Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti ragazzi, mi potete dare una mano con queste domande di teoria in vista del mio esame orale di algebra lineare?
1) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano W1, W2 sottospazi di V . Se B1, B2 sono
basi di W1, W2, rispettivamente, allora B1 ∪ B2 è una base di W1 + W2.
2) Se due sottogruppi del gruppo simmetrico S3 hanno lo stesso ordine, allora sono isomorfi.
3)Se due sottogruppi del gruppo simmetrico S4 hanno lo stesso ordine, allora sono isomorfi.
4) Se {v1, v2, ...
-Sia fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale del piano della geometria
elementare. Determinare:
(i) un vettore parallelo e uno ortogonale a v(2, −5);
(ii) la retta per i punti A(1, −1) e B(2, −1);
(iii) la circonferenza di centro l’origine e tangente alla retta s : x + y = 2.
Non so propri oda dove cominciare se qualcuno magari lo facciamo assieme, con qualche suggerimento per input
Salve,
mi è chiaro il linea generale l'esercizio, ma devo aver sbagliato qualcosa nella risoluzione e non riesco proprio a capire dove...
Chiedo umilmente un vostro parere
Considerata la matrice $A_k=((4-2k^2, 0, k^2-1),(0, 1+k, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2))$ devo
1) Trovare gli autovalori
2) Studiare la diagonalizzabilità al variare di k
(Ci sono anche altre tracce ma per ora mi fermo qui)
Ora:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(4-4k^2, 0, 2k^2-\lambda))$
Riducendo la matrice a scala ottengo:
$A_k-\lambdaI_3=((4-2k^2-\lambda, 0, k^2-1),(0, 1+k-\lambda, 2-2k),(0, 0, (\lambda^2-4\lambda+4)/(4-2k^2-\lambda)))$
da cui
$p(\lambda)=(\lambda-2)(-\lambda^2+(k+3)\lambda+(-2k-2)$
Da $p(\lambda)=0$ ottengo, tramite Ruffini ...
- l'insieme {(...)(...)(...)(...)} è una base dello spazio vettoriale delle matrici di ordine 2 su R? Perché?
Riporto le matrici sotto per questione di ordine:
$ ( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) )( ( 0 , 1 ),( 1 , -3 ) )( ( 0 , -1 ),( -1 , 3 ) )( ( 1 , 1 ),( -1 , -1 ) ) $
Ho risposto negativamente perché calcolandomi il determinante di ognuno esce fuori che l'ultimo ha come determinante zero quindi non rispecchia una delle condizioni sufficienti per essere una base, corretto?
- Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale dello spazio della geometria elementare:
1. rappresenta la retta r dei punti P(1,0,1) e Q (1,2, -1);
2. dire, giustificando la risposta, se la retta r è parallela al piano π: x+y+z-2 = 0;
3. rappresentare la sfera tangente a π in P avente centro sul piano x+y = 0 e calcolarne il centro e raggio.
La prima l'ho svolta, la seconda e la terza mi creano problemi.
Nella 2 dall'equazione che mi da come faccio a stabilire s'è parallela o ...
Mi trovo a sviluppare un piccolo programma che tra le altre cose deve effettuare operazioni con dei punti nello SPAZIO. Visto che è passato del tempo da quando mi cimentavo con queste cose spero qualcuno possa consigliarmi la strada.
Vi illustro sinteticamente cosa dovrei fare parendo da quello che conosco:
1. sistema di riferimento (che chiameremo globale);
2. serie di punti di coordinate note rispetto al sistema globale (che chiameremo P1, P2, ..., Pn);
3. sistema di riferimento con origine ...
Qualcuno potrebbe aiutarmi a fare questo esercizio? Grazieee
Sia V il sottospazio di R4 generato da{(1 0 1 1)T,(2 1 0 −1)T,(1 1 −1 −2)T}.
1) Determinare la dimensione ed una base di V
2) Scrivere le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane di V
3) Determinare una base ortonormale di V ⊥
I primi due punti sono riuscita a farli senza problemi, per il terzo ho delle difficoltà.
Per il punto 2) ho trovato le due equazioni cartesiane \(\ x_1= x_3 +2x_2 ; x_4=x_3- x_2 \)
Ho pensato ...
Ciao ragazzi mi serve il vostro aiuto per capire una cosa. Ho questo esercizio:
ho considerato la matrice associata rispetto la base canonica, ho visto che il rango è 2 quindi la dimensione di Imf è 2 mentre quella del kerf è 1
la base di Imf è quindi quella composta dalle prime due colonne di A.
ora ho calcolato gli autovalori che sono giusto -3, 1, 7 il mio dubbio è relativo alla base per 1 e 7 perchè è la prima volta che in un esercizio mi esce rango=3 e quando imposto ...
salve
devo dimostrare questa formula
$d(P,pi) = (|ax+by+cz+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$
allora considero
il vettore normale del piano $ n = (a,b,c)$
$P(x,y,z)$
un generico punto del piano $P'(x_0,y_0,z_0)$
$PP' = (x-x_0)i + (y-y_0)j+ (z-z_0)k$
$d(P,pi) = ||PP'||cos(theta)$
$d(P,pi) = (||n|| ||PP'||cos(theta))/(||n||)$
$d(P,pi) = (n PP')/(||n||)$
svolgendo il prodotto scalare e definendo $d$
$d(P,pi) = (ax+by+cz+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$
e il valore assoluto? come lo faccio venire fuori ?
grazie
Salve a tutti ragazzi, mi sono da poco iscritto al sito quindi perdonatemi se ci saranno eventuali errori nella scrittura del post.
Detto questo, avrei bisogno di un piccolo aiuto nella risoluzione di questo esercizio:
"Data la matrice $M=((0,1),(1,0))$ e l’applicazione $T : M2,2(R) → M2,2(R)$ definita da $T(X) = MXM$
Scrivi la matrice associata a T rispetto a una base a tua scelta"
Il problema adesso è questo, prima d'ora non ho mai affrontato un esercizio con questo tipo di applicazione però ...
ho un esercizio , volevo sapere se qualcuno gentilmente mi possa dire se è fatto bene e come proseguire ( ovvero lo svolgimento del secondo punto)
La traccia dice: fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta r contenente i punti A(-3,4,1), B (-1,1,0) , la retta s contenente i punti C(-1,-1,0), D(-3,-1,1)
a) Stabilire se le rette r ed s sono complanari e in caso affermativo determinare l'equazione del piano che le contiene ;
allora ho ...
Ciao a tutti,
sono Marco al primo anni di università alla facoltà di Fisica. Per l'esame di algebra mi sto allenando con questo esercizio che però non riesco a svolgere: calcolare le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori del polinomio e poi discutere se la matrice è razionalizzabile.
Il problema è che non so nemmeno come raccogliere il polinomio caratteristico per poi trovare gli zeri! Non è il primo esercizio così che mi capita. Le radici sono da discutere al variare del ...
Un esercizio recita:
- Esistono matrici reali di ordine 3 che hanno un autovalore uguale a zero? Se si scrivere un esempio, altrimenti dire il perché.
Io ho risposto affermativamente facendo l'esempio di una matrice avente la diagonale riempita di zeri come in questo caso:
$ ( ( 0 , 2 , 4 ),( 1 , 0 , 3 ),( 6 , 6 , 0 ) ) $
giusto?
Ciao a tutti! Penso di aver risolto il seguente esercizio d'esame ma sarebbe veramente d'aiuto un vostro riscontro, grazie in anticipo dell'aiuto! Cerco di essere il più chiaro possibile, l'esercizio è il seguente:
Consideriamo un'applicazione lineare $F : RR^2 -> RR^2$ t.c.: $ F[(2),(3)]=[(1),(0)]$ ed $F[(1),(2)]=[(0),(1)]$
(1) Scrivere la matrice $[F]$ di $F$ rispetto alle basi standard.
(2) Scrivere la matrice $[F]^((v_1v_2),(w_1w_2))$ rispetto alla base di partenza ...
L'esercizio recita:
- Sapendo che S è linearmente indipendente e che dimV = t, possiamo dire allora che S è base di V? Perché?
Io ho risposto no perché che sia S linearmente indipendente è condizione necessaria ma non sufficiente. Ho fatto bene? Il dubbio mi viene per colpa della dimV = t che non capisco cosa significhi
salve,
potreste spiegarmi perchè quando si studia la semplicità di un endomorfismo è necessario che la molteplicità geometrica di ogni autovalore corrisponda con quella algebrica?
ho capito che la molteplicità geometrica non è altro che la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore, quindi mi verrebbe da pensare che, se la somma delle molteplicità geometriche è uguale alla dimensione del dominio allora dovrebbe esistere una base di autovettori e quindi l'endomorfismo dovrebbe essere ...
ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio:
L'applicazione lineare T:R^3 -> R^2 è definita da T(x,y,z)=(x-y+z,y-2z).
Scrivere la matrice associata a T utilizzando come base in partenza u1=(1,2,1), u2=(0,1,2) e u3=(1,0,2) (tutti e tre costituiscono una base di R^3) e come base di arrivo v1=(1,2) e v2=(0,1) (tutti e due costituiscono una base di R^2).
Io avevo provato a ragionare calcolandomi la matrice associata ai 2 vettori di arrivo e calcolarmi la sua inversa, poi moltiplicare ...
Ho svolto l'esercizio e volevo sapere se è svolto correttamente.
- Data un'applicazione lineare f:R4 -> R3, (x,y,z,t) -> (x+y, y+z, z-x), scrivere una base kerf (nucleo di f) e una base di Imf(immagine di f).
Per prima cosa mi trovo il rango, poiché trovando il rango trovo anche la dimensione dell'immagine, quindi faccio il sistema:
$ { ( x+y = 0 ),( y + z = 0 ),( z - x = 0 ):} $
poi faccio la matrice associata (i termini noti sono l'ultima colonna):
$ ( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ) ) $
Qui il mio dubbio sta nel fatto che le ...
Salve a tutti! Ho un dubbio per quanto riguarda un esercizio in cui si deve descrivere la posizione di una retta e un piano al variare del un parametro $k$. In particolare nell'esercizio si hanno:
$\pi_k =3x + 2y − kz + 1 = 0$
$r : \{(x = 1 + t),(y = 2 - t),(z = 3t):}$
Sono riuscita a risolvere l'esercizio semplicemente usando una formula che ho trovato nel mio libro di algebra sulla condizione di parallelismo, ma nelle soluzioni agli esercizi il mio professore ha agito in un altro modo che non credo di aver afferato ...
La consegna è:
- Dimostrare che R = ( (-1, 2), (1,2) e un riferimento dello spazio vettoriale R2;
calcolare le coordinate del vettore v = (1; 0) in tale riferimento e scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico.
Non ho idee a riguardo, magari se lo facessimo assieme. P.S. per "riferimento" intende base?
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