Teoria: endomorfismi diagonalizzabili

[and1991]

ciao ragazzi ho dei problemi con la dimostrazione del seguente teorema:
Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e siano $k_1,k_2,....,k_r$ i suoi autovalori distinti.Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
1- f è diagonalizzabile;
2- $V=V_(k_1)+........+V_(k_n)$(col simbolo + intendo somma diretta);
3- Le radici del polinomio caratteristico appartengono tutte al campo K e sono tutte autovalori regolari.

Non riesco a capire un passaggio del 3)$->$1) e cioè quando il libro(Pellegrini,benini,morini) dice:"Poichè $1<=g_(k_i)<=a_(k_i)$, se esistesse un autospazio $V_(k_j)$ con dimensione strettamente minore di $a_(k_j)$, dovendo sussistere $a_(k_1)+.....a_(k_r)=n$ e $g_(k_1)+.......+g_(k_r)=n$ dovrebbe esistere un autospazio $V_(k_s)$ con dimensione strettamente superiore ad $a_(k_s)$, e ciò è escluso.Ha veramente senso questa frase?

[maurer]

Ha senso, ma forse è meglio riparafrasarla così: supponiamo che esista un autospazio [tex]V_{k_j}[/tex] di dimensione strettamente minore di [tex]a_{k_j}[/tex]. Poiché [tex]1 \le g_{k_i} \le a_{k_i}[/tex] si avrebbe [tex]g_{k_1} + \ldots + g_{k_r} < a_{k_1} + \ldots + a_{k_r} = n[/tex] e questo dovrebbe fornirti un assurdo.

Però mi sfugge la definizione di autovalore regolare: pensavo che fosse un autovalore per cui molteplicità algebrica e geometrica coincidono, ma non sembra che sia così a partire dal tuo discorso...

[and1991]

ok quindi è assurdo perchè si ha n

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[maurer]

Sì, l'assurdo è quello.