Determinare matrice associata tramite autospazi
siano dati gli spazi vettoriali $V={(x,y,z,t)inRR^4 | x+y+z=0,2y+z+t=0}$ e $W={(x,y,z,t)inRR^4 | y=0, z=t}$
sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo tale che $V$ è l'autospazio associato all'autovalore $0$ e $W$ è l'autospazio associato all'autovalore $-1$.scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica.
per risolvere il seguente esercizio sfrutto la definizione di autospazio e mi calcolo una base di $V$ ed una base di $W$. in questo modo si ha che considerando $B_1=(v_1,v_2)$ una base di $V$ e $B_2=(w_1,w_2)$ una base di $W$ si hanno le seguenti relazioni:
$f(v_1)=0$
$f(v_2)=0$
$f(w_1)=-w_1$
$f(w_2)=-w_2$
da queste mi calcolo le immagini rispetto alla base canonica ottenendo così
$f(e_1)=(-1,0,0,0)$
$f(e_2)=(0,0,-1,-1)$
$f(e_3)=(-1/2,0,-1/2,-1/2)$
$f(e_4)=(1/2,0,-1/2,-1/2)$
la matrice sarà allora
$M=((-1,0,-1/2,1/2),(0,0,0,0),(0,-1,-1/2,-1/2),(0,-1,-1/2,-1/2))$
esatto come ragionamento?
sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo tale che $V$ è l'autospazio associato all'autovalore $0$ e $W$ è l'autospazio associato all'autovalore $-1$.scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica.
per risolvere il seguente esercizio sfrutto la definizione di autospazio e mi calcolo una base di $V$ ed una base di $W$. in questo modo si ha che considerando $B_1=(v_1,v_2)$ una base di $V$ e $B_2=(w_1,w_2)$ una base di $W$ si hanno le seguenti relazioni:
$f(v_1)=0$
$f(v_2)=0$
$f(w_1)=-w_1$
$f(w_2)=-w_2$
da queste mi calcolo le immagini rispetto alla base canonica ottenendo così
$f(e_1)=(-1,0,0,0)$
$f(e_2)=(0,0,-1,-1)$
$f(e_3)=(-1/2,0,-1/2,-1/2)$
$f(e_4)=(1/2,0,-1/2,-1/2)$
la matrice sarà allora
$M=((-1,0,-1/2,1/2),(0,0,0,0),(0,-1,-1/2,-1/2),(0,-1,-1/2,-1/2))$
esatto come ragionamento?
Risposte
Sì, è tutto esatto. Ho controllato anche i conti.
"Paolo90":
Sì, è tutto esatto. Ho controllato anche i conti.
wow non sai quanto mi fai felice dato che questo esercizio l'ho impostato tutto da solo.
sempre lo stesso esercizio mi chiede di calcolare una base di $f^(-1)(L(u))$, con $u=(1,0,1,1)$
io so calcolare la controimmagine di un vettore o magari di un sottospazio vettoriale ma di un sottospazio generato da un vettore non saprei.qualche idea per proseguire?
quest'ultimo punto è abbastanza ricorrente negli esercizi.magari se mi date qualche idea?devo calcolarmi le equazioni cartesiane dello spazio?
io so calcolare la controimmagine di un vettore o magari di un sottospazio vettoriale ma di un sottospazio generato da un vettore non saprei.qualche idea per proseguire?
quest'ultimo punto è abbastanza ricorrente negli esercizi.magari se mi date qualche idea?devo calcolarmi le equazioni cartesiane dello spazio?
"mazzy89":
sempre lo stesso esercizio mi chiede di calcolare una base di $f^(-1)(L(u))$, con $u=(1,0,1,1)$
io so calcolare la controimmagine di un vettore o magari di un sottospazio vettoriale ma di un sottospazio generato da un vettore non saprei.qualche idea per proseguire?
quest'ultimo punto è abbastanza ricorrente negli esercizi.magari se mi date qualche idea?devo calcolarmi le equazioni cartesiane dello spazio?
Ragioniamo: anzitutto, mettiamoci nella base canonica, così chiariamo una volta per tutte il riferimento. Ora sia [tex]K=L(\mathbf{u})[/tex] con [tex]\mathbf{u}=(1,0,1,1)[/tex]. Si chiede $f^{-1}(K)={\mathbf{x} \in \RR^{4} " tali che " f(\mathbf{x}) \in K}$. Fin qui mi segui?
Adesso chiediti: che cosa significa che un vettore $mathbf{v} \in K$? Siccome una base di $K$ ce l'abbiamo, possiamo dire che un vettore sta in $K$ se e soltanto se è della forma $(\lambda,0,\lambda,\lambda)$, giusto?
Quindi, il nostro problema è trovare tutti i vettori di $\RR^{4}$ tali che $f(\mathbf{x})=(\lambda,0,\lambda,\lambda)$. A questo punto, sono conti: chiama $\mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3, x_4)$ e calcola l'immagine di questo generico vettore mediante la $f$. Poi imponi l'uguaglianza con $(\lambda,0,\lambda,\lambda)$ e, quindi, discuti e risolvi un sistema parametrico (c'è il $\lambda$!).
Alcune considerazioni: sicuramente detto sistema sarà compatibile, cioè ci sarà almeno una soluzione. Questo perché la controimmagine di un sottospazio non è mai vuota: essendo la controimmagine un sottospazio, c'è sempre almeno il ...
Infine, in generale è più semplice quando si hanno le equazioni cartesiane del sottospazio (prova a pensare perché). Comunque, credo sia utile e necessario padroneggiare entrambe le tecniche, sia con i generatori sia con le equazioni.
Chiaro? Fai un fischio se qualcosa non ti torna
"Paolo90":
[quote="mazzy89"]sempre lo stesso esercizio mi chiede di calcolare una base di $f^(-1)(L(u))$, con $u=(1,0,1,1)$
io so calcolare la controimmagine di un vettore o magari di un sottospazio vettoriale ma di un sottospazio generato da un vettore non saprei.qualche idea per proseguire?
quest'ultimo punto è abbastanza ricorrente negli esercizi.magari se mi date qualche idea?devo calcolarmi le equazioni cartesiane dello spazio?
Ragioniamo: anzitutto, mettiamoci nella base canonica, così chiariamo una volta per tutte il riferimento. Ora sia [tex]K=L(\mathbf{u})[/tex] con [tex]\mathbf{u}=(1,0,1,1)[/tex]. Si chiede $f^{-1}(K)={\mathbf{x} \in \RR^{4} " tali che " f(\mathbf{x}) \in K}$. Fin qui mi segui?
[/quote]
si esattamente.è la definizione formale di controimmagine.
Adesso chiediti: che cosa significa che un vettore $mathbf{v} \in K$? Siccome una base di $K$ ce l'abbiamo, possiamo dire che un vettore sta in $K$ se e soltanto se è della forma $(\lambda,0,\lambda,\lambda)$, giusto?
Quindi, il nostro problema è trovare tutti i vettori di $\RR^{4}$ tali che $f(\mathbf{x})=(\lambda,0,\lambda,\lambda)$. A questo punto, sono conti: chiama $\mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3, x_4)$ e calcola l'immagine di questo generico vettore mediante la $f$. Poi imponi l'uguaglianza con $(\lambda,0,\lambda,\lambda)$ e, quindi, discuti e risolvi un sistema parametrico (c'è il $\lambda$!).
Alcune considerazioni: sicuramente detto sistema sarà compatibile, cioè ci sarà almeno una soluzione. Questo perché la controimmagine di un sottospazio non è mai vuota: essendo la controimmagine un sottospazio, c'è sempre almeno il ...
c'è sempre almeno il vettore nullo
Infine, in generale è più semplice quando si hanno le equazioni cartesiane del sottospazio (prova a pensare perché). Comunque, credo sia utile e necessario padroneggiare entrambe le tecniche, sia con i generatori sia con le equazioni.
Chiaro? Fai un fischio se qualcosa non ti torna
il motivo per cui è più semplice tramite le equazioni cartesiane è perché forse abbiamo già una definizione di come deve essere il vettore generico del sottospazio e quindi risulta più diretto il discorso.
comunque sei stato chiarissimo,gentilissimo e disponibilissimo.grazie tante.complimenti per la preparazione.
Ok, molto bene.
Sì, ecco, se uno è fortunato e ha le equazioni cartesiane, trovare la controimmagine può essere immediato. Ti faccio un esempio: prendi, che so, in $\RR^{2}$ l'iperpiano ${(y_{1}, y_{2}) " tali che " y_1+y_2=0}$. Supponiamo che $f(x_1, x_2) = (x_1,x_1-x_2)$ (sto inventando!); per trovare la controimmagine dell'iperpiano ti basta sostituire dentro l'equazione che lo definisce i "valori" di $y_1$ e $y_2$. Insomma, la controimmagine è data da ${ (x_1, x_2) " tali che " x_1+(x_1-x_2)=0}$.
Capisci ciò che intendo?
Ma figurati per così poco! Grazie a te per i complimenti immeritati
Buono studio e se hai bisogno sai dove siamo.
"mazzy89":
il motivo per cui è più semplice tramite le equazioni cartesiane è perché forse abbiamo già una definizione di come deve essere il vettore generico del sottospazio e quindi risulta più diretto il discorso.
Sì, ecco, se uno è fortunato e ha le equazioni cartesiane, trovare la controimmagine può essere immediato. Ti faccio un esempio: prendi, che so, in $\RR^{2}$ l'iperpiano ${(y_{1}, y_{2}) " tali che " y_1+y_2=0}$. Supponiamo che $f(x_1, x_2) = (x_1,x_1-x_2)$ (sto inventando!); per trovare la controimmagine dell'iperpiano ti basta sostituire dentro l'equazione che lo definisce i "valori" di $y_1$ e $y_2$. Insomma, la controimmagine è data da ${ (x_1, x_2) " tali che " x_1+(x_1-x_2)=0}$.
Capisci ciò che intendo?
"mazzy89":
comunque sei stato chiarissimo,gentilissimo e disponibilissimo.grazie tante.complimenti per la preparazione.
Ma figurati per così poco! Grazie a te per i complimenti immeritati
Buono studio e se hai bisogno sai dove siamo.
si si ho capito benissimo l'esempio che mi hai fatto.considerando che già conoscevo come calcolare la controimmagine quando il sottospazio è definito tramite equazioni cartesiane.questo esempio di esercizio mi ha un po' spiazzato per come era posto.ma capita la definizione era poi tutto chiaro.
però comunque non mi trovo d'accordo con te.dici
invece no.se spieghi queste cose vuol dire che le padroneggi bene e vuol dire quindi che le hai studiate presso un università.e so molto bene cosa vuol dire studiare all'università...sacrifici,sudore e sacrifici
quindi i complimenti sono meritatissimi anche per il tempo che rubi a te stesso nell'aiutare gli altri.non è da tutti.continua così
però comunque non mi trovo d'accordo con te.dici
...complimenti immeritati
invece no.se spieghi queste cose vuol dire che le padroneggi bene e vuol dire quindi che le hai studiate presso un università.e so molto bene cosa vuol dire studiare all'università...sacrifici,sudore e sacrifici
quindi i complimenti sono meritatissimi anche per il tempo che rubi a te stesso nell'aiutare gli altri.non è da tutti.continua così
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