Esercizio Endomorfismo Urgente
Ciao ragazzi sono nuovo è ho bisogno di un vostro aiuto su questo esercizio. Per favore mi aiutate?
Siano $ a in R $ e Fa $ Fa : RR^3rarr RR ^3 $ l'endomorfismo del 3-spazio numerico reale destro $ RR ^3 $ definito assumendo $ Fa(v)=( ( 2ax + (8+a)y - az ),( 2ax + (8+a)y - az ),( 2ax + (8+a)y - az ) ) in R^3 $ se $ v=( ( x ),( y ),( z ) ) in R^3$ . Determinare la dimensione e una base di $Ker Fa$. Determinare gli autovalori e gli autospazi di Fa. L'endomorfisfmo Fa è diagonalizzabile? Se si, determinare le basi di $R^3$ diagonalizzanti Fa
Siano $ a in R $ e Fa $ Fa : RR^3rarr RR ^3 $ l'endomorfismo del 3-spazio numerico reale destro $ RR ^3 $ definito assumendo $ Fa(v)=( ( 2ax + (8+a)y - az ),( 2ax + (8+a)y - az ),( 2ax + (8+a)y - az ) ) in R^3 $ se $ v=( ( x ),( y ),( z ) ) in R^3$ . Determinare la dimensione e una base di $Ker Fa$. Determinare gli autovalori e gli autospazi di Fa. L'endomorfisfmo Fa è diagonalizzabile? Se si, determinare le basi di $R^3$ diagonalizzanti Fa
Risposte
Ciao nox2001, benvenuto 
In questo forum diamo una mano volentieri, ma non siamo un risolutore automatico di esercizi.
Prova ad abbozzare la tua soluzione o quantomeno un tuo abbozzo di ragionamento.
Servirà anche a capire quali sono i tuoi dubbi e ad aiutarti meglio.
Buona permanenza nel forum!
In questo forum diamo una mano volentieri, ma non siamo un risolutore automatico di esercizi.
Prova ad abbozzare la tua soluzione o quantomeno un tuo abbozzo di ragionamento.
Servirà anche a capire quali sono i tuoi dubbi e ad aiutarti meglio.
Buona permanenza nel forum!
Grazie per il benvenuto, io ho ragionato così spero sia giusto.
allora io ho trovato che la matrice associata ad Fa è:
$ A = ( ( 2a , (8+a) , -a ),( 2a , (8+a) , -a ),( 2a , (8+a) , -a ) ) $
ma non so se è giusta o se dovevo scrivere:
$ A = ( ( 2a , 2a , 2a ),( 8+a , 8+a , 8+a ),( -a , -a , -a ) ) $
comunque l'ho risolta con la prima matrice
il rango è 1, quindi la $dim Ker Fa =2$
Una base di Ker Fa è data da due vettori le cui coordinate rispetto a B sono due autosoluzioni L.I. del sistema lineare omogeneo
$ { ( 2ax + (8+a)y - az=0 ),( 2ax + (8+a)y - az=0 ),( 2ax + (8+a)y - az=0):} $
di cui ho trovato una base per $ a != 0 $
$ ( ( 1/2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ ( ( 1 ),( 1 ),( (3a+8)/a ) ) $
e per a = 0
$ ( ( 1/2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ ( ( 1/4 ),( 1/18 ),( 1 )) $
è giusto dire per a diverso da 0 e per a uguale a 0?
Poi devo trovare gli autovalori dalla matrice:
$ | ( 2a-h , 8+a , -a ),( 2a , 8+a-h , -a ),( 2a , 8+a , -a-h ) |=0 $
trovando che $ h^2(2a+8-h)=0 $
e quindi abbiamo tre autovalori h1=0; h2=0; h3= 2a+8
ora cerco gli autospazi di Fa e trovo che
$ E(0)= L[( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) );( ( 0 ),( 1 ),( (8/a)+1 ) )] $ per $ a != 0 $
e per a = 0 $ E(0)=L[( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) );( ( 0 ),( 1 ),( 8 ) )] $
$ E(2a+8)=L[( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )] $
l'endomorfismo di Fa è diagonalizzabile perchè è possibile avere una base di $R^3$ dagli autovettori di Fa visto che sono fra di loro sono L.I. E quindi una base è data da:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( (8/a)+1 ) ) ; ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ per $ a != 0 $
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( 8 ) ) ; ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ per a = 0
allora io ho trovato che la matrice associata ad Fa è:
$ A = ( ( 2a , (8+a) , -a ),( 2a , (8+a) , -a ),( 2a , (8+a) , -a ) ) $
ma non so se è giusta o se dovevo scrivere:
$ A = ( ( 2a , 2a , 2a ),( 8+a , 8+a , 8+a ),( -a , -a , -a ) ) $
comunque l'ho risolta con la prima matrice
il rango è 1, quindi la $dim Ker Fa =2$
Una base di Ker Fa è data da due vettori le cui coordinate rispetto a B sono due autosoluzioni L.I. del sistema lineare omogeneo
$ { ( 2ax + (8+a)y - az=0 ),( 2ax + (8+a)y - az=0 ),( 2ax + (8+a)y - az=0):} $
di cui ho trovato una base per $ a != 0 $
$ ( ( 1/2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ ( ( 1 ),( 1 ),( (3a+8)/a ) ) $
e per a = 0
$ ( ( 1/2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ ( ( 1/4 ),( 1/18 ),( 1 )) $
è giusto dire per a diverso da 0 e per a uguale a 0?
Poi devo trovare gli autovalori dalla matrice:
$ | ( 2a-h , 8+a , -a ),( 2a , 8+a-h , -a ),( 2a , 8+a , -a-h ) |=0 $
trovando che $ h^2(2a+8-h)=0 $
e quindi abbiamo tre autovalori h1=0; h2=0; h3= 2a+8
ora cerco gli autospazi di Fa e trovo che
$ E(0)= L[( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) );( ( 0 ),( 1 ),( (8/a)+1 ) )] $ per $ a != 0 $
e per a = 0 $ E(0)=L[( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) );( ( 0 ),( 1 ),( 8 ) )] $
$ E(2a+8)=L[( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )] $
l'endomorfismo di Fa è diagonalizzabile perchè è possibile avere una base di $R^3$ dagli autovettori di Fa visto che sono fra di loro sono L.I. E quindi una base è data da:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( (8/a)+1 ) ) ; ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ per $ a != 0 $
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( 8 ) ) ; ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ per a = 0
"nox2001":E hai fatto bene
allora io ho trovato che la matrice associata ad Fa è:
$ A = ( ( 2a , (8+a) , -a ),( 2a , (8+a) , -a ),( 2a , (8+a) , -a ) ) $
ma non so se è giusta o se dovevo scrivere:
$ A = ( ( 2a , 2a , 2a ),( 8+a , 8+a , 8+a ),( -a , -a , -a ) ) $
comunque l'ho risolta con la prima matrice
E' la prima la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica, per definizione di matrice associata.
"nox2001":E' giusto, ma forse hai commesso un errore di conto nel caso $a=0$. Per $a=0$, il secondo vettore non è nel nucleo. Ricontrolla!
di cui ho trovato una base per $ a != 0 $
$ ( ( 1/2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ ( ( 1 ),( 1 ),( (3a+8)/a ) ) $
e per a = 0
$ ( ( 1/2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ ( ( 1/4 ),( 1/18 ),( 1 )) $
è giusto dire per a diverso da 0 e per a uguale a 0?
Per quanto riguarda il resto, il procedimento sembra giusto, anche se ammetto che per pigrizia non ho controllato tutti i conti.
Quel che è certo che la base di $E(0)$, l'autospazio relativo all'autovalore $0$, ovvero il nucleo, è errata nel caso $a=0$. Il secondo vettore, se non sbaglio, non appartiene al nucleo.
hai ragione ma per a = 0 l'equazione viene
$ 8y=0 $
e quindi una base quale può essere?
$ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ; $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
o non esiste una base in questo caso?
$ 8y=0 $
e quindi una base quale può essere?
$ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ; $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
o non esiste una base in questo caso?
Se l'equazione è $8y=0$, cioè $y=0$, sei certo che una soluzione sia $((0),(1),(0))$???
Non mi sembra che $y$ sia uguale a $0$...correggi!
Non mi sembra che $y$ sia uguale a $0$...correggi!
comunque x e z possono essere qualsiasi numero ma y deve essere 0 quindi una base potrebbe essere
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ così sono linearmente indipendenti e possono essere una base per a = 0, giusto?
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ così sono linearmente indipendenti e possono essere una base per a = 0, giusto?
E' giusto, quindi l'esercizio dovrebbe essere concluso.
Un suggerimento per il futuro: prendi sempre i vettori nel modo più semplice possibile.
In questo caso perché non prendere $((1),(0),(0)),((0),(0),(1))$ ? Sono più semplici, no?
Un suggerimento per il futuro: prendi sempre i vettori nel modo più semplice possibile.
In questo caso perché non prendere $((1),(0),(0)),((0),(0),(1))$ ? Sono più semplici, no?
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