Calcolo controimmagine

[mazzy89-votailprof]

devo calcolare la controimmagine di questa applicazione lineare

consideriamo l'$RR$ spazio vettoriale $V={X in RR^(2,2) | trX=0}$ e sia $hinRR$. sia $f_h:V->V$ l'endomorfismo avente $A=((1,1),(1,-1))$ come autovettore relativo all'autovalore $2$ tale che

$f_h((1,0),(1,-1))=((4-h,5-2h),(6-h,h-4))$

$f_h((1,0),(-1,-1))=((h,1),(-h,-h))$

determinare $f_h^(-1)((1,1),(1,-1))$

per risolvere l'esercizio mi scrivo la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base di $V$.osservo che le matrici $((1,0),(1,-1))$,$((1,0),(-1,-1))$,$((1,1),(1,-1))$ non sono appartengono a $V$ ma formano una base di $V$ quindi è definito un endomorfismo.la matrice associata all'endomorfismo a meno di calcoli errati è

$M=((2,5-2h,1),(0,h,-1),(0,-1,h))$

a questo punto per calcolarmi la controimmagine dovrei risolvere il sistema

$M*((x),(y),(z))=((1,1),(1,-1))$

purtroppo però questo sistema come posso risolvere?ho una matrice 3x3 con una matrice 2x2

[Sk_Anonymous]

Piuttosto:

$((2,5-2h,1),(0,h,-1),(0,-1,h))^-1((1),(0),(0))$

Ti faccio solo notare che, per $h!=+-1$, l'endomorfismo è suriettivo, quindi banalmente:

$f_h^-1((1,1),(1,-1))=1/2((1,1),(1,-1))$

[mazzy89-votailprof]

"speculor":Piuttosto:

$((2,5-2h,1),(0,h,-1),(0,-1,h))^-1((1),(0),(0))$

questo invece mi risulta nuovo.il vettore $((1),(0),(0))$ da dove proviene?

"speculor":
Ti faccio solo notare che, per $h!=+-1$, l'endomorfismo è suriettivo, quindi banalmente:

$f_h^-1((1,1),(1,-1))=1/2((1,1),(1,-1))$

questo l'avevo intuito.non l'ho scritto ma l'avevo capito.

[Sk_Anonymous]

La matrice di cui cerchi la controimmagine è il primo elemento della base che hai scelto. Quali dovrebbero essere le sue componenti rispetto alla base scelta?

[mazzy89-votailprof]

"speculor":La matrice di cui cerchi la controimmagine è il primo elemento della base che hai scelto. Quali dovrebbero essere le sue componenti rispetto alla base scelta?

mmm le componenti sono $((2),(0),(0))$ perché quel'$1$?

[Sk_Anonymous]

scusa mazzy89, volendo $vec(e_1)=\lambda_1vec(e_1)+\lambda_2vec(e_2)+\lambda_3vec(e_3)$ cosa vorresti mettere al posto di $\lambda_1$, $\lambda_2$ e $\lambda_3$?

[mazzy89-votailprof]

be metterei $lambda_1=1,lambda_2=0,lambda_3=0$.ma non sto capendo cosa centri il vettore $e_1$ con il mio discorso.mi sto confondendo.io sto lavorando in $RR^(2,2)$

[Sk_Anonymous]

"mazzy89": ... $M*((x),(y),(z))=((1,1),(1,-1))$ purtroppo però questo sistema come posso risolvere?ho una matrice 3x3 con una matrice 2x2 ...

Temo che sia lo stesso problema che palesavi in questo punto. Quello con cui stai lavorando è un sottospazio di dimensione $3$, magari lo spazio vettoriale di partenza è quello delle matrici $25*25$, ma una volta scelta la base, per identificare la matrice ho bisogno solo delle $3$ componenti rispetto alla base prescelta. Stai lavorando con le componenti, non con le matrici. Dimenticavo, per me $vec(e_1)$ è un elemento di uno spazio vettoriale, può essere anche una matrice.

[mazzy89-votailprof]

ah ok chiarissimo.allora devo lavorare con le componenti.

quindi mi basta risolvere il seguente sistema

$M*((x),(y),(z))=((2),(0),(0))$

[Sk_Anonymous]

No, così calcoleresti la controimmagine di:

$2((1,1),(1,-1))$

Piuttosto:

$((2,5-2h,1),(0,h,-1),(0,-1,h))((x),(y),(z))=((1),(0),(0))$

oppure, come avevo precedentemente scritto:

$((x),(y),(z))=((2,5-2h,1),(0,h,-1),(0,-1,h))^-1((1),(0),(0))$

[mazzy89-votailprof]

ma la matrice $((1,1),(1,-1))$ è identificata dal vettore $((1),(0),(0))$ perché ovviamente la suddetta matrice fa parte di una base del nostro sottospazio quindi le altre componenti devono essere per forza pari a zero.adesso ho capito