Molteplicità algebrica

[giovx24]

salve,
potreste spiegarmi perchè quando si studia la semplicità di un endomorfismo è necessario che la molteplicità geometrica di ogni autovalore corrisponda con quella algebrica?

ho capito che la molteplicità geometrica non è altro che la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore, quindi mi verrebbe da pensare che, se la somma delle molteplicità geometriche è uguale alla dimensione del dominio allora dovrebbe esistere una base di autovettori e quindi l'endomorfismo dovrebbe essere diagonalizzabile.

grazie

[cooper1]

Non è necessario che siano uguali. Le due molteplicità (algebrica e geometrica) possono essere uguali oppure no. Se lo sono per ogni autovalore allora l'endomorfismo è diagonalizzabile

[giovx24]

grazie

perchè?

[cooper1]

C'è un teorema che lo afferma. Se vuoi dopo quando ho un po' di tempo ti posso scrivere una dimostrazione

[giovx24]

ma dire che un endomorfismo è semplice, è diverso dal dire che è diagonalizzabile?

[cooper1]

non avevo mai sentito questo termine prima. cercando ho trovato che un endomorfismo semplice è per definizione un endomorfismo diagonalizzabile, quindi no non c'è differenza. ma per dire che è semplice devi dimostrare che è diagonalizzabile. nel modo consueto.

[giovx24]

confusione ahah
allora se la molteplicità algebrica non corrisponde con quella geometrica, vuol dire che quello che ho trovato in realtà non è un autovalore? o cosa?

[cooper1]

no, semplicemente se le due molteplicità non sono uguali l'endomorfismo non è diagonalizzabile (dunque non è semplice).

[giovx24]

dunque lo span degli autovettori non è pari al dominio?

[giovx24]

"cooper":no, semplicemente se le due molteplicità non sono uguali l'endomorfismo non è diagonalizzabile (dunque non è semplice).

non è che potresti dimostrarmelo?

[cooper1]

questa dovrebbe fare al caso tuo.

[giovx24]

"mistake89":Ok, ti riporto il tutto sperando di non commettere errori

Lemma: $f in End(V)$ e sia $Sp(f)={lamda_1,...,lambda_k}$
Allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se $dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)=n$

Dimostrazione: Sia $f$ diagonalizzabile, allora esiste un base $B$ si $V$ formata da autovettori di $f$. Sia $B'={v'_1,...,v'_n}$
Supponiamo per assurdo che sia $s=dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k) Cioè $B_1 uu B_2uu...uuB_k={v_1,...,v_(r_1),v_(r_1+1),...,v_(r_1+r_2),...,v_s}$ sia formato da $s$ vettori linearmente indipendenti, ma risulti $s Per il teorema di completamente di una base, esistono $n-s$ vettori di $B'$, $v'_(s+1)...v'_n$ tali che $B_1uu...B_k uu {v'_(s+1),...,v'_(n)}$ formano una base di $V$.
$v'_(s+1)$ è un autovettore di $f$ cioè esiste $i in {1,...,k}$ tale che $lambda_i$ è autovalore di $v'_(s+1)$
Allora $v'_(s+1)inV_(lambda_i)$ cioè $v'_(s+1)$ è combinazione lineare degli elementi di $B_i$, da cui $B_i uu {v'_(s+1)}$ è legato. Ma $B_i uu {v'_(s+1)} sub B_1 uu...uuB_k uu {v'_(s+1),...,v'_n}$, ma ciò è assurdo. Quindi necessariamente $s=n$

Sia ora $s=n$ e $s=|B_1 uu B_2 uu...uuB_k|=n$ cioè $B_1 uu... uu B_k$ è una base di autovettori di $f$ di $V$, pertanto $f$ è diagonalizzabile

Proposizione: $f$ è diagonalizzabile se e solo se $P_f(Lambda)$ è interamente scomponibile in $K$ e per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono.

Dimostrazione
Una implicazione l'abbiamo già vista, l'altra ti propongo quella che conosco io, che è molto semplice.

Siano $h(lambda_i)$ le molteplicità algebriche degli autovalori $lambda_i$. Allora sappiamo che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$. Ma per ogni $i in{1,...,k} : dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$. Allora $dimV_(lambda_1)+...dimV_(lambda_k)=n$ e per il lemma $f$ è diagonalizzabile.

dunque
se $dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)=n$ Allora $f$ è diagonalizzabile
$f$ è diagonalizzabile allora per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono.

quindi i due casi coincidono?

ovvero
se $dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)=n$ allora molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono.


Siano $h(lambda_i)$ le molteplicità algebriche degli autovalori $lambda_i$. Allora sappiamo che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$

questo perchè?
grazie

[cooper1]

è possibile mostrare che le tre affermazioni sono tra loro equivalenti.

"giovx24":Siano h(λi) le molteplicità algebriche degli autovalori λi. Allora sappiamo che h(λ1)+...+h(λk)=n

questo perchè?

stiamo cercando di dimostrare l'implicazione contraria e dunque per ipotesi sappiamo che le due molteplicità coincidono. scriverle per l'una o per l'altra non cambia

[giovx24]

capito grazie,
invece riguardo alla dimostrazione che la molteplicità geometrica è sempre minore di quella algebrica?

[cooper1]

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