Geometria e Algebra Lineare

Non riesco a risolvere questo tipo di esercizi sulle applicazioni lineari : Determinare le equazioni delle applicazione lineare f: R^2-->R^4 avente come matrice associata A= $ ( ( -1 , 3 ),( 0 , 5 ),( 1 , 2 ),( 3 , 0 ) ) $ rispetto la base B=((1,3),(-2,8)) di R^2 e la base B'=((1,1,0,0),(1,2,0,3),(-1,0,-1,-1),(0,0,0,5)) di R^4 Inizio in questo modo : f(1,3)=-1(1,1,0,0)+0(1,2,0,3)+1(-1,0,-1,-1)+3(0,0,0,5) f(-2,8)=3((1,1,0,0)+5(1,2,0,3)+2(-1,0,-1,-1)+0(0,0,0,5) Per ogni vettore appartenente a R^2 , posso scrivere che ...

Ciao a tutti. Avrei un piccolo dubbio relativo al concetto di insieme chiuso. Riprendendo quanto scritto in "Analisi Matematica 1 - Pagani-Salsa", abbiamo che Dato un sottinsieme E di R, le tre condizioni sono equivalenti: 1) E è chiuso; 2) La frontiera di E è contenuta in E; 3) Ogni punto di accumulazione di E appartiene ad E. Considero l'intervallo $ [0,+oo) $ che so essere un insieme chiuso perché il suo complementare $ (-oo,0) $ è aperto. Cercando di utilizzare la ...

buongiono mi aiutate a fare questo esercizio: Completare in una base dello spazio ambiente gli insiemi che tra i seguenti risultano essere linearmente indipendenti: (i) {(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,2,0)} ⊆ $R^4$ ho verificato che e indipendente ora come faccio a completare la base ovviamente so che in tal caso per completare la base manca un vettore ma come faccio a determinare gli elementi che il vettore contiene? il vettore di completamento è (0,0,0,0) giusto?

C'è un esercizio di cui non capisco le soluzioni, potreste aiutarmi per piacere? Prevalentemente i dubbi sono sull'esercizio b) e soprattutto sull'esercizio c) utilizza un algoritmo che non riesco a "vedere". In realtà nell'esercizio a) e b) sono solo due "piccolezze" che non capisco, ma nel esercizio c) mi sono un po' perso. Sia \( K \) un campo avente caratteristica 2 e sia \( V \) uno spazio vettoriale su \( K \) di dimensione finite, munito di una forma bilineare simmetria e sia \[C= ...

Ciao devo verificare se la retta r è parallela al piano s, e poi devo trovare il piano che contiene la retta passante per il punto. Se possibile vorrei un feedback: r={2x-y-3z-1=0 ; s=2x+y-5z-3=0 ; P(3,1,-1) {y-z-3=0 dopo aver calcolato il rango completa - incompleta ; A e A|B ho trovato che la retta è parallela non contenuta; poi ho seguito il seguente metodo, poni z=t; da cui y=t+3 nella seconda per sostituzione nella prima ho 2x=y+3z+1 => 2x=t+3+3t+1 => x=2t+t; per ...

Salve a tutti. Sono iscritto al corso di laurea in fisica e sro al secondo anno. Dico subito che come corsi di matematica ho seguito analisi 1 e 2, algebra lineare e metodi e modelli matematici della fisica. Devo compilare il piano di studi e sono indeciso cosa scegliere. Pensavo di scegliere geometria 1 (che comprende quadriche , coniche, geometria proiettiva) o geometria differenziale. Il fatto è che geometria 1 mi sembra che non sia molto utile ad un fisico. Invece geometria differenziale ...

buongiorno mi aiutate su questo esercizio devo verificare se è linearmente chiuso: T=$ {a(2,1,-1)+(1,0,1)|a ∈R } ⊆ ($R^3$) da cio ho che 0 non appartiene a T perché se a= 0 avrò: (0,0,0)+(1,0,1)=(1,0,1). percui non è linearmente chiuso giusto?

Buongiorno, ho il seguente dubbio, sarà anche un dubbio ingenuo, ma vorrei chiarirlo con voi, vi riporto la traccia: Considero i tre sottoinsiemi non vuoti di uno spazio vettoriale $V$, siano $A,B, X$ con la seguente proprietà $A subseteq B$ $B subseteq X$ risulta che $[A]=[X]$, con il simbolo $<li>$ intendo sottospazio generato da $*$. Procedo nel seguente modo $[A]=[X]$ se e soltanto se $[A] subseteq [X]$ e ...

Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione \(n \) su \( \mathbb{R} \) e siano \( f, g \in V^* - \{ 0 \} \) linearmente indipendenti. Dimostrare che \[ \dim ( \ker f \cap \ker g ) = n-2 \] Dove \( V^* \) denota lo spazio duale di \( V \). Questa la mia idea, secondo voi ci sono errori? Sia \( B_V = \{ v_1, \ldots , v_n \} \) una base di \(V \) e sia \( B_{V^*} = \{ \phi_1, \ldots , \phi_n \} \) la base canonica di \( V^* \) dove abbiamo \( \phi_j : V \rightarrow \mathbb{R} , ...

In un problema di meccanica razionale ho trovato come soluzione la seguente formula: \(\displaystyle \frac{ds}{d\theta} =|\frac{dP}{d\theta}| \) Purtroppo non spiega come arrivare a questa espressione in nessun modo... Io avevo pensato che se \(\displaystyle \ ds = \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}dt \) Allora forse si poteva in qualche modo provare a sostituire $dt$ con $d\theta$ e derivare direttamente le varie componenti cartesiane rispetto a $theta$. Non so se però è ...

Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione finita su \( \mathbb{R} \) e sia \( \left \langle \cdot, \cdot \right \rangle \) una forma bilineare simmetrica su \( V \). Lo spazio di nullità è lo spazio \( V_0 := \{ v \in V \mid \left \langle v, x \right \rangle = 0 , \forall x \in V \} \) Dimostrare che \( V \) ammette una decomposizione in somma diretta \[ V_0 \oplus V^+ \oplus V^- \] Dove \( V^+ \) e \( V^- \) sono dei sottospazi vettoriali tali che \[ \left \langle v, v \right ...

Ri-buonpomeriggio, volevo porre questa seconda domanda riguardo le forme bilineari nell'altra discussione, tuttavia ho visto che ha preso una strada più lunga del previsto e credo appesantirebbe troppo l'altra discussione per nulla. Quindi, essendo una domanda a parte, forse conviene parlare in un post dedicato. La mia domanda viene, manco a dirlo, dallo studio delle forme bilineari , e come di la mi è sorto un un dubbio che non riesco a formalizzare da solo. Mi chiedevo se per ogni forma ...

Dalla matrice $A = ((1,3,0,2,1),(0,0,0,0,0),(1,2,0,2,1),(-1,-1,1,1,-1),(-1,-1,1,0,1))$ ottengo la matrice di Jordan $J = ((0,1,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,0,0,0,1))$ con $P = ((-5,-10,-2,-3,0),(0,1,0,0,0),(-6,-8,-2,-3,0),(2,1,0,-1,-2),(1,0,0,0,1))$ , tale che $J=P^-1AP$ . Devo determinare un vettore $w in QQ^5$ tale che $B={w,\phi(w),\phi^2(w),\phi^3(w),\phi^4(w)}$ è base di $QQ^5$ e trovarne la matrice associata. So che un tale vettore (detto ciclico) esiste poichè polinomio minimo e caratteristico coincidono, $P_\phi(x) = x^2(x-1)^3$ . So anche ricavare la matrice (detta la matrice compagna): $P_\phi(x)=x^5-3x^4+3x^3-x^2$ quindi $C = ((0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,1),(0,0,1,0,-3),(0,0,0,1,3))$ però non ...

Il differenziale di una mappa propria tra varietà, è a sua volta una mappa propria? Motivazione per questa domanda è un'altra domanda: la compattificazione di Alexandrov di un diffeomorfismo $C^1$ tra varietà induce o no un diffeomorfismo tra le compattificazioni? Per poter indurre un omomorfismo $\bar f : \bar X \to \bar Y$ tra le compattificazioni di $X,Y$ bisogna che $f$ sia una mappa propria. Ma non ho idea se, quando $f$ è un diffeo tra varietà, ...

[geogebra][/geogebra] Potete dirmi se va bene? Si deve verificare se è uno spazio vettoriale $Y={a_0+a_1x+a_0a_1x^2|a_0,a_1$ ∈ R} ∈ $R^2[x]$ 1) vettore nullo ∈ y infatti se $a_0=a_1=0$ si ottiene (0,0,0) 2) se sommo $a_0+a_1x+a_0a_1x^2 + a’_0+a’_1x+a’_0a’_1x^2$ ottengo $(a_0+a’_0)+(a_1+a’_1)(2x)+(a_0a_1+a’_0a’_1)(2x^2) $ che ∈ $R^2[x]$ 3) $k(a_0+a_1x+a_0a_1x^2)=ka_0+Ka_1x+Ka_0a_1x^2$ ∈ in $k^2[x]$ È giusto?

Ho un luogo geometrico del piano cartesiano rappresentato dalla seguente equazione: $y^2+ax^2+bx+c=0$ con $a \!= 0$ e $a,b,c$ scelti in maniera tale da rappresentare un luogo a punti reali! Noto immediatamente che ho una simmetria rispetto all'asse $x$ e una simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse $y$. Mi bastano queste due simmetrie per affermare che l'asse $x$ oppure l'asse $y$ interseca due volte questo ...

Sera a tutti, avrei una domanda da porvi anche se piuttosto sciocca. Ho iniziato ora a leggere riguardo forme bilineari, simmetriche e prodotti scalari. Mi chiedevo se fosse possibile definire una qualche forma bilineare (e dunque una sua matrice associata) per due vettori tra loro linearmente dipendenti. Cioè in sostanza se è possibile in qualche modo definire una forma bilineare in una sola dimensione [o non esistono] ad esempio (ipotizzo) riducendo le matrici ad un solo elemento? Vi ...

Buondì, mi trovo nella seguente situazione: sia $M$ una varietà Riemanniana compatta (chiusa e senza bordo) $2$-dimensionale. Allora su di essa abbiamo la distanza indotta dalla metrica \[ d(x,y) = \inf \biggl \{ \int_0^1 \| \dot{\gamma}(t) \| \mid \gamma \text{ è una curva } C^{\infty} \text{ con } \gamma(0)=x \text{ e } \gamma(1) = y \biggr \} \] Allora ha senso considerare le misure di Hausdorff \( \mathcal{H}^k \) indotte da tale distanza. In particolare si può ...

Salve a tutti, non capisco questa parte di un esercizio di algebra lineare: data un applicazione lineare R^3--->R^3 f((x,y,z))=(2x+y,x+2y,z) trovare base e dim di ker f e di Im f Riesco a trovare tutto, non capisco però perché l'immagine è tutto R^3 ! Le basi che riesco a trovare, dell'immagine, sono queste B={(2,1,0),(1,2,0),(0,0,1)} Per essere, l'immagine tutta R^3, dovrei trovare una base canonica di R^3 , o meglio i vettori della base canonica di R^3, ma io non li trovo, trovo questi ...

Dati due endomorfismi f e g triangolabili che commutano (cioè tali che f composto con g =g composto con f) dimostrare che esiste una base B per la quale la matrice di f associata a tale base e la matrice di g associata alla stessa base B sono triangolabili.