Discussioni radici di un polinomio per diagonalizzare un matrice
Ciao a tutti,
sono Marco al primo anni di università alla facoltà di Fisica. Per l'esame di algebra mi sto allenando con questo esercizio che però non riesco a svolgere: calcolare le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori del polinomio e poi discutere se la matrice è razionalizzabile.
Il problema è che non so nemmeno come raccogliere il polinomio caratteristico per poi trovare gli zeri! Non è il primo esercizio così che mi capita. Le radici sono da discutere al variare del parametro reale $t$ e l'incognita è la $x$:
$P(x)= -(t-2)[(-4t-9/8)(t^2+t-x)-(t+7/8)(t)]++(3t-2-x)[(4t+3/4-x)(t^2+t-x)-(t+7/8)(2t)] = 0 $
Se non raccolgo il polinomio non posso neanche partire a calcolare le molteplicità.
Qualcuno può aiutarmi? Gli sarei infinitamente grato.
sono Marco al primo anni di università alla facoltà di Fisica. Per l'esame di algebra mi sto allenando con questo esercizio che però non riesco a svolgere: calcolare le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori del polinomio e poi discutere se la matrice è razionalizzabile.
Il problema è che non so nemmeno come raccogliere il polinomio caratteristico per poi trovare gli zeri! Non è il primo esercizio così che mi capita. Le radici sono da discutere al variare del parametro reale $t$ e l'incognita è la $x$:
$P(x)= -(t-2)[(-4t-9/8)(t^2+t-x)-(t+7/8)(t)]++(3t-2-x)[(4t+3/4-x)(t^2+t-x)-(t+7/8)(2t)] = 0 $
Se non raccolgo il polinomio non posso neanche partire a calcolare le molteplicità.
Qualcuno può aiutarmi? Gli sarei infinitamente grato.
Risposte
ma scusa, prova andare avanti nei calcoli no? non li ho svolti ma se l'esercizio chiede esplicitamente le due molteplicità le potrai pur calcolare.
Sono andato avanti con i calcoli, ma essendoci un parametro non si semplifica niente. Fai conto che già moltiplicando il secondo termine saltano fuori 24 termini e la probabilità di fare un errore è molto alta. Alla fine esce un'equazione di terzo grado con molti termini in cui compaiono molte potenze $t$. 
prova a postare questa soluzione e vediamo se si può fare qualcosa. posta anche l'esercizio che magari ci sono altri metodi
La matrice di partenza è questa:
$((4t+3/4,t-2,2t),(-4t-9/8,3t-2,t),(t+7/8,0,5t^2+t))$
Scritta così: $((4t+3/4-x,t-2,2t),(-4t-9/8,3t-2-x,t),(t+7/8,0,5t^2+t-x))$
Ho calcolato il $P(x)$ con Laplace ed è venuto quello che ho postato all'inizio.
Facendo i calcoli come mi hai chiesto risulta:
$x^3+11/4x^2+x^2t^2+2x^2t-7xt^3-79/4xt^2+125/8xt+11/4x+16t^4-13/8t^3-75/4t^2-2t = 0$
Evidenziando nei gradi dell'incognita è:
$x^3+(t^2+2t+11/4)x^2+(-7t^3-79/4t^2+125/8t+11/4)x+16t^4-13/8t^3-75/4t^2-2t = 0$
Grazie ancora
$((4t+3/4,t-2,2t),(-4t-9/8,3t-2,t),(t+7/8,0,5t^2+t))$
Scritta così: $((4t+3/4-x,t-2,2t),(-4t-9/8,3t-2-x,t),(t+7/8,0,5t^2+t-x))$
Ho calcolato il $P(x)$ con Laplace ed è venuto quello che ho postato all'inizio.
Facendo i calcoli come mi hai chiesto risulta:
$x^3+11/4x^2+x^2t^2+2x^2t-7xt^3-79/4xt^2+125/8xt+11/4x+16t^4-13/8t^3-75/4t^2-2t = 0$
Evidenziando nei gradi dell'incognita è:
$x^3+(t^2+2t+11/4)x^2+(-7t^3-79/4t^2+125/8t+11/4)x+16t^4-13/8t^3-75/4t^2-2t = 0$
Grazie ancora
mi spiace ma in effetti mi blocco anche io qui a questo punto. non mi sembra ci siano modi per trovare gli autovalori.
Grazie lo stesso 
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