Geometria e Algebra Lineare

Se ho una matrice e devo vedere se è diagonalizzabile o meno io ho calcolato il determinante e mi sono venuti due autovalori lamba=1 e lamba=3 .Affinchè una matrice sia diagonalizzabile io so che la molteplicità geometrica deve essere uguale a quella algebrica.Nel mio caso avendo due autovalori devo fare la somma della molteplicità geometrica dei due autovalori=alla somma delle molteplicità algebriche dei due autovalori oppure ad esempio devo fare che la molteplicità algebrica di lamba=1 deve ...

Ciao a tutti.. ho provato a fare questi esercizi ma non so se sono giusti e vorrei dei vostri giudizi.. Si considerino in $RR^3$ le rette $r:x=y=0$ e $s:z=o, x=1$. Sia $X=RR^3-{r U s}$ il sottospazio di $RR^3$ con topologia indotta da quella euclidea . i)Calcola il gruppo fondamentale di $X$ Io ho visto $X=pi - {ret ta x=1} xx pi_1 - {ret ta y=0} xx pi_2 $ dove $pi_i$ sono i piani orizzontali e verticali dello spazio. allora il gruppo fondamentale è isomorfo al ...

Salve a tutti, vedendo gli appunti scritti dal prof mi domandavo se è corretta questa scrittura : Se $ Z=1/(a+ib) $ allora il modulo di Z é $ abs(Z)=1/(sqrt(a^2+b^2) $ Così è quello che ha scritto il prof... Grazie a chiunque chiarisca questo dubbio (magari spiegandomi perchè si può fare cosi senza passare per razionalizzazioni XD) [xdom="Martino"]Evitare il maiuscolo, grazie.[/xdom]

Non ho ben capito una cosa: se due matrici A e B hanno stesso polinomio caratteristico e minimo allora sono simili? Il mio libro in un esercizio mi chiede di dimostrare che due matrici sono simili e suggerisce di dimostrare appunto che i polinomi caratteristici e mini coincidano rispettivamente. D'altronde spiegando la teoria di Jordan, scrive che se l'ordine della matrice è superiore a 3 esistono delle forme canoniche di Jordan non simili tra loro che però hanno stesso polinomio caratteristico ...

Siano \(\displaystyle u=[-1,\alpha,\alpha,...,\alpha]^T \) e $v^T=[0,\alpha,\alpha,...,\alpha]$ due vettori di $\mathbb{R}^n$. Posto $M=uv^T$ il mio libro dice che la matrice M ha n-1 autovalori nulli e un autovalore pari a $v^Tu=\alpha^2(n-1)$. Ora io non capisco come fa a trovare questi autovalori, in particolare a dire che l'unico autovalore non nullo è proprio $v^Tu$. Grazie a chi risponderà

Ciao a tutti! è un pò di tempo che mi sto chiedendo questa cosa... Ha senso parlare di GRADI DI LIBERTA' di una matrice? se sì, dove posso trovare una spegazione non troppo difficile? (non faccio ancora l'uni) Grazieeee

Salve, Non riesco a venire a capo di quest'esercizio: Sia A \(\displaystyle \epsilon \mathit{M}( \mathbb{C}) \) tale che la trasposta coniugata di A sia uguale ad UA con U\(\displaystyle \epsilon \mathit{U}( \mathbb{C} )\) (matrice unitaria) è vero che A è normale? L'unica idea che mi è venuta in mente è quella di sfruttare il teorema spettrale complesso ovvero di dimostrare che A è unitariamente diagonalizzabile ma non riesco proprio.

Ho un dubbio sul calcolare gli autovalori di una matrice simmetrica. Avendo la matrice $ A=( ( 2 , 2 , 0 , 0 ),( 2 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ) ) $ devo calcolare gli autovalori e le rispettive molteplicita' algebriche e geometriche. Io so che per le matrici simmetriche il rango della matrice corrisponde al numero di autovalori non nulli. In questo caso $ Rank(A)=2 $ quindi ho due autovalori nulli e due autovalori non nulli. Inoltre so che la $ tr A=lambda (1)+ lambda (2)+ lambda (n) $ , in questo caso tr A=10, quindi la somma di due autovalori deve darmi ...

Ho un problema sulla teoria delle applicazioni lineari, prendo un esempio. Sia $ L:R^3->R^3 $ un'applicazione lineare. Stabilire quale tra le seguenti affermazioni e' sempre vera, sapendo che $ L( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $ e $ L( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) =( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ 1. 0 appartiene a Im L 2. Span(e2) $ sub $ Im L 3. dim Im L = 2 4. L e' iniettiva Non ho la piu' pallida idea di come poterle verificare, solitamente avrei scritto la matrice associata pero' non so se devo farla con i vettori della base canonica ...

Salve non riesco a risolvere quest'esercizio: Sia F endomorfismo di V (dimV=n) tc il polinomio minimo di F coincida con quello caratteristico. Si determini la dimensione dello spazio degli endomorfismi che commutano con F. Sfruttando la valutazione in F ho detto che tutti gli endomorfismi che appartengono a K[F] (quelli polinomiali) commutano con f e di conseguenza lo spazio commutatore ha dimensione maggiore di K[F}, che ha dimensione uguale al grado del polinomio minimo e quindi n (pol ...

Salve a tutti ho un problema.Un esercizio mi chiede di dire al variare di $ lambda $ se il sistema è determinato,se si quante soluzioni o indeterminato.Per prima cosa ho impostato la matrice del sistema e ho calcolato il determinante e l'ho imposto uguale a zero.Il problema è che mi viene $ 2 lambda^2+2 $ .Posso già da adesso affermare che è indeterminato oppure vi è qualche altro metodo?

Sia L: $ mathbb(R^4) -> mathbb(R^3) $ un'applicazione lineare tale che: L $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 3 ),( 1 ),( 1 ) ) $ , L $ ( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) =( ( 2 ),( -2 ),( 2 ) ) $ , L $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) =( ( 4 ),( 2 ),( 1 ) ) $ , L $ ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) =( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ Determinare la matrice A rappresentativa della L nelle basi canoniche di $ mathbb(R^4) e mathbb(R^3) $ . Ho sempre trovato le matrici associate avendo un' equazione relativa ad un'applicazione lineare ma in questo modo non so come procedere, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo.

Salve ragazzi, scusate se non scrivo le matrici e le formule in modo formale, ma non riesco a capire come si fa, nell'esercizio ho la sequente matrice |1,0,0,0| |0,1,1,-1| |-1,1,2,1| |-1,0,0,1| mi chiede di determinare gli autovalori e gli autovettori. Il mio procedimento è il seguente: |1-λ,0,0,0| |0,1-λ,1,-1| |-1,1,2-λ,1| |-1,0,0,1-λ| Uso laplace: (1-λ)|1-λ,1,-1| |1,2-λ,1| |0,0,1-λ| => (1-λ)[(1-λ)^2*(2-λ)-(1-λ)] = 0 => (1-λ)^2[λ^2-3λ+1] = 0 => λ = 1 m.a. 2 λ = ...

dato un sistema di tal tipo: ${(a_1= \ k_1 \ b_1+k_2 \ b_2),(a_2=-k_2 \ b_1 + k_1 \ b_2):}$ $a_1,a_2,b_1,b_2 \in CC \ ; \ k_1,k_2 \in RR$ avendo necessità di risolvere il sistema rispetto a $b_1$ e $b_2$ (passaggio dalla base ${b_1,b_2}$ alla base ${a_1,a_2}$ in uno spazio di Hilbert), dopo aver fatto banali noiosi calcoletti per esplicitare $b_1$ e $b_2$, ho ottenuto: ${(b_1= \ k_1 \ a_1+k_2 \ a_2),(b_2=-k_2 \ a_1 + k_1 \ a_2):}$ guardando il risultato noto che, molto banalmente, la soluzione rispetto a $b_1$ e ...

Ciao ragazzi, ho bisogno di un aiuto da parte vostra. Non riesco a trovare, in quanto molto vecchio, il libro di Pipitone-Stoka che tratta gli esercizi di geometria differenziale. Dovrebbe chiamarci "esercizi e problemi di geometria" e dovrebbe essere il secondo volume. Vorrei chiedervi, gentilmente, se qualcuno di voi ha la parte riguardante le curve e le superfici...sto preparando l'esame di geometria differenziale e ne avrei bisogno. Oltretutto, vi chiedo anche consigli per dei buoni ...

Dato il sistema lineare $ AX=B $ con $A=( ( 3 , -4 , -1 , -2 ),( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 1 , -2 , -1 , 0 ) ) $ e $B= ( ( 4 ),( 1 ),( 2 ) ) $ determinare una rappresentazione parametrica della varieta' delle soluzioni. Il sistema e' non omogeneo e A risulta quadrata in quanto A3=A2+A1. Ho provato a calcolare le coordinate della soluzione con Cramer ed a scala ed ottengo il medesimo risultato (corretto) $ X= -3/2 ; Y=-1/4; Z=0; T=3/4 $ Il problema sta nel fatto che nella soluzione oltre alle coordinate leggo: $ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) =( ( 3/2 ),( -1/4 ),( 0 ),( 3/4 ) ) +s( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $ Come ricavo i valori del ...

Salve, più che un aiuto nella comprensione dell'esercizio sono qui a chiedere conferma del procedimento che ho utilizzato per risolverlo! $T ((x, y), (z, w)) = (x + 3y)t^2 + (x + y + z)t + (y -3z + w)$ Trova tutte le matrici $X in M_(2,2)RR$ tali che $T(X) = 31t^2 + 3t − 43$ Io ho semplicemente costruito e sviluppato il sistema $\{(x + 3y = 31),(x+y+z = 3),(y-3z+w = -43),(w=w):}$ da cui si ottiene $\{(x = (-226-3w)/5),(y = (127+w)/5),(z = (114+2w)/5), (w=w):}$ Quindi la matrice X in questione dovrebbe essere data, per $w=a$, da: $X=((-226/5-(3a)/5, 127/5+a/5), (114/5+(2a)/5, a))$ Mi sono fatto un po' intimorire dai numeracci, ma è così che si ...

In questi giorni mi è salito un dubbio esistenziale sulla diseguaglianza triangolare $|u+v|<=|u|+|v|$ : quando vale l'uguaglianza? La risposta dovrebbe essere quando $u,v$ sono linearmente dipendenti e teoricamente mi trovo! Ripercorrendo la dimostrazione ho $|u+v|^2=\sigma(u+v,u+v)=|u|^2+2\sigma(u,v)+|v|^2 <=|u|^2+2|u||v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2$ Estraendo la radice ho la tesi Ora se $u,v$ sono linearmente dipendenti ho che $|u||v|=|\sigma(u,v)|$ e vale l'uguaglianza. Se vale l'uguaglianza ho $|u||v|=|\sigma(u,v)|$ e $u,v$ sono ...

Salve ragazzi, vi chiedo di seguirmi nello sviluppo di un esercizio, visto che è la prima volta che lo affronto e mi ha dato qualche grattacapo: Dati $U={(x, y, z, w)inRR^4: x+z=y+w}$ e $V=Span[(1), (1), (0), (0)], [(0), (0), (1), (1)], [(1), (0), (1), (0)]$: 1) Specificare la dimensione e una base di $U$ e $V$ 2) Specificare la dimensione e una base di $U+V$ e $UnnU$ 3) Scrivere una base ortonormale di $U$ 4) Scrivi equazioni cartesiane e parametriche di $U^\bot$ Dovrei aver svolto ...

Buongiorno ho un problema calcolare la giacitura di un sistema cartesiano. $ S:{ ( W=0 ),( X-Z=0 ):} $ .avevo pensato di risolvere il sistema per sostituzione ovvero porre $x=s$,$Y=t$ e quindi $W=1$ e $Z=s$ ma facendo ciò non viene il risultato il quale è :$<e_1+e_3;e_2>$. spero in una vostra risposta grazie in anticipo.