Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho un dubbio su questo esempio (che come tale può propagarsi ad una classe di possibili casi).
Si tratta del fatto che \(\displaystyle f(u,v) = (u^3,v-u) \) sia un diffeomorfismo. Risulta che f è iniettiva, infatti:
\(\displaystyle f(u_1, v_1) = f(u_2,v_2) \rightarrow (u_1^3, v_1-u_1) = (u_2^3, v_2-u_2) \), da cui banalmente deve essere \(\displaystyle (u_1,v_1)=(u_2,v_2) \) .
Inoltre la matrice jacobiana ha determinante \(\displaystyle 3u^2+1 \), che non si annulla mai in campo reale. ...
Ciao, avrei da trovare gli autovalori di questa matrice simmetrica, che sicuramente li ammette. Però non riesco a scomporre il polinomio caratteristico: suggerimenti? Grazie, ciao!
$((10,-3,-3),(-3,10,-3),(-3,-3,8))$
Ciao a tutti...
Ho da poco ricominciato gli studi, frequentando un CDL in fisica.
Ho deciso così di iscrivermi a questo fantastico forum.
Per farla breve vi espongo subito il mio problema
in R3 ho queste due equazioni x+y+z-1=0 et -2y-z+3=0 di piani, che, messi a sistema mi danno l'intersezione che mi rappresenta la retta "r"
risolvendo il sistema e mettendo "r" in forma parametrica trovo questi parametri x = 2+t ; y = t ; z = 3-2t da cui si nota il passaggio per i punti (2,0,3) e il vettore ...
Salve avevo un paio di dubbi proprio sulle basi dell'algebra lineare. Premetto che ho finito il programma di algebra e ho capito tutto tranne:
1) qual'è la differenza tra mettere vettori in colonna o in riga ? perchè alcune volte gli esercizi vengono svolti mettendoli in colonna (per esempio a partire da equazioni cartesiane) e a vole in riga ? c'è una regola o un motivo ben preciso?
2) Quando ho una base costituita da matrici (premetto di aver letto algebra lineare for dummies) posso vedere ...
Buonasera a tutti!
Ho un problema: a breve avrò una prova sulla teoria di Jordan, però sono parecchio indietro con lo studio... Vorrei chiedervi una cosa:
Supponiamo di avere una matrice $A in M_n(RR)$ la quale ha tutti gli autovalori in $RR$. Perciò sarà triangolarizzabile su $RR$.
Studiando il polinomio minimo e gli autovalori si determina quale sarà la matrice simile $J$ in forma di Jordan. A questo punto nasce il problema. Come si determina la ...
Ciao a tutti. Ho un dubbio riguardo ad un punto fondamentale della geometria da me affrontata (geometria per la laurea in Fisica): data una matrice $A in M_n (RR)$, si possono trovare i suoi autovalori risolvendo l'equazione caratteristica data da $det(A-kI_n)=0$, e da qui si possono determinare gli autospazi relativi ad ogni autovalore $k$. Si può inoltre dimostrare che gli autovalori che generano i diversi spazi sono tra loro linearmente indipendenti e quindi formano una ...
considerando tale sistema
$\{(kx + 2y = 6),(x + y = 3),(x + (k-1)y = 3):}$
e posto K=4 , si ha :
A=$((4,2),(1,1),(1,3))$ e B=$((4,2,6),(1,1,3),(1,3,3))$
il rango di entrambe è uguale a 2 ... $|(4,2),(1,1)|$ e l'unico minore che posso estrarre risulta diverso da zero .
se fin qui il mio ragionamento è corretto , come calcolo le soluzioni ( se il determinante del minore fosse uguale a zero consideravo le equazioni del minore e il gioco è fatto , ma in questo caso ? grazie
Buongiorno a tutti,
un paio di settimane fa ho avuto il primo esonero, e c'è un esercizio che ho sbagliato e non riesco proprio a capire. Spero che possiate aiutarmi nel risolvere questo dubbio.
L'esercizio è il seguente:
"Sia $V=M_3(RR)$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 3 ad elementi reali. Sia
$T:M_3(RR)->M_3(RR)$ l'applicazione lineare definita da $T(A)=B=b_{i,j}$ dove per ogni $j=1,2,3$ si definisce $b_{i,j}=a_{i,1}+a_{i,2}+a_{i,3}$ = somma degli elementi della ...
Buona sera, mi manca l'ultimo esercizio prima dell'esame di domani e sono apposto.
Non riesco a capire una cosa.
L'esercizio dice:
"si consideri il sistema di vettori S(k)=[(-2,-1,2,3),(1,1,0,2),(-3,-2,2,k-1)] in R^4.
1)Per quali valori di k il vettore w=(-1,0,2,5) dipende da S(k)?
2)Se possibile, esprimere w come combinazione dei vettori di S(0).
Allora, per il punto uno mi scrivo la matrice mettendo i vettori in colonna e come ultima colonna metto il vettore w.
Calcolo il determinante per ...
V4(R), sia $varphi$ una applicazione lineare da v4-->v4 definita come:
$varphi$$((1 1 0 0),(0 1 1 0), (0 0 1 1 ),(1 1 1 1 ))$
trovare $ker(varphi)$ ---> ${(x1+x2=0),(x2+x3=0),(x3+x4=0)}$
trovare $Im(varphi)$ ---> Dopo i calcoli mi trovo: $(1 1 0 1)z + (0 1 0 0 )p + (0 0 1 1 )t$ da cui $(z,z+p,t,z+t)$ qusta mi rappresenta la mia Im($varphi$) in versione parametrica, puo andare o bastava riscrivere i 3 vettori ?
trovare un complementare di $Im(varphi)$:
Io qui mi sono riscritto il vettore LD che va via durante ...
Salve a tutti. Mi servirebbero delle definizoni precise di asse, piano e centro di simmetria di un solido. In particolare, mi chiedevo: un cilindro messo in verticale ha un solo asse di simmetria (quello verticale appunto) o ne ha anche altri? In teoria, ad esempio, il cilindro torna nella ua posizione iniziale anche a seguito di una rotazione di 180° attorno ad una asse orizzontale.... insomma, quanti assi di simmetria ha un cilindro? Si può, inoltre, parlare di "centro di simmetria" per un ...
Ciao a tutti !
Ho un dubbio per ciò che riguarda la determinazione di una quadrica.
Quando trovo che il determinante della matrice associata è diverso da zero so che la quadrica è generale e quindi studio il determinante di A* (sul mio libro viene chiamata così,che è la matrice ottenuta togliendo ultima riga e ultima colonna dalla matrice della quadrica).Se il determinante di A* è diverso da zero poi posso avere un ellissoide o un iperboloide.Da qui dovrei studiare la conica impropria ...
Ho due matrici [tex]P, N[/tex] reali simmetriche, una definita positiva e l'altra definita negativa. Posso essere certo che [tex]PN[/tex] è diagonalizzabile?
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Il problema origina da un testo che sto leggendo: ad un certo punto spunta fuori un sistema di equazioni differenziali
[tex]$P \ddot{\mathbf{x}}=N\mathbf{x}[/tex]
dove [tex]P, N[/tex] sono come sopra e in particolare non dipendono dal tempo. L'autore procede con la risoluzione con la sicurezza di trovare un sistema ...
Ciao a tutti.
Poiché ho l'esame di Algebra Lineare a Gennaio, ho iniziato ieri a fare i compiti del mio professore degli scorsi anni. Nonostante io abbia sempre studiato e fatto gli esercizi, c'è un quesito che mi blocca; spero che voi mi possiate aiutare.
Posto \(X= \ x \in R^3 : 3x_1-6x_2-4x_3=0 \) e \(\ Y=Span (3e_1-2e_2+5e_3) \) , determinare la proiezione di \(\ e_2 \) su \(\ X \) rispetto alla decomposizione \(\ R^3= X \oplus Y \)
è proprio quella \(Y \) che mi fa uscire matta. ...
Ciao a tutti... ho un piccolo dubbio, quando faccio questo tipo di esercizio faccio questi passaggi:
Trovo R un generico punto di r
Trovo P il piano ortogonale a s e contenente R
Prendo C un punto qualsiasi di s e calcolo la distanza tra tra C e R
e a questo punto calcolo la sfera avente centro in C e raggio la distanza tra C e R , la interseco con P
Però il ristultato è diverso da qll riportato dal tema d esame, potrebbe essere giusto kmq in quanto esistono piu sfere ke intersecate al piano ...
Nell'immagine ci manca un pezzo : $f_h:RR^2 \to RR^2$
Volevo chiedere innanzitutto se è giusto come la interpreto. $v$ è un vettore (colonna): $((v_1),(v_2))$. Quindi $f_h(v)=((1, h),(h, 1))((v_1),(v_2))+(((h^2-1)v_1),((h^2-1)v_2))$
$= ((h^2, h),(h, h^2)) ((v_1),(v_2)) $
Ma alla fine cosa vuole dire la domanda... Non capisco, mi sembra evidente che è lineare. O forse mi sfugge qualcosa ? Mi potete chiarire questo dubbio ?
Cioè è lineare perchè: $f_h(\lambda v)=\lambda f_h(v)$
Però perchè chiede "per quali valori di $h$" ?
Ciao a tutti!
ho a che fare con una matrice $C$ fatta così: $C=B^-1*A$
- $A$ reale quadrata simmetrica
- $B$ reale quadrata simmetrica e definita positiva. Nota: anche $B^-1$ ha le stesse proprietà
la domanda è: $C$ è diagonalizzabile? O, equivalentemente, ammette una base di autovettori?
Si può vedere che gli autovalori di $C$ sono tutti reali, quindi $C$ è triangolabile e questo è già ...
Ciao a tutti, ho quest esercizio:
"Siano U(k)=L(Sk) e U=L(S) i sottospazi vettoriali di R^4, dove S(k)=[(k,1,-1,0),(2,-2,2,0),(0,0,0,3)] e S=[(1,0,0,1),(-2,0,0,0),(1,1,-1,1)].
Determinare dimU(k); determinare nel caso k=-1, U(-1) $nn$ U e U(-1) + U.
Allora per la prima parte non ci sono problemi, mi scrivo la matrice riduco a scalini e studio un po' il rango al variare di k e con la formula dim=n-r dove n è il numero di variabili, trovo la dimensione.
E' la seconda parte che non ...
Ciao a tutti,
Ho un problema con l'intersezione delle rette; enuncio il testo:
"Fissato un sistema di riferimento RA(O,i,j) nel piano, sia "r" la retta passante per (-1,1) e (0,1) ed "s" la retta passante per (2,2) e (1,0) . Dimostra che "r" ed "s" si intersecano, e trova il punto di intersezione. "
Allora premetto che devo utilizzare la forma parametrica, e poi trovare le coordinate del vettore con estremo nel punto di intersezione delle due rette.
Io ho utilizzato le formule per ...
Salve a tutti è da un pò che ho un enorme problema con questo quesito dato dal professore, e per quanto mi sforzi non riesco a strutturare un procedimento per risol
verlo:
Sono dati tre spazi vettoriali:
$ S={[[x_1],[x_2],[x_3]] in RR^3 | x_1-x_2+x_3 = 0}$;
$ V = { f in text{Lin} (RR^3,RR^2) |text { Imf } sub S}$ ;
$ W = { f in text {Lin} (RR^3,RR^3)| [[1],[-1],[0]]in text {Kerf}}$;
Dimostrare che V e W sono sottospazi di $text{Lin} (V,W)$ . Calcolare e trovare una base per V e W.
Purtroppo tutto ciò che riesco a fare è risolvere l'equazione di S e trovare che i suoui elementi sono $text{Span} ([[1],[1],[0]];[[-1],[0],[1]])$; ma poi non ...
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