Esercizio sulle applicazioni lineari dubbio

[tomscag1]

Innanzitutto buon anno, il mio esame incombe e mi ritrovo a studiare anche a capodanno
Stavo risolvendo degli esercizi che ci hanno dato a lezione e ho un dubbio su questo

sia f un' applicazione lineare da R^3 a R^4 tale che
f(1,1,0)=(1,0,2,0) f(1,0,-1)=(0,0,0,1) f(0,0,1)=(0,1,-1,2)
Si determini la matrice di f rispetto alla base B={(1,1,0) (1,0,-1) (0,0,1)} e alla base canonica di R^3.
Si determini f(x,y,z) per ogni (x,y,z) appartenenti a R^3 e si stabilisca se f è ingettiva e se è surgettiva

Come dovrei fare a trovare la matrice se non so come fa la f(x,y,z) ?

[perplesso1]

B={(1,1,0) (1,0,-1) (0,0,1)} e alla base canonica di R^3

Se hai 2 basi di $ R^3 $ sarà difficile svolgere questo esercizio xD Forse volevi dire la base canonica di $ R^4 $...

In questo caso l'esercizio è praticamente gia svolto. Come fai di solito a trovare la matrice associata ad una applicazione rispetto a due basi? Prendi il primo vettore della base B , calcoli la sua immagine mediante f e quindi le componenti dell'immagine nella base del codominio, poi fai la stessa cosa col secondo e col terzo vettore di B ... ma tu le immagini ce le hai gia

$ f(1,1,0)=(1,0,2,0), f(1,0,-1)=(0,0,0,1), f(0,0,1)=(0,1,-1,2) $

inoltre la base del codominio è quella canonica quindi non ti devi neanche calcolare le componenti non ti resta che costruire la matrice (ed è facile ogni immagine è una colonna)

$ ((1,0,0),(0,0,1),(2,0,-1),(0,1,2)) $

Mezzo esercizio è fatto ora prova con l'altra metà

[tomscag1]

Forse volevi dire la base canonica di R4

in effetti lo avevo immaginato anch'io, il fatto è che sulla traccia c' è scritto proprio R^3...così è davvero facile

La seconda metà dell'esercizio l ho fatta moltiplicando la matrice associata con il "vettore colonna delle variabili" ed eseguendo il prodotto mi viene che

f(x,y,z)=(x,y,2x-z,y+2z) da cui si vede subito che il nucleo è (0,0,0,0) ha dimensione 0 dunque f è ingettiva

Per la surgettività io so che che è surgettiva se la dimensione dell'immagine (che è 3) è uguale a quella del codominio (4), non è questo il caso dunque non è surgettiva... è giusto? grazie per la pazienza

[perplesso1]

La seconda metà dell'esercizio l ho fatta moltiplicando la matrice associata con il "vettore colonna delle variabili"

Per fare questo però dovresti avere la matrice associata ad f con le basi canoniche sia del dominio che del codominio. Ma $ B $ non è la base canonica, quindi prima devi fare un cambiamento di base. Chiamiamo $ C3 $ e $ C4 $ le basi canoniche di $ R^3 $ ed $ R^4 $ e indichiamo col simbolo $ M_{B,C3}(id) $ la matrice di passaggio da $ C3 $ a $ B $ (che è poi la matrice associata all'identità,ecco perchè $ id $) è facile vedere che $ M_{B,C3}(id)=M_{C3,B}^{-1}(id) $ essendo quest'ultima la matrice di passaggio da $ B $ a $ C3 $.
Ma questa è facile da calcolare (è la matrice che ha per colonne i vettori di B) ovvero

$ M_{C3,B}(id) = ((1,1,0),(1,0,0),(0,-1,1)) $

Detta $ M_{C4,B}(f) $ la matrice associata ad $ f $ trovata prima, la matrice che cerchiamo è $ M_{C4,C3}(f)=M_{C4,B}(f)M_{B,C3}(id)=M_{C4,B}(f)M_{C3,B}^{-1}(id)= ((1,0,0),(0,0,1),(2,0,-1),(0,1,2))((1,1,0),(1,0,0),(0,-1,1))^{-1} $ E i calcoli li lascio a te...

[tomscag1]

dovresti avere la matrice associata ad f con le basi canoniche sia del dominio che del codominio

questo non lo sapevo ora dovrebbe essere tutto chiaro

inserisco i calcoli per completezza

l'inversa della matrice da B a C3 sarebbe la matrice di passaggio da C3 a B e mi viene $ ( ( 0 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , -1 ) ) $ se ho fatto bene i calcoli

facendo il prodotto alla fine mi esce che la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche è $ ( ( 0 , -1 , 0),( -1 , 1 , -1 ),( 1 , -3 , 1 ),( -3, 3 , -2 ) ) $

moltiplicandola per $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ ottengo $ ( ( -y ),( -x+y-z ),( x-3y+z ),( -3x+3y-2z) ) $

allora per come ho ragionato prima f(x,y,z)=(-y,-x+y-z,x-3y+z,-3x+3y-2z) e ho che è ingettiva ma non surgettiva

[perplesso1]

Non controllo i calcoli ma il procedimento mi sembra ok!

[tomscag1]

grazie sei stato utile e molto chiaro