Aiuto su basi di autospazi (endomorfismo)
Ciao ragazzi mi serve il vostro aiuto per capire una cosa. Ho questo esercizio:
ho considerato la matrice associata rispetto la base canonica, ho visto che il rango è 2 quindi la dimensione di Imf è 2 mentre quella del kerf è 1
la base di Imf è quindi quella composta dalle prime due colonne di A.
ora ho calcolato gli autovalori che sono giusto -3, 1, 7 il mio dubbio è relativo alla base per 1 e 7 perchè è la prima volta che in un esercizio mi esce rango=3 e quando imposto il sistema quello ha soluzione (0,0,0), perchè avrei una matrice di tale tipo:
$((-4,0,0),(0,0,7),(0,1,6))$
rango massimo e quindi per calcolare gli autovettori avrei un sistema:
$\{(-4x1=0),(7x3=0),(x2+6x3=0):}$
che cosa vuol dire avere un sistema di questo tipo in tale caso? sicuro la matrice non è diagonalizzabile perchè le molteplicità non combaciano, ma proprio in termini di base vorrei capire perchè se la soluzione è il vettore nullo, non dovrebbe esistere una base in quanto il vettore nullo per definizione è linearmente dipendente e non generatore.
Poi c'è la seconda domanda, mi potete aiutare nella risposta?
ho considerato la matrice associata rispetto la base canonica, ho visto che il rango è 2 quindi la dimensione di Imf è 2 mentre quella del kerf è 1
la base di Imf è quindi quella composta dalle prime due colonne di A.
ora ho calcolato gli autovalori che sono giusto -3, 1, 7 il mio dubbio è relativo alla base per 1 e 7 perchè è la prima volta che in un esercizio mi esce rango=3 e quando imposto il sistema quello ha soluzione (0,0,0), perchè avrei una matrice di tale tipo:
$((-4,0,0),(0,0,7),(0,1,6))$
rango massimo e quindi per calcolare gli autovettori avrei un sistema:
$\{(-4x1=0),(7x3=0),(x2+6x3=0):}$
che cosa vuol dire avere un sistema di questo tipo in tale caso? sicuro la matrice non è diagonalizzabile perchè le molteplicità non combaciano, ma proprio in termini di base vorrei capire perchè se la soluzione è il vettore nullo, non dovrebbe esistere una base in quanto il vettore nullo per definizione è linearmente dipendente e non generatore.
Poi c'è la seconda domanda, mi potete aiutare nella risposta?
Risposte
"Valery Beauchamp":
ora ho calcolato gli autovalori che sono giusto -3, 1, 7
a me escono 0,-3,8. non dovrebbe uscire per questo motivo.
per la seconda domanda ricorda che due spazi vettoriali finitamente generati sono tra loro isomorfi se hanno la stessa dimensione.
mannaggia a me, hai ragione, quindi è un caso impossibile quello che mi era uscito fuori XD
per la seconda domanda quindi vedo la dimensione delle varie basi calcolate e vedo quando non sono isomorfe, cioè quando non hanno la stessa dimensione.
ad occhio secondo me non esiste, perchè l'unico che ho calcolato bene di base oltre all'immagine è quella per -3 e che ha dim=1 mentre Imf ha dimensione 2 quindi da U io per avere anche solo in questi casi il non omomorfismo dovrei avere o dimensione 0 o maggiore di 2, ma dato che dim=0 lo ha solo il sottospazio nullo e non è questo il caso e la dimU=2 e un sottospazio di dimensione maggiore di dimU non è sottospazio allora non dovrebbe esistere, giusto?
per la seconda domanda quindi vedo la dimensione delle varie basi calcolate e vedo quando non sono isomorfe, cioè quando non hanno la stessa dimensione.
ad occhio secondo me non esiste, perchè l'unico che ho calcolato bene di base oltre all'immagine è quella per -3 e che ha dim=1 mentre Imf ha dimensione 2 quindi da U io per avere anche solo in questi casi il non omomorfismo dovrei avere o dimensione 0 o maggiore di 2, ma dato che dim=0 lo ha solo il sottospazio nullo e non è questo il caso e la dimU=2 e un sottospazio di dimensione maggiore di dimU non è sottospazio allora non dovrebbe esistere, giusto?
non ho molto capito cosa vuoi fare. che dimensione ha U? è uguale a quella dell'immagine o di qualche autospazio? sì allora i due spazi (immagine ed U oppure autospazio ed U) sono isomorfi
Allora mi spiego meglio (spero), io devo confrontare le dimensioni, se sono uguali sono isomorfi, se sono diversi non lo sono. Fin qui tutto ok.
Visto che a me serve un sottospazio NON isomorfo nè all'Imf nè alle basi io credo che non dovrebbe esistere perchè per non essere isomorfo dovrei avere una dimensione del sottospazio che sia diversa da 2 e da 1.
Ma per essere sottospazio di U e di dimensione diversa da 1 e 2 dovrei avere il polinomio nullo, no?
Edit: stavo riflettendo su una cosa, in generale con vettori numerici noi possiamo avere il sottospazio con vettore nullo di dim=0 con il vettore che non è generatore e nemmeno linearmente indipendente, con i polinomi il ragionamento è lo stesso?
Il polinomio nullo può essere considerato come sottospazio di U? Xchè se è così allora come unico caso di NON isomorfismo potrebbe essere quello, altrimenti nessuno.
Visto che a me serve un sottospazio NON isomorfo nè all'Imf nè alle basi io credo che non dovrebbe esistere perchè per non essere isomorfo dovrei avere una dimensione del sottospazio che sia diversa da 2 e da 1.
Ma per essere sottospazio di U e di dimensione diversa da 1 e 2 dovrei avere il polinomio nullo, no?
Edit: stavo riflettendo su una cosa, in generale con vettori numerici noi possiamo avere il sottospazio con vettore nullo di dim=0 con il vettore che non è generatore e nemmeno linearmente indipendente, con i polinomi il ragionamento è lo stesso?
Il polinomio nullo può essere considerato come sottospazio di U? Xchè se è così allora come unico caso di NON isomorfismo potrebbe essere quello, altrimenti nessuno.
non capisco a cosa serva tutto questo ragionamento. oltretutto quando non sai la dimensione di U. Per risolvere l'esercizio calcola la dimensione di U (magari con l'isomorfismo tra lo spazio dei polinomi ed i reali), calcola le dimensioni dell'immagine e degli autospazi e vedi quando sono diverse. in quei casi non sono isomorfi. il succo è che devi calcolare la dimensione di U per poter fare dei ragionamenti.
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