Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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salve a tutti
ho bisogno di una dritta per completare il seguente esercizio:
mi viene assegnata una matrice:
$ A=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $
l'esercizio richiede di verificare se i vettori (6,11,8) , (0,0,0), (6,0,3) sono autovettori della matrice.
io ho calcolato prima di tutto gli autovalori:
ottengo $ -lambda^3+8lambda+3 $
scompongo il polinomio ed ottengo:
$ -lambda^2-3lambda-1 $
cambio di segno:
$ lambda^2+3lambda+1 $
a questo punto calcolando ...
Ciao a tutti, nel tema di esame corretto che ci ha fornito il professore, la domanda è:
Stabilire se esiste una funzione lineare f : R3 →R3 tale che f(1,1,1) = (1,2,0), f(1,2,0) = (1,1,1), f(2,1,4) = (0,1,−1).
Tale f è unica?
La risposta alla domanda è la seguente:
i vettori dati (1,1,1),(1,2,0),(2,1,4) sono una base v: l’applicazione esiste ed è unica.
Conoscendo la definizione di applicazione lineare mi è sorto un dubbio cioè se sia davvero sufficiente dimostrare semplicemente che i tre ...
salve,
ho trovato in rete questo esercizio sulla forma di jordan.
Ho la seguente matrice
$ ( ( -3, 1 ,-1 ),( -7 ,5 ,-1 ),( -6 , 6 ,-2 ) ) $
i cui autovalori sono 4 con moltepl. algebrica 1 e -2 con moltepl. algebrica 2.
Ma se vado a calcolare le mg ottengo 2 per l'autovalore 4 e 2 per l'autovalore 1.
Essendo un esercizio su jordan non mi aspettavo che ma=mg ma di certo non mi aspettavo che per un autovalore la mg potesse essere maggiore della ma.... come mai?
grazie
Salve, apro questo topic perchè mi servirebbe conoscere tutti i vari metodi che conoscete per trovare la retta tangente a una qualsiasi conica in un qualsiasi punto.
Nel mio caso ho l'equazione dell'iperbole:
$ c: xy-y^2-y+4=0 $
E il Punto $ A=(1,2) $
Io ricordavo che c'era una formula come questa, usabile dopo aver trasformato la conica in coordinate omogenee e scritta la matrice associata ad essa.
$ r: (a_11 x_0 + a_12 y_0 +a_13) (x-x_0) + (a_21 x_0 + a_22 y_0 + a_23)(y-y_0) $
Tuttavia essa non mi da una retta tangente alla conica ma solo ...
Salve a tutti, non capisco come si calcola il determinante. Ho capito cosa fare ma praticamente non riesco. $ ( ( 1 , k , - 2, 0),( 0, - k, - 1, - 1),( 1, - k, 0 , - 1),( 0, 1, k, k) ) $.
Conosco il risultato che é det(A) =3(1-k^2)=0 se e solo se k= 1 o k=-1.
Non capisco i passaggi, qualcuno me li può spiegare? Grazie in anticipo
salve!
sia $g : R^3->R^3$ l'unico endomorfismo tale che:
$<(1,1,0),(0,1,1)>$e’ un autospazio per $g$.
$(1,0,1)$ e’ un autovettore per $g$.
$g(2,2,2) = (2,−4,2)$.
determinare g
qualche idea?
thanks
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio, sia:
Sia W {p(x) ∈ R3[x]|p(2) = 0} .
Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W `e
un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini la
dimensione.
Sapete spiegarmi il procedimento? Grazie in anticipo!
Salve, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si consideri su R^2 la topologia euclidea e sia X = {(x,y)| y>x}
si dica se
(1) X è omeomorfo a R^2
(2) La chiusura di X è omeomorfa a Y= {(x,y)| |y|>=|x|}
Per quanto riguarda il punto (2) ho osservato che la chiusura di X meno un punto è ancora connesso mentre Y privato del punto (0,0) è unione di due aperti non vuoti disgiunti quindi non è connesso. Dunque ragionando per assurdo si deduce che la chiusura di X non è omeomorfa a Y.
Ho dei ...
ciao!
sono nuovo qui
ho un dubbio riguardo gli endomorfismi , spero potrete aiutarmi
se ho ad esempio
$f: R^3->R^3$ questo è un endomorfismo.
$f: R^3->R^4$ non è un endomorfismo
$f: R^3->R^2$ questo è un endomorfismo?
la definizione di endomorfismo è:
Sia $X$ un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione $T$ tale che $T:X->X$
ho questo dubbio in quanto ho letto un esercizio d'esame in cui mi si chiede: dato un ...
Salve, sto provando a risolvere un esercizio ma non ne vengo a capo..
Abbiamo un sistema di riferimento cartesiano $ RC(O,i,j,k) $ , abbiamo due rette
$r:\{(x=7+5t),(y=-t),(z=t):}$ $s:\{(x=t'),(y=-3+3t'),(z=2+t'):}$
1. Verificare che r e s siano sghembe
2. Determinare la retta di minima distanza tra r e s
3. Determinare la sfera di raggio minimo tangente sia a r che a s (Questo lo provo da solo in seguito..)
-1.
I parametri direttori sono:
$ r: (l,m,n) ~ (5,-1,1) $
$ s: (l',m',n') ~ (1,3,1) $
Non essendo proporzionali allora ...
Ciao, ragazzi ho un problema a rispondere al primo punto, e quindi anche al secondo, di questo esercizio (la prima parte ovviamente tutto ok):
Ho fatto tanti esercizi sugli spazi vettoriali (con vettori numerici), basi sottospazi ecc... ma ora che ho vettori geometrici non riesco a dare una risposta, potete aiutarmi a capire come devo ragionare su domande del genere?
sono ancora qui
ho un dubbio su questa definizione :
$f^−1(V) = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | f(x, y, z, t) ∈ V}$
non riesco proprio a concepirla
non dovrebbe essere tipo così?
$f^-1(V) = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | f^-1(x, y, z, t) ∈ V}$
Il testo dell'esercizio è:
Trovare un sottoinsieme di $u1, u2, u3, u4 $ che sia base per $ W =<u1, u2, u3, u4> $ dove:
$ u1 =( 1, -2, 1, 3, -1)$
$ u2 =(-2, 4, -2, -6, 2)$
$ u3 =(1, -3, 1, 2, 1)$
$ u4 =(3, -7, 3, 8, -1) $
Svolgimento:
Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$, quindi, anche se le colonne sono 5, il massimo che otterrò sarà di dimensione $<= 4 $
$ [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( -2 , 4 , -2 , -6 , 2 ),( 1 , -3 , 1 , 2 , 1 ),( 3 , -7 , 3 , 8 , -1 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $
Ne deduco che $u1$ e $u3$ sono linearmente indipendenti e che $u2$ e ...
Salve a tutti..
ho un dubbio enorme e tra poco ho l'esame . Spero qualcuno possa aiutarmi...
ecco l' esercizio:
Sia f : R2 → R3, ove f(x,y) = (x + y, x − 2y, x).
Determinare MB,B'(f), dove B = {(1,1),(0,−1)} e B' = {(1,1,1),(1,−2,0),(0,0,1)}.
avevo impostato l'esercizio così:
f(1,1)=(2,-1,1)= a (1,1,0) + b(1,-2,0) + c (0,0,1)
f(0,-1)=(-1,2,0) =a'(1,1,0) + b(1,-2,0) +c'(0,0,1)
inserendo poi le incognite nelle colonne della matrice
ho trovato un esempio sul libro che svolgeva ...
Salve ho una matrice
$ ((0,-1,2) , (1,0,1) , (-2,-1,0)) $
E chiede di trovare una base ortogonale all’immagine:
Allora ho ridotto in scala la matrice
$ ((1,0,1) , (0,-1,2) , (0,0,0)) $
Le basi dell’immagine sono le prime due colonne della matrice iniziale?????
Cioè f: $ ((0,1,2)) $
E e: $ ((-1,0,-1)) $
Perché sono le colonne dove nella matrice in scala compaiono i pivot
Giusto?
Però il risultato della base ortogonale sono le colonne:
$ ((1,0,1)) $ e $ ((1,1,-1)) $
Per trovare la base ortogonale si trova
C=λe + ...
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio dove faccio fatica ad interpretarne i risultati
Nello spazio vettoriale $K^4$, considerare i vettori:
$u_1=((1),(-1),(1),(1)); u_2=((0),(0),(1),(0)); u_3=((0),(alpha),(-1),(0)); w=((k^2),(0),(0),(-1))$
con $k, alpha in K$.
1) Nel caso $K=RR$, determinare gli eventuali valori di $alpha$ e $k$ per cui $w in <u_1,u_2,u_3>$.
2) Nel caso $K=CC$, determinare gli eventuali valori di $alpha$ e $k$ per cui $w in <u_1,u_2,u_3>$.
Verifico per quali ...
Salve a tutti
Non mi è chiaro come trovate una base ortogonale dell’immagine e del nucleo avendo una matrice
Qualcuno può spiegarmi questo con alcuni esempi
viewtopic.php?f=37&t=189743
Questa era un esercizio che non riuscivo a fare proprio perché chiedeva base ORTOGONALE all’immagine
Grazie a chi mi aiuterà
Ciao ragazzi, come dal titolo ho un esercizio di cui mi si chiede di verificare (nello spazio) che l'asse y sia incidente la retta di equazione:
$\{(x = 2t),(y = 1 - 2t),(z = 3t):}$
di determinare il piano che li contiene (e fin qui tutto ok), poi mi chiede di ricavare una retta ortogonale e complanare entrambe.
Qui ho dei problemi, la immagino passante per l'intersezione, che ho calcolato ma, come si impone che sia contemporaneamente ortogonale e complanare?
Ciao a tutti! Ho un esercizio d'esame che penso di aver risolto, ma non ne sono sicuro quindi un vostro parere sarebbe molto d'aiuto.
Sia $F$ un campo consideriamo l'app. lineare $T: F^3rarrF^3$ che nella base standard è data da:
$( ( 6 , -1 , 4 ),( -1 , 5 , -1 ),( 1 , -1 , 3 ) ) $
Scrivere, se esiste, un vettore non nullo che appartiene a $Ker T nn Imm T$ rispettivamente con $F=RR$ ed $F=ZZ_3$
Io ho svolto l'esercizio in questa maniera:
$RR$ - Ho calcolato ...
Sera a tutti,
Ho studiato la teoria e ho fatto alcuni esercizi e mi pareva tornare. A un certo punto incontro una matrice del genere
$H=((0,-sinx),(0,cosx),(1,0))$ con x tra 0 e 2 pigreco
e chiede per quali valori x il rango sia 2..
Io ho studiato in questo modo:
Ho preso due minori
-1-
$H=((0,-sinx),(0,cosx))$ ho studiato quando si annulla il coseno e si ha per $pi/2+kpi$ e quando assume i valori del tipo
$pi/2$ il minore si riduce a
$H=((0,-1),(0,0))$ che ha determinante 2
-2- Il secondo ...
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