioni lineari) in cui devo avere ad esempio dimensione zero, mi ritrovo a ricondurmi all'indice delle infinite soluzioni, perchè ovviamente il rango non può essere 0. Non so, ho molta confusione mentale.
Qualcuno può illuminarmi?
Grazie
Risposte
Ci sono due modi:
1) se nella matrice metti le componenti dei vettori che generano il sottospazio, la dimensione sarà il rango della matrice suddetta;
2) se nella matrice metti i coefficienti delle equazioni cartesiane del sottospazio, la dimensione sarà il corango, ossia (numero delle colonne) - rango.
1) se nella matrice metti le componenti dei vettori che generano il sottospazio, la dimensione sarà il rango della matrice suddetta;
2) se nella matrice metti i coefficienti delle equazioni cartesiane del sottospazio, la dimensione sarà il corango, ossia (numero delle colonne) - rango.
perfetto, grazie mille 
e per quanto riguarda invece le applicazioni lineari?
quando voglio trovare la dimensione di ker(f), ottengo un sistema lineare omogeneo. e lì la dimensione è data da n - rango giusto?
e per quanto riguarda la diagonalizzabilità di una matrice?
quando sostituisco l'autovalore nella matrice e determino il rango, la dimensione è data sempre da n-rango?
e per quanto riguarda invece le applicazioni lineari?
quando voglio trovare la dimensione di ker(f), ottengo un sistema lineare omogeneo. e lì la dimensione è data da n - rango giusto?
e per quanto riguarda la diagonalizzabilità di una matrice?
quando sostituisco l'autovalore nella matrice e determino il rango, la dimensione è data sempre da n-rango?
Guarda, può essere tutto ricondotto ad un unico caso generale: la dimensione del sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo [tex]A \mathbf x = \mathbf 0[/tex] (in notazione matriciale) è (numero colonne) - rango.
Nel caso del nucleo, devi proprio risolvere un sistema lineare omogeneo e quindi rientra spontaneamente nel caso di sopra. Trovare poi l'autospazio relativo all'autovalore [tex]\lambda[/tex] per la matrice quadrata [tex]A[/tex] equivale a risolvere [tex](A- \lambda I) \mathbf x = \mathbf 0[/tex] e quindi siamo di nuovo nel caso precedente.
Nel caso del nucleo, devi proprio risolvere un sistema lineare omogeneo e quindi rientra spontaneamente nel caso di sopra. Trovare poi l'autospazio relativo all'autovalore [tex]\lambda[/tex] per la matrice quadrata [tex]A[/tex] equivale a risolvere [tex](A- \lambda I) \mathbf x = \mathbf 0[/tex] e quindi siamo di nuovo nel caso precedente.
chiarissimo, ti ringrazio 
avevo una confusione mentale spaventosa.
avevo una confusione mentale spaventosa.
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