Sottospazio generato
ho un esercizio che non capisco se è sbagliato oppure sono io che non capisco.
sia data la matrice $A=((1,1),(1,-1))$ e il sottospazio $U=L(I,A,A^2)subR^(2,2)$. calcolare $dim_R U,U+V,UnnV$.
dove $V={X in RR^(2,2)| tr X=0}$
non capisco una cosa. il sottospazio $U$ com'è possibile che è generato da $A^2$ se $A^2$ è combinazione lineare di $I$?
sia data la matrice $A=((1,1),(1,-1))$ e il sottospazio $U=L(I,A,A^2)subR^(2,2)$. calcolare $dim_R U,U+V,UnnV$.
dove $V={X in RR^(2,2)| tr X=0}$
non capisco una cosa. il sottospazio $U$ com'è possibile che è generato da $A^2$ se $A^2$ è combinazione lineare di $I$?
Risposte
Eh, ma appunto, quello che hai è un sistema di generatori, non una base! 
La faccio semplice: mettiti in $\mathbb{R}^{2}$. Qual è la dimensione dello spazio generato dai vettori $(1,0)$ e $(1/8pi^{2},0)$? Per rispondere a questa domanda devi trovare una base, cioè un sistema di generatori minimale.
Riesci a vedere l'analogia con il tuo esercizio?
La faccio semplice: mettiti in $\mathbb{R}^{2}$. Qual è la dimensione dello spazio generato dai vettori $(1,0)$ e $(1/8pi^{2},0)$? Per rispondere a questa domanda devi trovare una base, cioè un sistema di generatori minimale.
Riesci a vedere l'analogia con il tuo esercizio?
ho capito.chiarissimo.quindi tra le tre matrici devo trovare quelle linearmente indipendenti.cioè $I$ ed $A$
giusto?
giusto?
ma a questo punto devo trovare una matrice linearmente indipendente ad $I$ ed $A$ così per completare ad una base oppure posso semplicemente dire che $dim U=2$?
"mazzy89":
ma a questo punto devo trovare una matrice linearmente indipendente ad $I$ ed $A$ così per completare ad una base oppure posso semplicemente dire che $dim U=2$?
Per quale ragione dovresti completare ad un base? Se tu hai dei generatori, non vi è ragione alcuna per aggiungerne di altri. Al massimo, ed è proprio quello che fai in questo caso, ne elimini alcuni, per ottenere un sistema minimale, i.e. una base.
Ti è chiaro?
si adesso mi è chiaro.pensavo di aggiungere un altra matrice linearmente indipendente perché volevo calcolarmi l'equazione cartesiana di una base di $U$.ma purtroppo mi trovo davanti una matrice non quadrata dato che ho due matrici linearmente indipendenti.invece se ne avessi avuto tre potevo calcolarmi l'equazione cartesiana dato che ottenevo una matrice quadrata.
"mazzy89":
si adesso mi è chiaro.pensavo di aggiungere un altra matrice linearmente indipendente perché volevo calcolarmi l'equazione cartesiana di una base di $U$.ma purtroppo mi trovo davanti una matrice non quadrata dato che ho due matrici linearmente indipendenti.invece se ne avessi avuto tre potevo calcolarmi l'equazione cartesiana dato che ottenevo una matrice quadrata.
Non so se ho capito bene, ma forse mi stai dicendo che se la dimensione fosse stata 3 (e quindi il sottospazio fosse stato un iperpiano) allora avresti potuto trovare l'equazione cartesiana con il metodo del determinante. Ho inteso bene?
Comunque, nel tuo caso la dimensione è 2. Tieni conto, dunque, che per nullità+rango, le equazioni cartesiane del tuo sottospazio sono 4-2=2.
si si esattamente solitamente faccio così.mi calcolo l'equazione cartesiana di un sottospazio e poi faccio il sistema con l'altro sottospazio in modo da calcolarmi l'intersezione.in questo caso sono due le equazioni cartesiane del sottospazio $U$ come dici bene te.quindi posso ottenerle da qui
$((x_(11),x_(12),x_(21),x_(22)),(1,0,0,1),(1,1,1,-1))$
tramite il metodo degli orlati.
$((x_(11),x_(12),x_(21),x_(22)),(1,0,0,1),(1,1,1,-1))$
tramite il metodo degli orlati.
ma il metodo degli orlati consiste nel considerare dei minori non nulli della matrice.l'importante è ke siano non nulli.poi posso sceglierli qualsiasi.esatto?
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