Geometria e Algebra Lineare

Salve a tutti! Ho un dubbio per quanto riguarda un esercizio in cui si deve descrivere la posizione di una retta e un piano al variare del un parametro $k$. In particolare nell'esercizio si hanno: $\pi_k =3x + 2y − kz + 1 = 0$ $r : \{(x = 1 + t),(y = 2 - t),(z = 3t):}$ Sono riuscita a risolvere l'esercizio semplicemente usando una formula che ho trovato nel mio libro di algebra sulla condizione di parallelismo, ma nelle soluzioni agli esercizi il mio professore ha agito in un altro modo che non credo di aver afferato ...

La consegna è: - Dimostrare che R = ( (-1, 2), (1,2) e un riferimento dello spazio vettoriale R2; calcolare le coordinate del vettore v = (1; 0) in tale riferimento e scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico. Non ho idee a riguardo, magari se lo facessimo assieme. P.S. per "riferimento" intende base?

Salve a tutti se io ho una matrice come faccio a capire se è linearmente dipendente o indipendente? Grazie in anticipo

salve ragazzi! Stavo cercando di risolvere un vecchio tema d'esame d'esame del mio corso quando mi viene fatta una richiesta che non riesco a sbrigliare. Sia $T$ l'operatore definito $T(x,y,z)=(z,-x,-y) $, determinare una base ortonormale dello spazio tridimensionale alla quale la matrice associata a $T$ è in forma canonica. La mia idea (probabilmente sbagliata) sarebbe quella di trovare la matrice associata a $T$ nella base canonica, successivamente ...

Salve, l'esercizio in questione mi chiede se i due sottospazi $U = {((x), (y), (z)) in RR^3: x − 8z = 0}$ e $W = Span(3t+1, 3+t, 2t-2) sube RR_3[t]$ hanno stessa dimensione. Dovrebbe essere una cavolata ma mi è sorto un dubbio. In linea teorica dovrebbe essere chiaro che $dim(U)=1$, mentre al secondo sottospazio possiamo associare la matrice $M_W=((1, 3, -2), (3, 1, 2), (0, 0, 0))$ che ridotta a scala ci mostra come $dim(W)=2$, infatti $M_W=((1, 3, -2), (0, -8, 8), (0, 0, 0))$. Il fatto è che, oltre a sembrarmi una soluzione troppo semplice, parliamo due sottospazi diversi, ...

Qualcuno mi sa aiutare a risolvere questo esercizio ? Determinare la parabola che ha vertice $V (1,0)$, asse di simmetria $x-y-1=0$ E passante per il punti $A (4,1)$. Grazie

Buongiono a tutti ragazzi. Sto avendo difficoltà con semplici domande teorici a cui non ne vengo a capo. In questi due esercizi mi si chiede di capire qual è l'applicazione lineare. 1. Nella prima rispondo che non sono applicazioni lineari perché non rispondono alle caratteristiche: si dice applicazione lineare se f(v+v') = f(v) + f(v') con v e v' appartenenti ad uno spazio , ed f(av) = af(v) con a e v appartenenti a spazi diversi. Ho detto bene? 2. Basandosi con lo stesso ragionamento mi ...

Siano k un numero reale, $W ⊂ R^4$ il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo ${ ( x+2y-z=0 ),( z+x=0 ):}$ e $Uk ⊂ R^4$il sottospazio vettoriale Uk =< (1, 1, 0, 2), (−1, 0, −1, 1), (k, 3, −1, 7) > . (a) Determinare una base di W ed una di Uk. (b) Determinare le dimensioni di Uk + W e di Uk ∩ W. nel punto (a) trovo come base W{(-1,1,1,0),(0,0,0,1)}e dim(w)=2 UK{(1,1,0,2),(-1,0,-1,1),(-k,3,-1,7)} metto in matrice $ {: ( 1 , 1 , 0 , 2 ),(-1 , 0 , -1 , 1 ),( k , 3 , -1 , 7 ),( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) :} $ ed ho che il det=3 che è ...

buongiorno sto svolgendo un esercizio dove devo calcolare il polinomio caratteristico. (il prof sembra che applica 2 volte Lapace) $ ( ( 1-T , 0 , (-1-k) , -1 ),( 0 , 1-T , -k , 0 ),( 0 , 0 , 1+K-T , 1 ),( 0 , 0 , -1+K , k-T ) ) $ .Applicando 2 volte ho : $ (1-T)| ( (1+k-T , 1 ),( -1+K , k-T ) | $ ma non viene dove sbaglio grazie in anticipo

Buonasera, ho qualche problema con lo spazio duale. Avevo postato tempo fa una discussione ma non so perche' non posso piu' modificarla. Ho studiato una proposizione secondo cui, $V$ e $V*$ sono in biiezione avendo stessa dimensione n. Per dimostrarla prendo una base di $V$, questa base ha ovviamente dimensione n, allora basta costruire una base di $V*$ che abbia dimensione n per ottenere l'isomorfismo. La base va costruita e successivamente ...

Salve a tutti. Sono uno studente universitario, ho problemi nel comprendere il calcolo per ottenere gli autospazi. Mi potete spiegare passo per passo il procedimento per favore? Se é possibile ogni minima operazione da fare. Ho letto su tutto internet, ma non ho ancora capito. Vi posto un esempio che ho sul libro: Il sistema: x-y=0, 2x-2y=0, 2x-y-z=0 Come fa ad ottenere come soluzione (y, y, y)?

buongiorno a tutti:) sto trasformando questo sistema da cartesiano a parametrica ma non mi viene, non capisco dove sbaglio. $ { ( x+y+z=1 ),( -x+y=1):} $ posto$z=u$ $ { ( x+y=-u+1 ),( -x+y=1 ),( Z=u ):} $ $ { ( x+y=-u+1 ),( +y=1+x ),( Z=u ):} $ ->$y=(2+u)/2$ continuo nella sostituzione ed ottengo $ { ( x=0 ),( +y=1 ),( Z= ):} $ ma il risultato dovrebbe essere $ { ( x=-1/2 ),( +y=1-1/2u ),( Z=u ):} $ , inoltre non capisco perchè la giacitura la scrive come $<-1/2e_1-1/2e_2+e_3> ( non capisco perchè mettono le basi$ e_1,e_2,e_3$ grazie in anticipo.

Salve ragazzi, so che un prodotto scalare, per essere tale, deve essere 1) Bilineare: $<v_1+v_2,w> = <v_1,w>+<v_2,w>$ $<v,w_1+w_2> = <v,w_1>+<v,w_2>$ 2) Simmetrico: $<v,w> = <w,v>$ Ma se io ho i vettori, ad esempio, nella forma: $<v,w> = 2v_1w_1+2v_1w_4+2v_4w_1-v_2w_3-v_3w_2+2v_4w_4$ Come devo procedere per la verifica? Grazie in anticipo!

Buongiorno devi calcolare la molteplicità geometrica e algebrica ma non ho capito come si fa. ( t-k) (t) (t^2-t+k+2) sono riuscita a dire per t-k=0 quinti per t=K è 0 per k=0.,ora non so prorio cke fare il mio libro non fa esempi non riesco a calcolarlo. Chi mi aiuta? Grazie in anticipo

salve, ho un po' di confusione in mente, credo di aver capito benissimo come funziona il prodotto riga per colonna e perchè funzioni cosi, in particolare: se ho una matrice di cambiamento di base dalla base $A$ alla base $B$ (cioè una matrice che contiene nelle colonne i vettori della base $A$ scritti rispetto alla base $B$) allora mettendo a destra di questa matrice un vettore in base $A$ e facendo la moltiplicazione mi ...

Buonasera a tutti, sto studiando il capitolo di algebra relativo a sottospazi/basi/dimensione e mi sono imbattuto in questa definizione, data dal mio prof: "Sia $\vec u in RR$, con $\vec u!=\vec 0$. Allora il sottospazio vettoriale $V=\vec (u^(\bot))={\vec v in RR^n:\vec u*\vec v=0}$ ha dimensione pari a $n-1$". Qualcuno mi potrebbe dire come si legge la parte $V=\vec u^(\bot)$ e soprattutto, cosa sta a significare? So che dalla dicitura $\vec u*\vec v=0$ si evince che i due vettori $\vec u$ e ...

Salve, nell'ambito del capitolo su spazi metrici e topologici di "Analisi Matematica" di G. Prodi, sto cercando di formulare la definizione di punto aderente (e punto interno) ad un sottoinsieme di $\mathbb R$, rispetto ad una base della sua topologia subordinata, e magari di estenderla al caso degli spazi metrici. Siano allora $C \subset T \subset \mathbb{R}$, $x in E = \mathbb{R}$. Sia $\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}} = {[x-\epsilon, x+\epsilon]:\epsilon \in \mathbb{R}_{\gt 0}\}$[nota]La definizione di intorno data nel testo è "insieme contenente una palla chiusa di centro ...

Nello spazio, siano date le due rette r: x= 1+t ; y= 1-t ; z=3 e s: x+y-1=0; x-y+z=0. 1) Provare che sono sghembe: 2) Trovare il piano contenente r e parallelo ad s 3) Trovare il piano parallelo ad r e s ed a loro equidistante. Ho provato che sono sghembe e ho anche trovato l'equazione del piano richiesta nel punto 2, che è : x+y-3=0 (spero sia giusta). A questo punto però non riesco a trovare il piano equidistante e parallelo alle rette. Ho trovato il vettore direttivo del piano imponendo la ...

Sia $ R_2(x)={a_0+a_1x+a_2x^2,a_iin R} $ lo spazio costituito dai polinomi di grado al più 2 e dal polinomio nullo. Sia inoltre $ L:R_2(x)->R^2 $ l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice $ A= ( ( 1 , 2 , -1 ),( -2 , -4 , 2 ) ) $ rispetto alle basi ordinate $ B={1,x,x^2} $ di $ R_2(x) $ e $ B'={(1,5),(0,1)} $ di $ R^2 $ . Devo trovarne dimensione e una base dell' immagine e trovarne $ L(x^2) $

Salve a tutti, avrei un quesito da chiedere. Stavo affrontando tale esercizio determinando quelli che sono gli autovalori; ovvero 2 con m.a.=1, 1 con m.a.=1, 0 con m.a.=1. Ho determinato in oltre che la F è diagonalizzabile. Però giunto all'ultima domanda sono entrato in difficoltà. La domanda chiede, Determinare gli autospazi di f ed una base per ciascuno di essi. Come devo Fareee?? Grazie Mille anticipate per la Risposta.