Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dunque, parlando degli spazi vettoriali Rn , sappiamo benissimo che un insieme di vettori è un sistema di generatori di Rn se qualunque vettore dI tale spazio può essere scritto come combinazione lineare dei vettori dell'insieme dato. Ma la stessa definizione vale anche per i sistemi di generatori dei SOTTOSPAZI di Rn? Secondo me no... se ad esempio prendessi una base di un sottospazio di dimensione 2 di R4 e aggiungessi all'insieme un vettore che non appartiene a tale sottospazio, sicuramente ...
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè ho un dubbio riguardo il prodotto fra numeri complessi espressi in forma trigonometrica
Dati i due numeri complessi $z1$ e $z2$ , il loro prodotto sarà:
$z1 z2$ =[$z1$] [$z2$] $(cos ( \phi + \varphi ) + (i sin( \phi + \varphi ) ? $
Oppure
$z1 z2$ =[$z1$] [$z2$] $(cos ( \phi + \varphi ) i + ( sin( \phi + \varphi ) $
L'unica differenza sta nella variazione di posto dell'unità immaginaria $i$.
Faccio questa domanda perchè ...
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè non sono riuscito a capire una proposizione riguardante il ker di una applicazione lineare ed il ker di una composizione di applicazioni lineare:
Sia $Lb$ l'applicazione che mi porta da $ V $ a $ W $ , e sia $La$ l'applicazione che mi porta da $ W $ a $ K$ .
Si consideri la composizione di La e Lb e la seguente relazione:
$ ker Lb $ $ sube $ $ ker La $ x ...
Ciao!
ho trovato questo esercizio che a primo sguardo mi ha lasciato un po' perplesso:
siano $p,q,v in RR^n$ tre punti(o vettori) e $alpha(t)=pt+(1-t)q+t(1-t)v$ con $alpha:[0,1]->RR^n$ un arco di parabola(al più degenere). Dimostrare che per ogni $x in RR^nsetminus{p,q}$ esiste al più vettore $v$ perpendicolare a $p-q$ tale che $x$ stia nell'immagine di $alpha$
l'esercizio è tratto dal Manetti: pag72 num4.4
Onestamente ci ho visto poco di topologia, a parte ...
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè sono in difficoltà: ho trovato un esercizio di cui trovo complicata, oltre alla risoluzione, anche la comprensione.
L'esercizio è il seguente:
Sia B diverso da 0 appartenente a R^3. Si consideri la matrice 3x3 data da: $ A= B B^t . $
Determinare rango di A, dire se è diagonalizzabile, determinare autovalori e autovettori. A ammette una base ortonormale di autovettori? Se sì determinarla nel caso B= (2,1,-1). Dire se A definisce un prodotto scalare in R^3. ...
Ciao a tutti,
Vi scrivo per porvi tre domande sulla teoria delle forme bilineari simmetriche.
Se non ho capito male, una forma bilineare simmetrica è un'applicazione alla quale può essere associata una matrice simmetrica.
Quello che non mi è chiaro:
1) una matrice simmetrica può essere associata:
sia ad un'applicazione f: K --> K
che a una forma bilineare simmetrica f: KxK ---> K ?
2)Data una forma bilineare simmetrica o un prodotto scalare, come si può determinare la matrice ...
Salve a tutti ragazzi, avrei il seguente problema:
Ho un insieme di vincoli di un problema di programmazione lineare (PL) in R2 di ricerca operativa che rappresentano sul piano cartesiano un quadrato.
Ora vorrei ruotare il problema rispetto l'asse delle x, non sull'origine ma sul l'estremità di un lato, ad esempio nel punto (10,0).
Ho N vincoli di questo tipo $c_1x + c_2y \leq b_1$, il problema può essere semplificato analizzando uno solo ma con vincolo di uguaglianza, quindi supponendo di avere la ...
Ciao, avrei una domanda di curiosità riguardo al teorema di Rouché-Capelli ai sistemi di equazione lineare a \( p \) equazioni e \(n \) incognite a coefficienti in un campo \(K \)
Sia dunque il sistema seguente
\( A \cdot \mathbf x = \mathbf b \)
Vedo scritto spesso che il teorema afferma che se \( \operatorname{rk}(A|\mathbf b) = \operatorname{rk}(A) \) allora possiede soluzioni, e inoltre se \( \operatorname{rk}(A) = n \) possiede un unica soluzione mentre invece se \( \operatorname{rk}(A) ...
Buonasera, sto riscontrando molti problemi con questo esercizio. Il testo è il seguente:
SI consideri l'applicazione lineare LA:R4→R5 definita da LA (X)=AX con A= A=\begin{pmatrix} 5 & 9 & -22 & 0 \\ -1 & -2 &7 & 1 \\ 3 & 4 & -10 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -2 \end{pmatrix}.
1)Si trovi una base del Nucleo di La
2) Si trovi una base dell'immagine di La
Non so proprio come iniziare, sareste gentilissimi se mi aiutaste a capire come risolverlo. Grazie mille
Salve a tutti.
Devo verificare l’indipendenza/dipendenza lineare dei seguenti vettori:
(1, 0, 2, 1); (-1, 1, 0, 0); (1, 1, 4, 2); (-1, 2, 2, 1)
che posso ordinare per colonne ottenendo la matrice A seguente:
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 4 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 1 \\
\end{array}
Procedendo alla riduzione gaussiana, ottengo la matrice:
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 ...
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè ho dei dubbi riguardo le forme bilineari simmetriche e i prodotti scalari.
Se non ho capito male, una forma bilineare simmetrica è un'applicazione che gode di determinate proprietà.
Un prodotto scalare è un tipo di forma bilineare simmetrica nella quale gli autovalori associati sono tutti positivi.
(Mi scuso se ho sparato qualche cavolata )
Detto questo, per risolvere un esercizio di questo tipo:
Determinare per quale valore del parametro la seguente matrice ...
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in questa proposizione:
Sia $X$ uno spazio topologico compatto, allora dato $B \sube X$ un sottoinsieme aperto non vuoto, esiste $A$ sottoinsieme aperto non vuoto tale che $A \sube B$ e $cl(A) \sube B$.
Ho provato ad impostare una dimostrazione per assurdo, ma non arrivo da alcuna parte. Qualche idea?
Grazie infinite
Non riesco a risolvere questo esercizio
Data una matrice 5x5 con le prime tre righe [1 2 3 4 5] , [6 7 8 9 10] , [1 1 1 1 1] dimostrare che essa a determinate nullo
Ciao a tutti,
mi chiamo Luca, ho 31 anni e frequento la facoltà di Ingegneria Civile a Firenze. Sono alle prese con la mia tesi di laurea che riguarda la progettazione di un ponte ad arco a via inferiore ed ho un problema nel riuscire a trovare l'equazione della forma del mio ponte. Dato che la forma ottimale da conferire all'arco di un ponte (caricato simmetricamente) è una parabola ad asse verticale, mi sono trovato in maniera rapida l'equazione della parabola ad asse verticale che passa per ...
Buonasera,
studiando i fondamenti riguardanti gli spazi vettoriali, mi stanno sorgendo dei dubbi riguardo la terminologia usata.
Uno spazio vettoriale su un campo K viene definito come un insieme di vettori V, dotati di somma tra vettori in V e prodotto di uno scalare in K per un vettore in V.
1) Sono stato abituata a considerare gli scalari come semplici numeri, però ho letto un'altra definizione più formale di scalare: è uno scalare qualsiasi elemento di un campo. Quindi è da considerare ...
Perdonatemi se faccio errori di traduzione.
Trovare una base a scalini ridotta del sottospazio vettoriale \(W\) di \(K^n\).
1) \(K=\mathbb{Q}, n=3, W=\operatorname{Span}((1,-3,-2),(2,-3,5)) \)
2) \(K=\mathbb{F}_3, n=5, W=\operatorname{Span}((0,2,1,0,2),(1,0,1,2,1),(2,0,2,2,1)) \)
Con \( L_{ij}(\lambda) \) intendo sommare alla lignea \( i \) la lignea \( j \) moltiplicata per lo scalare \(\lambda\)
Con \( T_{ij} \) intendo invertire la posizione della lignea \( i \) e della lignea \( j \)
Con ...
Ciao!
Ho i seguenti esercizi senza soluzione:
1. siano $(X,tau)$ spazio topologico e \( \mathcal{F} \) un ricoprimento di $X$
se \( \bigcup_{F \in \mathcal{F} }F^° =X \) allora \( \mathcal{F} \) è un ricoprimento fondamentale
in sostanza si deve soltanto dimostrare che se $UcapF$ è aperto in $F$ per ogni insieme del ricoprimento, allora $U$ è aperto in $X$
Chiaramente posto \( \mathcal{F}^° = \{ F^° \space | \space F ...
Salve a tutti,
mi trovo in difficoltà su un argomento apparentemente banale ma che non riesco a capire.
Sul mio testo di teoria dei sistemi si dice che quando si trasforma la matrice di transizione \(\displaystyle \Phi(t) = e^{At} \) dal dominio del tempo al dominio di Laplace, si ottiene una matrice \(\displaystyle \Phi(s)=(sI-A)^{-1} \) avente come denominatore il polinomio minimo, ovvero un polinomio fattore del polinomio caratteristico di \(\displaystyle (sI-A)^{-1} \), ma che ha tutti i ...
Ciao!
stavo facendo un esercizio relativo alla possibilità che due spazi(dati) fossero omeomorfi e il testo suggeriva di studiare le componenti connesse ottenute togliendo un punto ai due spazi.
Diciamo che prima dell'esercizio non si è data alcuna base teorica a supporto di questo suggerimento, quindi ho fatto da me trovando che:
siano $XcongY$(con $f$ omeo) allora
- per ogni sottospazio $Z$ di $X$ si ha $Z cong f(Z)$
- se ...
Salve a tutti, non riesco proprio a risolvere questi problemi di geometria, non so proprio da dove iniziare e chiedo il vostro aiuto, per poterci capire qualcosa. Grazie mille.
Es1.
Sono dati il punto A(−1,2,2) e i due piani π:2x−y−z=0 , p:x=y.
Decidere
(a) se la sfera S di centro A tangente a p interseca il piano π in una circonferenza; se sì determinarne il centro ed il raggio.
(b) se la sfera σ di centro A tangente a π interseca il piano p in una circonferenza; se sì determinarne il ...
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