Esercizio di topologia...
Vorrei confrontare con voi questo esercizio-
Sia $ T $ la famiglia di sottoinsiemi di $ RR $ costituita dall'insieme vuoto da $ RR $ e da tutti i suoi sottoinsiemi contenenti l'intervallo aperto $ (-1;1) $ . Denotata inoltre con $ U $ la topologia naturale di $ RR $ si dica in quali dei seguenti casi l'applicazione $ f:x->x^2 $ risulti aperta: $ f:( RR ,U)->( RR ,U) $ $ f:( RR ,U)->( RR ,T) $ $ f:( RR ,T)->( RR ,U) $ $ f:( RR ,T)->( RR ,T) $ . Beh dalle considerazioni fatte questa non mi risulta mai aperta, semplicemente considerando che $ f((-a,a))=[0,a) $ con $ a>1 $ . Che ne dite?
Sia $ T $ la famiglia di sottoinsiemi di $ RR $ costituita dall'insieme vuoto da $ RR $ e da tutti i suoi sottoinsiemi contenenti l'intervallo aperto $ (-1;1) $ . Denotata inoltre con $ U $ la topologia naturale di $ RR $ si dica in quali dei seguenti casi l'applicazione $ f:x->x^2 $ risulti aperta: $ f:( RR ,U)->( RR ,U) $ $ f:( RR ,U)->( RR ,T) $ $ f:( RR ,T)->( RR ,U) $ $ f:( RR ,T)->( RR ,T) $ . Beh dalle considerazioni fatte questa non mi risulta mai aperta, semplicemente considerando che $ f((-a,a))=[0,a) $ con $ a>1 $ . Che ne dite?
Risposte
Visto così direi che hai ragione; una base per \(T\) è data da
\[\{B(0,r)\,|\,r\geq1\}\]
quindi \(f\) non può certo mandare aperti di \(T\) in aperti di \(T\). Data la giornata non proprio ottimale, però, potrei anche aver scantonato!
\[\{B(0,r)\,|\,r\geq1\}\]
quindi \(f\) non può certo mandare aperti di \(T\) in aperti di \(T\). Data la giornata non proprio ottimale, però, potrei anche aver scantonato!
Eh già, proprio per questo motivo ho detto che la f siffatta non è mai aperta.
Anche secondo me nei quattro casi non considerati questa funziona non è continua! Ma aspettiamo qualcuno che ne sappia di più! 
Non è la continuità a creare problemi. In effetti, \(x\mapsto x^2\) è ben continua sicuramente in un caso, così a occhio direi anche in un altro.
Comunque non è mai aperta, è assodato.
Comunque non è mai aperta, è assodato.
... in fin dei conti quali sono i punti non chiari? 
Da autore del post (mi sia concesso senza troppo modestia 
) sostengo che le conclusioni cui si è giunti siano più che sufficienti per avvalorare la tesi inizialmente sostenuta. Saluti a tutti.
) sostengo che le conclusioni cui si è giunti siano più che sufficienti per avvalorare la tesi inizialmente sostenuta. Saluti a tutti.
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