Aggiunta di una matrice con il teorema di Cayley - Hamilton
Buongiorno a tutti!
Ho studiato il teorema di Cayley-Hamilton e mi è stato chiesto di descrivere una procedura per determinare l'aggiunta di una matrice assegnata avvalendosi di tale teorema.
Tuttavia non ho alcuna idea introduttiva in quanto non so come collegare la definizione di matrice aggiunta con la tesi del teorema (la matrice assegnata verifica il polinomio matriciale associato al polinomio caratteristico).
Qualcuno di voi ha qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho studiato il teorema di Cayley-Hamilton e mi è stato chiesto di descrivere una procedura per determinare l'aggiunta di una matrice assegnata avvalendosi di tale teorema.
Tuttavia non ho alcuna idea introduttiva in quanto non so come collegare la definizione di matrice aggiunta con la tesi del teorema (la matrice assegnata verifica il polinomio matriciale associato al polinomio caratteristico).
Qualcuno di voi ha qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ciao 
Una domanda: che cosa intendi con "aggiunta"? Chiedo perchè mi pare di capire che riguardo questo termine ci sia un po' di ambiguità: c'è chi chiama aggiunta di una matrice la matrice dei cofattori, chi la trasposta della matrice dei cofattori; altri ancora, parlano di aggiunta come la trasposta coniugata...
Una domanda: che cosa intendi con "aggiunta"? Chiedo perchè mi pare di capire che riguardo questo termine ci sia un po' di ambiguità: c'è chi chiama aggiunta di una matrice la matrice dei cofattori, chi la trasposta della matrice dei cofattori; altri ancora, parlano di aggiunta come la trasposta coniugata...
Per aggiunta di una matrice quadrata $M$ assegnata, definisco aggiunta della matrice $M$ la matrice il cui elemento di posto $(i,j)$ è dato da: $(-1)^(i+j)\cdot \det(M_{ji})$, dove $M_{ji}$ è la matrice $M$ in cui è stata soppressa la $j-$esima riga e la $i-$esima colonna.
In sostanza, devo calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata non singolare $M$ assegnata, trovando dapprima l'aggiunta di $M$ con il teorema di Cayley-Hamilton! In tal modo, avvalendomi della relazione: $M^(-1)(i,j)=\frac{1}{\det (M)}(-1)^(i+j)\det(M_{ji})=\frac{1}{\det(M)} \adj(M)$, con $\adj(M)$ matrice aggiunta di $M$, troverò l'inversa richiesta.
In questo modo ho illustrato il mio fine ultimo!
In questo modo ho illustrato il mio fine ultimo!
Supponiamo che [tex]M[/tex] sia non singolare ed il polinomio caratteristico sia [tex]p_M(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_{n-1} X + a_n[/tex]. Affermo che [tex]\text{adj}(M) =(-1)^n(M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1})[/tex]. Sapresti dimostrarlo?
Il problema è che non ho affrontato in dettaglio lo studio del teorema di Cayley-Hamilton in quanto mi serve solo per una applicazione al calcolatore.
Potresti indicarmi tu la dimostrazione dell'uguaglianza scritta? Potrebbe servirmi da complemento.
Ti ringrazio per la disponibilità.
Potresti indicarmi tu la dimostrazione dell'uguaglianza scritta? Potrebbe servirmi da complemento.
Ti ringrazio per la disponibilità.
Beh, non è niente di difficile. In particolare non serve conoscere la dimostrazione di Cayley-Hamilton, ma solo il suo enunciato: si tratta di algebretta da terza media! Denotiamo con [tex]I_n[/tex] la matrice identità [tex]n \times n[/tex]. Allora vale l'identità [tex]M \: \text{adj}(M) = \det (M) I_n[/tex] e [tex]\det(M) = (-1)^n a_n[/tex]. Ma allora per Cayley-Hamilton abbiamo [tex]p_M(M) = 0[/tex], ossia [tex]M^n + a_1 M^{n-1} + \ldots + a_{n-1} M + a_n = 0[/tex], ossia [tex]M^n + a_1 M^{n-1} + \ldots + a_{n-1}M = (-1)^{n+1} \det(M) I_n[/tex], ossia [tex]M(M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1}) = (-1)^{n+1} \det(M) I_n[/tex]. Ora, siccome [tex]M[/tex] è non-singolare, otteniamo [tex]\text{adj} (M) = M^{-1} (\det(M) I_n) = (-1)^{n+1}( M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1})[/tex].
E quindi avevo sbagliato l'esponente nel post precedente.
E quindi avevo sbagliato l'esponente nel post precedente.
Benissimo. Una sola cosa: quando scrivi $det(M)=(-1)^n a_n$, cosa intendi con $a_n$?
"maurer":
Supponiamo che [tex]M[/tex] sia non singolare ed il polinomio caratteristico sia [tex]p_M(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_{n-1} X + a_n[/tex]. Affermo che [tex]\text{adj}(M) =(-1)^n(M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1})[/tex]. Sapresti dimostrarlo?
Utilizzavo le notazioni del post precedente... E' il termine noto del polinomio caratteristico!
Ops scusa! Non ci avevo fatto caso!
Ti ringrazio per le esaurienti risposte! Se dovessi avere altri dubbi, posto tutto!
Ti ringrazio per le esaurienti risposte! Se dovessi avere altri dubbi, posto tutto!
Se $p_M(X)=det(M-XI_n)$, riesce $P_M(0)=det(M)=a_n$. Perché hai scritto $det(M)=(-1)^na_n$?
Perché io definisco [tex]p_M(X) = (-1)^n \det(M - XI_n)[/tex], e questo perché gradisco che il polinomio caratteristico sia monico (se non moltiplichi per [tex](-1)^n[/tex] il primo termine avrà per coefficiente un orrendo [tex]-1[/tex] in dimensione dispari!).
Ah ok! Perfetto! Ora torna tutto. Grazie ancora! 
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