Esercizio - Sistema lineare

[Seneca1]

Risolvo il seguente sistema lineare usando l'algoritmo di Gauss:

$x_1 - x_3 + 3 x_4 + x_5 = 1$
$2 x_1 - x_2 + x_4 + x_5 = 0$
$- x_1 + x_3 - x_4 + x_5 = 1$
$x_1 - x_3 + 5 x_4 + 3 x_5 = 3$

Trovo allora la soluzione: $( x_3 + 2 x_5 - 2 , 2 x_3 + 4 x_5 - 3 , x_3 , 1 - x_5 , x_5 )$

che si può scrivere come:

$( x_3 , 2 x_3 , x_3 , 0 , 0 ) + ( 2 x_5 , 4 x_5 , 0 , - x_5 , x_5 ) + ( -2 , - 3 , 0 , 1 , 0 )$

cioè

$x_3 ( 1 , 2 , 1 , 0 , 0 ) + x_5 ( 2 , 4 , 0 , - 1 , 1 ) + ( -2 , - 3 , 0 , 1 , 0 )$

C'è altro da aggiungere?

Dovrei avere provato così che il sistema definisce un piano in $RR^5$.

Grazie per le eventuali delucidazioni.

[Paolo902]

Non ho controllato i conti, ma mi pare non ci sia nulla da aggiungere. Se hai usato Gauss avrai scoperto che il rango della matrice (completa) è 3 cosicché avrai 5-3=2 parametri liberi: dunque l'insieme delle soluzioni del sistema è proprio un piano in $\RR^{5}$.

Attenzione: bada che non è un piano vettoriale, cioè l'insieme delle soluzioni NON costituisce un sottospazio vettoriale di $\RR^{5}$. Ma questo forse ti era già chiaro.

Vale