Iniettiva, suriettiva compito algebra.
Buona sera e buon 2012.
A breve dovro' affrontare un esame di algebra lineare dal quale vi posto un esercizio e come io vorrei risolverlo.
L'esercizio è il seguente:
data la funzione f da $ RR $ ^2 a $RR$ ^3 definita come segue :
f(x,y)=(x+y-1, x-1, y+2)
dire se è iniettiva o suriettiva o invertibile.
Vi dico come ho operato io (solo per l' iniettiva) : mi sono basato sulla definizione di iniettività , dunque una funzione è iniettiva sse $ AA $ (x[size=50]0[/size],y[size=50]0[/size]) , (x[size=50]1[/size], y [size=50]1[/size]) $ in $ $ RR $ ^2 ,
se (x[size=50]0[/size],y[size=50]0[/size]) $ != $ (x[size=50]1[/size], y [size=50]1[/size])
allora f(x[size=50]0[/size],y[size=50]0[/size]) $ != $ f(x[size=50]1[/size], y [size=50]1[/size]).
Ecco , sinceramente il risultato dell'applicazione di questa definizione non mi fa capire nulla. Potreste aiutarmi con la pratica? Grazie mille (basta solo x l'iniettività , tanto per la suriettività il procedimento penso sia lo stesso ma con definizione cambiata)
A breve dovro' affrontare un esame di algebra lineare dal quale vi posto un esercizio e come io vorrei risolverlo.
L'esercizio è il seguente:
data la funzione f da $ RR $ ^2 a $RR$ ^3 definita come segue :
f(x,y)=(x+y-1, x-1, y+2)
dire se è iniettiva o suriettiva o invertibile.
Vi dico come ho operato io (solo per l' iniettiva) : mi sono basato sulla definizione di iniettività , dunque una funzione è iniettiva sse $ AA $ (x[size=50]0[/size],y[size=50]0[/size]) , (x[size=50]1[/size], y [size=50]1[/size]) $ in $ $ RR $ ^2 ,
se (x[size=50]0[/size],y[size=50]0[/size]) $ != $ (x[size=50]1[/size], y [size=50]1[/size])
allora f(x[size=50]0[/size],y[size=50]0[/size]) $ != $ f(x[size=50]1[/size], y [size=50]1[/size]).
Ecco , sinceramente il risultato dell'applicazione di questa definizione non mi fa capire nulla. Potreste aiutarmi con la pratica? Grazie mille (basta solo x l'iniettività , tanto per la suriettività il procedimento penso sia lo stesso ma con definizione cambiata)
Risposte
E' un'applicazione lineare, secondo me ti conviene costruire la matrice (anche perché la suriettività non è così banale da verificare). In questo modo verificare l'iniettività si riduce a guardare il nucleo.
Riguardo alla definizione che usi tu, di solito è più facile controllare se la seguente proposizione è vera o falsa:
$f(z)=f(z')\Rightarrow z=z'$
Quindi nel tuo caso parti ponendo $f(x,y)=f(x_0,y_0)$ e vedi se questo implica $(x,y)=(x_0,y_0)$.
Paola
Riguardo alla definizione che usi tu, di solito è più facile controllare se la seguente proposizione è vera o falsa:
$f(z)=f(z')\Rightarrow z=z'$
Quindi nel tuo caso parti ponendo $f(x,y)=f(x_0,y_0)$ e vedi se questo implica $(x,y)=(x_0,y_0)$.
Paola
Prime_number intanto grazie x aver risposto. ma questa funzione non è lineare, è affine. 
Non sono Grassman, ma detto in parole povere ti conviene vedere se il rank, della matrice ottenuta scomponendo, ha dim=dominio(V) in quel caso è verificata l'iniettività. Se il rank ha anche la stessa dim del codominio essa è suriettiva.
E' quello che avevo fatto nel precedente compito ma la prof me l'ha corretto xchè questo teorema è utilizzabile solo con le lineari. QUesta è affine , giusto?
Sì è affine, pardon, ma è anche composizioni di una traslazione (biettiva) e di un'applicazione lineare. Prova ad esaminare quest'ultima con Grassman e company.
Paola
Paola
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