Aggiunta di una matrice con il teorema di Cayley - Hamilton

Andrea902
Buongiorno a tutti!
Ho studiato il teorema di Cayley-Hamilton e mi è stato chiesto di descrivere una procedura per determinare l'aggiunta di una matrice assegnata avvalendosi di tale teorema.
Tuttavia non ho alcuna idea introduttiva in quanto non so come collegare la definizione di matrice aggiunta con la tesi del teorema (la matrice assegnata verifica il polinomio matriciale associato al polinomio caratteristico).
Qualcuno di voi ha qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.

Risposte
Paolo902
Ciao :-D

Una domanda: che cosa intendi con "aggiunta"? Chiedo perchè mi pare di capire che riguardo questo termine ci sia un po' di ambiguità: c'è chi chiama aggiunta di una matrice la matrice dei cofattori, chi la trasposta della matrice dei cofattori; altri ancora, parlano di aggiunta come la trasposta coniugata...

Andrea902
Per aggiunta di una matrice quadrata $M$ assegnata, definisco aggiunta della matrice $M$ la matrice il cui elemento di posto $(i,j)$ è dato da: $(-1)^(i+j)\cdot \det(M_{ji})$, dove $M_{ji}$ è la matrice $M$ in cui è stata soppressa la $j-$esima riga e la $i-$esima colonna.

Andrea902
In sostanza, devo calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata non singolare $M$ assegnata, trovando dapprima l'aggiunta di $M$ con il teorema di Cayley-Hamilton! In tal modo, avvalendomi della relazione: $M^(-1)(i,j)=\frac{1}{\det (M)}(-1)^(i+j)\det(M_{ji})=\frac{1}{\det(M)} \adj(M)$, con $\adj(M)$ matrice aggiunta di $M$, troverò l'inversa richiesta.
In questo modo ho illustrato il mio fine ultimo! :D

maurer
Supponiamo che [tex]M[/tex] sia non singolare ed il polinomio caratteristico sia [tex]p_M(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_{n-1} X + a_n[/tex]. Affermo che [tex]\text{adj}(M) =(-1)^n(M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1})[/tex]. Sapresti dimostrarlo?

Andrea902
Il problema è che non ho affrontato in dettaglio lo studio del teorema di Cayley-Hamilton in quanto mi serve solo per una applicazione al calcolatore.
Potresti indicarmi tu la dimostrazione dell'uguaglianza scritta? Potrebbe servirmi da complemento.
Ti ringrazio per la disponibilità.

maurer
Beh, non è niente di difficile. In particolare non serve conoscere la dimostrazione di Cayley-Hamilton, ma solo il suo enunciato: si tratta di algebretta da terza media! Denotiamo con [tex]I_n[/tex] la matrice identità [tex]n \times n[/tex]. Allora vale l'identità [tex]M \: \text{adj}(M) = \det (M) I_n[/tex] e [tex]\det(M) = (-1)^n a_n[/tex]. Ma allora per Cayley-Hamilton abbiamo [tex]p_M(M) = 0[/tex], ossia [tex]M^n + a_1 M^{n-1} + \ldots + a_{n-1} M + a_n = 0[/tex], ossia [tex]M^n + a_1 M^{n-1} + \ldots + a_{n-1}M = (-1)^{n+1} \det(M) I_n[/tex], ossia [tex]M(M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1}) = (-1)^{n+1} \det(M) I_n[/tex]. Ora, siccome [tex]M[/tex] è non-singolare, otteniamo [tex]\text{adj} (M) = M^{-1} (\det(M) I_n) = (-1)^{n+1}( M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1})[/tex].

E quindi avevo sbagliato l'esponente nel post precedente.

Andrea902
Benissimo. Una sola cosa: quando scrivi $det(M)=(-1)^n a_n$, cosa intendi con $a_n$?

maurer
"maurer":
Supponiamo che [tex]M[/tex] sia non singolare ed il polinomio caratteristico sia [tex]p_M(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_{n-1} X + a_n[/tex]. Affermo che [tex]\text{adj}(M) =(-1)^n(M^{n-1} + a_1 M^{n-2} + \ldots + a_{n-1})[/tex]. Sapresti dimostrarlo?


Utilizzavo le notazioni del post precedente... E' il termine noto del polinomio caratteristico!

Andrea902
Ops scusa! Non ci avevo fatto caso!
Ti ringrazio per le esaurienti risposte! Se dovessi avere altri dubbi, posto tutto!

Andrea902
Se $p_M(X)=det(M-XI_n)$, riesce $P_M(0)=det(M)=a_n$. Perché hai scritto $det(M)=(-1)^na_n$?

maurer
Perché io definisco [tex]p_M(X) = (-1)^n \det(M - XI_n)[/tex], e questo perché gradisco che il polinomio caratteristico sia monico (se non moltiplichi per [tex](-1)^n[/tex] il primo termine avrà per coefficiente un orrendo [tex]-1[/tex] in dimensione dispari!).

Andrea902
Ah ok! Perfetto! Ora torna tutto. Grazie ancora! :wink:

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