Esercizio di topologia....
Carissimi ragazzi, c'è un esercizio di topologia che vorrei condividere con voi-
Provare che l'insieme delle matrici di tipo $ mxn $ sul campo reale si struttura a spazio topologico con una topologia $ T $ .
Il problema è che non riesco a comprendere come si possa strutturare un tale spazio topologico; ho pensato di far riferimento al rango delle matrici, che ne dite? Oppure devo dare per assodato che tale spazio topologico esista? In attesa di risposte, ringrazio per la collaborazione.
Provare che l'insieme delle matrici di tipo $ mxn $ sul campo reale si struttura a spazio topologico con una topologia $ T $ .
Il problema è che non riesco a comprendere come si possa strutturare un tale spazio topologico; ho pensato di far riferimento al rango delle matrici, che ne dite? Oppure devo dare per assodato che tale spazio topologico esista? In attesa di risposte, ringrazio per la collaborazione.
Risposte
In realtà è molto semplice 
. La particolare disposizione della matrice però confonde un po’. Il modo in assoluto più semplice per definire lo spazio della matrici come spazio topologico è tramite l'associazione ‘canonica’ con \(\mathbb{R}^{m+n}\). Somma e moltiplicazione, d’altra parte, sono per componenti.
. La particolare disposizione della matrice però confonde un po’. Il modo in assoluto più semplice per definire lo spazio della matrici come spazio topologico è tramite l'associazione ‘canonica’ con \(\mathbb{R}^{m+n}\). Somma e moltiplicazione, d’altra parte, sono per componenti.
In che senso " tramite l'associazione ‘canonica’ con $ RR^(m+n) $ "?
Non è difficile dimostrare che lo spazio vettoriale delle matrici \(M_{m,n}(\mathbb{R}\) è canonicamente isomorfo a \(\mathbb {R}^{mn}\) (occhio alle dimensioni!) semplicemente assegnando ad ogni matrice \(A\) un vettore con tutte le sue componenti.
In effetti, se una matrice la vedi in questo modo, la topologia da metterci sopra è piuttosto evidente.
In effetti, se una matrice la vedi in questo modo, la topologia da metterci sopra è piuttosto evidente.
È come se linearizzassi la matrice, vero?
"Richard_Dedekind":
Non è difficile dimostrare che lo spazio vettoriale delle matrici \(M_{m,n}(\mathbb{R}\) è canonicamente isomorfo a \(\mathbb {R}^{mn}\) (occhio alle dimensioni!) semplicemente assegnando ad ogni matrice \(A\) un vettore con tutte le sue componenti.
In effetti, se una matrice la vedi in questo modo, la topologia da metterci sopra è piuttosto evidente.
Hai ragione. Ho scritto velocemente. Intendevo quello.X Menale: Che intendi per linearizzare!? Questa associazione è il modo canonico in cui si definisce uno spazio vettoriale sullo spazio delle matrici.
Adopero la metrica euclidea a tal punto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo