Spazi metrici, normati, di Banach e (pre) hilbertiani
Allora ragazzi, voglio cercare di riassumere alcuni "capisaldi" sui suddetti spazi, quindi mi serve il vostro aiuto 
- Uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) in cui posso definire una forma bilineare simmetrica (risp. hermitiana) è uno spazio metrico (*)
- Uno spazio vettoriale (reale o complesso) dotato di norma è uno spazio normato
- Uno spazio normato (reale o complesso) che sia anche completo è uno spazio di Banach
- Uno spazio normato (reale o complesso) con norma definita da un prodotto interno è uno spazio pre-hilbertiano
- Uno spazio normato completo (reale o complesso) con norma definita da un prodotto interno è uno spazio spazio hilbertiano
Nel caso di spazio vettoriale reale il prodotto interno è detto prodotto scalare, che è una forma bilineare simmetrica la cui matrice associata è definita positiva; nel caso di spazio vettoriale complesso il prodotto interno è detto prodotto hermitiano, che è una forma hermitiana (che è una particolare forma sesquilineare che soddisfa certi requisiti) la cui matrice associata è definita positiva. Per stabilire se sono definite positive posso servirmi del teorema di Sylvester
Dunque gli spazi pre-hilbertiani e hilbertiani, che sono spazi normati con norma "dettata" dal prodotto interno, sono particolari spazi di Banach.
Per quanto riguarda (*), definizione riportata in una dispensa di cui non ricordo la provenienza, non mi quadra tanto poichè la definizione classica (e più generica) dovrebbe essere che uno spazio vettoriale è metrico se esiste una metrica d t.c.
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=0 hArr x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$
PS: mi raccomando, siate clementi con le lavate di capo nel caso abbia detto qualche eresia
- Uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) in cui posso definire una forma bilineare simmetrica (risp. hermitiana) è uno spazio metrico (*)
- Uno spazio vettoriale (reale o complesso) dotato di norma è uno spazio normato
- Uno spazio normato (reale o complesso) che sia anche completo è uno spazio di Banach
- Uno spazio normato (reale o complesso) con norma definita da un prodotto interno è uno spazio pre-hilbertiano
- Uno spazio normato completo (reale o complesso) con norma definita da un prodotto interno è uno spazio spazio hilbertiano
Nel caso di spazio vettoriale reale il prodotto interno è detto prodotto scalare, che è una forma bilineare simmetrica la cui matrice associata è definita positiva; nel caso di spazio vettoriale complesso il prodotto interno è detto prodotto hermitiano, che è una forma hermitiana (che è una particolare forma sesquilineare che soddisfa certi requisiti) la cui matrice associata è definita positiva. Per stabilire se sono definite positive posso servirmi del teorema di Sylvester
Dunque gli spazi pre-hilbertiani e hilbertiani, che sono spazi normati con norma "dettata" dal prodotto interno, sono particolari spazi di Banach.
Per quanto riguarda (*), definizione riportata in una dispensa di cui non ricordo la provenienza, non mi quadra tanto poichè la definizione classica (e più generica) dovrebbe essere che uno spazio vettoriale è metrico se esiste una metrica d t.c.
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=0 hArr x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$
PS: mi raccomando, siate clementi con le lavate di capo nel caso abbia detto qualche eresia
Risposte
"lobacevskij":
...- Uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) in cui posso definire una forma bilineare simmetrica (risp. hermitiana) è uno spazio metrico (*)...
Per quanto riguarda (*), definizione riportata in una dispensa di cui non ricordo la provenienza, non mi quadra tanto poichè la definizione classica (e più generica) dovrebbe essere che uno spazio vettoriale è metrico se esiste una metrica d t.c.
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=0 hArr x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$...
In effetti la seconda definizione ti fornisce la definizione di spazio metrico; richiesta indipendente dal poter definire una struttura di spazio vettoriale su un campo su un generico insieme.
Sulla prima definizione, in un generico spazio vettoriale reale o complesso a dimensione finita \(n\) puoi sempre definire una forma bilineare simmetrica od hermitiana; basta scegliere la matrice identità \(I_n^n\)!
Innanzitutto grazie per la risposta 
quindi quella definizione NON mi assicura che un tale spazio sia anche vettoriale?
Per quanto riguarda la tua seconda affermazione, proprio non l'ho capita; puoi ridirmela in termini più "terra-terra" perchè non riesco a cogliere le implicazioni che ne sembrano derivare?
PS: non avendo commentato il resto ne desumo che sia giusto...è così?
"j18eos":
In effetti la seconda definizione ti fornisce la definizione di spazio metrico; richiesta indipendente dal poter definire una struttura di spazio vettoriale su un campo su un generico insieme.
quindi quella definizione NON mi assicura che un tale spazio sia anche vettoriale?
Per quanto riguarda la tua seconda affermazione, proprio non l'ho capita; puoi ridirmela in termini più "terra-terra" perchè non riesco a cogliere le implicazioni che ne sembrano derivare?
PS: non avendo commentato il resto ne desumo che sia giusto...è così?
"lobacevskij":
- Uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) in cui posso definire una forma bilineare simmetrica (risp. hermitiana) è uno spazio metrico (*)
Come dice pure Armando questa definizione è poco significativa. Una forma bilineare simmetrica esiste sempre su qualsiasi spazio vettoriale (di dimensione finita, ma probabilmente ciò sarà vero anche in dimensione infinita, per mezzo dell'assioma della scelta). Invece uno spazio metrico è un insieme \(X\) munito di una applicazione \(d\colon X \times X \to \mathbb{R}\) con le proprietà che hai elencato. Se, in aggiunta, \(X\) è strutturato come spazio vettoriale e le operazioni di spazio vettoriale sono compatibili con la struttura metrica, allora si parla di spazio vettoriale metrico.
Ok, in pratica se ho uno spazio vettoriale posso dire che è anche metrico sole se verifico che soddisfa le condizioni precedentemente riportate.
All'atto pratico che vantaggi ha uno spazio vettoriale metrico rispetto ad un semplice spazio metrico? (qua viene fuori il mio lato di non-matematico )
Per quanto riguarda tutte le altre considerazioni che ho riportato, sono corrette?
All'atto pratico che vantaggi ha uno spazio vettoriale metrico rispetto ad un semplice spazio metrico? (qua viene fuori il mio lato di non-matematico
)Per quanto riguarda tutte le altre considerazioni che ho riportato, sono corrette?
Leggi bene quello che ha scritto dissonance, si distinguono gli spazi vettoriali metrici e spazi vettoriali metrico.
Gli spazi pre-hilbertiani non li conosco; i restanti sono ok!
Gli spazi pre-hilbertiani non li conosco; i restanti sono ok!
"j18eos":
Gli spazi pre-hilbertiani non li conosco; i restanti sono ok!
Gli spazi prehilbertiani sono cio' che resta degli spazi di Hilbert dopo avere lasciato cadere la completezza. Tu probabilmente li conosci come 'spazi a prodotto scalare' o qualcosa del genere.
Ah, tutto qui!
Che nome aulico!
Grazie.
Che nome aulico!
Grazie.
Uhm, resta il fatto che non mi è chiara la differenza tra spazi vettoriali metrici e spazi vettoriali su uno spazio metrico
- spazio vettoriale metrico: insieme $X$ munito di una applicazione $d:X×X→R$ con le proprietà che ho già elencato e strutturato come spazio vettoriale (con le operazioni di spazio vettoriale che devono quindi essere compatibili con la struttura metrica)
- spazio vettoriale su uno spazio metrico:....????
- spazio vettoriale metrico: insieme $X$ munito di una applicazione $d:X×X→R$ con le proprietà che ho già elencato e strutturato come spazio vettoriale (con le operazioni di spazio vettoriale che devono quindi essere compatibili con la struttura metrica)
- spazio vettoriale su uno spazio metrico:....????
up
"Spazio vettoriale su uno spazio metrico"?
E che vuol dire?
In generale uno spazio metrico non ha la struttura algebrica adeguata per "costruirci sopra" uno spazio vettoriale.
E che vuol dire?
In generale uno spazio metrico non ha la struttura algebrica adeguata per "costruirci sopra" uno spazio vettoriale.
Infatti quella "definizione" non mi è per nulla chiara, ma chiedevo delucidazioni proprio perchè
"j18eos":
Leggi bene quello che ha scritto dissonance, si distinguono gli spazi vettoriali metrici e spazi vettoriali su uno spazio metrico.
"dissonance":Mi pare che dissonance sia stato chiaro!
...uno spazio metrico è un insieme \(X\) munito di una applicazione \(d\colon X \times X \to \mathbb{R}\) con le proprietà che hai elencato. Se, in aggiunta, \(X\) è strutturato come spazio vettoriale e le operazioni di spazio vettoriale sono compatibili con la struttura metrica, allora si parla di spazio vettoriale metrico.
Certo, infatti ora mi è chiaro cosa sia uno spazio vettoriale metrico ma non la differenza tra esso e uno Spazio vettoriale su uno spazio metrico.
Ripeto, insisto perchè sei stato tu a dire: "si distinguono gli spazi vettoriali metrici e spazi vettoriali su uno spazio metrico.", implicando una differenza tra i due che però non riesco a cogliere...
Ripeto, insisto perchè sei stato tu a dire: "si distinguono gli spazi vettoriali metrici e spazi vettoriali su uno spazio metrico.", implicando una differenza tra i due che però non riesco a cogliere...
@lobacevskij: Se il dubbio è quello, lascia stare... È stato un semplice errore di j18eos.
In generale, non ha proprio senso parlare di "spazio vettoriale su uno spazio metrico".
In generale, non ha proprio senso parlare di "spazio vettoriale su uno spazio metrico".
È stato un errore così scemo di battitura che non me ne sono accorto! Scusatemi lo stesso. 
@lobacevskij Altri dubbi?
@lobacevskij Altri dubbi?
Ok, perfetto, allora mi torna tutto*
* eh si, magari...se c'è qualche anima pia che voglia darci un'occhiata
identita-di-parseval-e-disuguaglianza-di-bessel-t22774-10.html
Ringrazio comunque tutti quelli che sono intervenuti nella discussione.
* eh si, magari...se c'è qualche anima pia che voglia darci un'occhiata
identita-di-parseval-e-disuguaglianza-di-bessel-t22774-10.html
Ringrazio comunque tutti quelli che sono intervenuti nella discussione.
Prego, di nulla!
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