Esponenziale di matrici
Domanda:
Siano $A,B\in Mat_{nxn}(\mathbbR)$ tali che $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$ per ogni $t\in\mathbb(R)$; è vero che $A$ e $B$ commutano?
Siano $A,B\in Mat_{nxn}(\mathbbR)$ tali che $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$ per ogni $t\in\mathbb(R)$; è vero che $A$ e $B$ commutano?
Risposte
Mi pare di si. Anzi, mi pare addirittura che basti verificare per \(t=1\). Però non sono sicuro, se trovo un riferimento te lo segnalo.
EDIT E infatti mi sbagliavo. Secondo Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exp ... al_of_sums
\(e^{A+B}=e^Ae^B\) non è sufficiente a garantire che \(A, B\) commutino, se non sotto qualche ipotesi aggiuntiva. Tu però parli di \(e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\) e questa è una richiesta più forte. Non lo so, devo pensarci.
EDIT E infatti mi sbagliavo. Secondo Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exp ... al_of_sums
\(e^{A+B}=e^Ae^B\) non è sufficiente a garantire che \(A, B\) commutino, se non sotto qualche ipotesi aggiuntiva. Tu però parli di \(e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\) e questa è una richiesta più forte. Non lo so, devo pensarci.
Qui http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula si parla della a me sconosciuta formula di Baker-Campbell-Hausdorff che sembra riguardare proprio quello che mi serve, ma anche assumendola nota non mi pare molto immediata la tesi..
Eh ma quella roba là è un casino... No, secondo me la cosa è vera e non è neanche troppo difficile, ad avere gli strumenti giusti dalla teoria delle algebre di Lie. Non lo so, ma ti dico dove cercherei: su Hall, Lie groups, Lie algebras and representation theory, secondo capitolo.
Io ti ringrazio veramente, ma essendo al secondo anno ho sentito parlare ancora troppo vagamente di algebre e gruppi di Lie... vedrò che posso fare!
Ho trovato qualcosa. Lascia stare gruppi e algebre di Lie che sono inessenziali qui. MI dispiace averli tirati in ballo.
Leggo a pagina 441 di Topics in matrix analysis di Horn e Johnson questa traccia di esercizio:
"ale.b":
Domanda:
Siano $A,B\in Mat_{nxn}(\mathbbR)$ tali che $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$ per ogni $t\in\mathbb(R)$; è vero che $A$ e $B$ commutano?
Leggo a pagina 441 di Topics in matrix analysis di Horn e Johnson questa traccia di esercizio:
"Esercizio 17":Pertanto la risposta alla tua domanda è affermativa.
Show that \(e^{(A+B)t}-e^{At}e^{Bt}=(BA-AB)\frac{t^2}{2}+ \text{higher order terms in }t.\) Conclude that there is some \(\varepsilon > 0\) such that \(e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}\) for all \(t \in [0, \varepsilon)\) if and only of \(A\) and \(B\) commute.
@Armando: Quelle dispense sono molto interessanti, ma il problema posto qui da ale.b è più sottile. Il fatto che
\[AB=BA \Rightarrow e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}, \qquad t \in \mathbb{R}\]
di cui si parla nelle dispense ci è noto. La domanda è se valga o meno il viceversa. Come dicevo, secondo Horn e Johnson la risposta è affermativa e trovo che sia una proprietà simpatica.
\[AB=BA \Rightarrow e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}, \qquad t \in \mathbb{R}\]
di cui si parla nelle dispense ci è noto. La domanda è se valga o meno il viceversa. Come dicevo, secondo Horn e Johnson la risposta è affermativa e trovo che sia una proprietà simpatica.
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