Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao ragazzi, vi propongo un esercizio che mi ha dato dei grattacapi...
Sia $W = {A in M_(2,2)(RR) : tr(A) = 0}$ l’insieme della matrici a traccia nulla.
(i) Verifica che W è un sottospazio vettoriale di $M_(2,2)(RR)$
(ii) Calcola la dimensione e una base di W
(iii) Trova il sottospazio ortogonale $W^\bot$ rispetto al prodotto scalare standard
I primi 2 punti li ho risolti facilmente considerando $A=((a_(1,1), a_(1,2)),(a_(2,1), -a_(1,1)))$, quindi verificando il vettore nullo, la chiusura per la somma e quella per il ...
Ciao a tutti chi può aiutarmi nella risoluzione di questo quiz?
1 -Lo spazio vettoriale R^4:
-ammette sistemi di generatori costituiti da 6 vettori
-ammette una base costituita da 6 vettori
-è generato da qualsiasi insieme di vettori non nulli
2 -Cinque vettori nello spazio vettoriale R^4:
-possono generare R^4
-possono costituire una base di R^4
-generano un sottospazio vettoriale di R^4 avente dimensione 3
-costituiscono una base di R^4se e solo se sono tutti non nulli
3-Nello spazio ...
Una dispensa, dopo aver definito una curva come una funzione continua $\gamma: I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, dice che quasi sempre si confonderà la curva con la sua immagine poichè "l'immagine determina la curva solo a meno di riparametrizzazioni (composizione di $\gamma$ con un omeomorfismo $t:J \to I$ con J un altro intervallo reale)". Così si possono definire le curve come classi di equivalenza rispetto alla relazione: essere una una riparametrizzazione dell'altra.
L'affermazione tra virgolette ...
In un corso che ho seguito quest'anno di introduzione alle PDE, a un certo punto è sbucato fuori questo fantomatico "fibrato dei getti di ordine $k$ di una varietà differenziabile", il professore ce lo ha introdotto per arrivare a dire che una PDE (di ordine $k$) in cui la soluzione ha come dominio una $n$-varietà $M$, non è altro che "una ipersuperficie nel fibrato dei getti (di ordine $k$) di $M$", questa cosa ...
E' una cosa davvero semplice, credo, ma siccome solitamente snobbate le domande che pongo anche quando sono facili...
C'è uno spazio topologico $X$ le cui componenti connesse per archi non sono né tutte chiuse, né tutte aperte (come sottospazi di $X$)?
Salve, sono nuovo. Preparandomi per un esame, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Trovare i punti a minima e massima distanza dall’origine dell’ellisse ottenuto
tagliando l’ellissoide $(x^2)/4+(y^2)/4+z^2=1$ con il piano $x+y+z=1$.
Ora, due cose:
1. L'ellissoide d'intersezione è $(5x^2)/4+(5y^2)/4+2xy-2x-2y=0$? Per ottenerla, ho semplicemente isolato la z nella seconda eq e sostituito nella prima. Se da una parte mi sembra ragionevole, dall'altra no, dato che le funzioni che s'intersecano sono ...
Salve! Forse con due minuti di ricerche sull'internet avrei trovato la risposta a quello che sto per chiedere, ma credo appunto che sia un dubbio piuttosto stupido e che non valga la pena perderci del tempo.
Veniamo al dunque: nella costruzione della topologia del prodotto di due spazi topologici $E$ e $F$ è naturale prendere come intorni le immagini inverse delle proiezioni canoniche $p_{E}:E\times F \to E:(x,y) \mapsto x$ e $p_{F}:E\times F \to F:(x,y) \mapsto y$. La famiglia di intorni di un ...
Sul mio libro di geometria è vagamente accennato cosa sia uno spazio quoziente e, dal poco che ho visto, la sua costruzione e molte sue proprietà sono analoghe a quelle dei gruppi quozienti.
Ora ho due domande da porvi. Immaginiamo di avere uno spazio vettoriale $V(K)$ finitamente generato di dimensione $n$ definito su un campo $K$ e sia $U$ un suo sottospazio.
1) prendendo $v_1+U,...,v_t+U$ tali che $v_i+U!=U$, si può affermare che ...
Buonasera ragazzi vi scrivo in quanto ho un dubbio riguardo una definizione.
Dato un endomorfismo \(\displaystyle f: V \rightarrow V \) , \(\displaystyle V_\lambda \) è il sottospazio di \(\displaystyle V \) costituito da tutti gli autovettori relativi a \(\displaystyle \lambda \). E quindi giustamente la sua definizione rigorosa è \(\displaystyle ker(f-\lambda*id_V) \) cioè \(\displaystyle V_\lambda=\{u\in V: f(u)=\lambda u\} \) ("u ovviamente è un vettore")
Non riscontro invece la stessa ...
Ciao a tutti,
scusate se vi disturbo ancora ma avrei una domanda su basi sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane. Forse affrontando la tematica da un altro punto di vista mi aiuterà a capire meglio il tutto.
Sto facendo riferimento al "Sernesi" preposizione 4.18.
La preposizione afferma:
Sia \(\displaystyle \textbf{V} \) uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), \(\displaystyle \textbf{b}={ \textbf{b}_1,...., \textbf{b}_n} \) una sua base, e \(\displaystyle \textbf{W} ...
Buongiorno a tutti. Ho cercato nel forum questo tipo di esercizio ma non ho trovato nulla quindi posto qui la mia domanda. In un esercizio mi vengono date due rette , r ed s, e mi si chiede la generica retta passante per entrambe. Per prima cosa ho visto le posizioni delle due rette, che sono sghembe. Poi ho messo le rette in forma parametrica e a questo punto ho scritto la formula della retta parametrica passante per due punti, prendendo un punto di r e uno di s (dalla forma parametrica). Il ...
Ciao a tutti,
sto studiando Geometria I e mi sono imbattuto nel seguente Teorema:
Sia \(\displaystyle \{v_1,....,v_n\} \) un sistema di generatori di \(\displaystyle V \) e siano \(\displaystyle \{w_1,....,w_m\} \) elementi di \(\displaystyle V \). Se \(\displaystyle m>n \) allora \(\displaystyle \{w_1,....,w_m\} \) sono linearmente indipendenti.
Purtroppo non mi sono chiare alcune cose nella dimostrazione. Infatti la dimostrazione inizia affermando che se \(\displaystyle \{w_1,....,w_n\} ...
Buona domenica,
Sto studiando la parte riguardante le matrici, in particolare, leggendo la definizione di matrice simmetrica la quale è definita come:
Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$, si dice matrice simmetrica se $A=A^t$ per ogni posto $(i,j)$, in particolare c'è questa relazione che non mi è chiara,
In una matrice reale simmetrica vi sono al più $(n(n+1))/(2)$ elementi indipendenti
non so come posso dedurlo.
Grazie in ...
Il libro definisce la conica come l'inisieme C={∈ P(V) tc. v!=0, v^T A v=0}
dove P(V) è il piano proiettivo dello spazio di dim. 3
v è un vettore di P(V)
A è una matrice simmetrica 3x3
Qualcuno mi saprebbe spiegare perchè v^T A v=0?
v^T è il vettore trasposto o sbaglio?
Chiedo aiuto per la risoluzione di questo esercizio:
Siano A e B due punti distinti di un piano proiettivo su un campo K a F ed F' i fasci di rette di centri rispettivamente A e B. Fissato un riferimento in modo che le coordinatr proiettive di A e B risultino rispettivamente [1,0,0] e [0,1,0], determinare la proiettivita del piano proiettivo che trasforma una retta di F in una retta di F'. In che modo posso determinare la proiettivita'?
Ciao ragazzi!
Vorrei postarvi un esercizio tratto da un tema d'esame che ho sostenuto e la mia soluzione che purtroppo si è rivelata essere non corretta(non so ancora il perché). Mi piacerebbe se poteste chiare i miei dubbi!
"Consideriamo una applicazione $ F: \mathbb{R}^2 ->\mathbb{R}^2 $ tale che $ F( (2), (5) ) = ((1), (0)) $ e $ F( (1), (3) ) = ((0), (1)) $
1. Scrivere la matrice associata ad F rispetto alle basi standard.
2. Scrivere la matrice associata ad F rispetto alle basi $ ((1), (1)) , ((0), (1)) $ in ...
Salve a tutti,
ho difficoltà ad interprerare questo esercizio di algebra:
Sia V lo spazio delle funzioni reali di variabile reale e definite a: x€R->x€R, b: x€R->ln(x)€R, c: x€R->x^2€R. Mostrare:
1) Il sistema S={a,b} è indipendente
2) Detto W= trovare la sua dimensione
3) Detto Z= stabilire se è un sottospazio di W
Ringrazio in anticipo chi mi saprà dare qualche riferimento per poter risolvere questi quesiti.
Grazie 1000
Saluti
Inquadro il contesto: definizione di prima e seconda forma fondamentale.
Ho due varieta' differenziabili $M$ e $N$ e ho una applicazione differenziabile $f:M \to N$, siano inoltre $\phi:M \to \phi(M) \sub RR^2$ e $\psi:N \to \psi(N) \sub RR^2$ le due carte sulle due varieta' (per semplicita' lascietemi supporre che le due varieta' abbiano due atlanti formati da una sola carta ognuno).
Per ogni punto $p$ di $M$ posso definire la l'applicazione tra spazi ...
Salve, scrivo in quanto non riesco a risolvere questo esercizio.
Si consideri il seguente sistema lineare dipendente dal parametro $ ain R $ .
$ ain R{ ( ax+y+z=1 ),( x+ay+z=1 ),( x+y+az=1 ),( x+y+z=a ):} $
Se ne studi la risolubilità al variare di a, specificando le eventuali soluzioni.
Ho preso le due matrici:
$ ( ( a , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , a ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ e $ ( ( a , 1 , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 , 1 ),( 1 , 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , 1 , a ) ) $
Il determinante della matrice completa è: $det(A|b) !=0$ per $a!=1$ quindi il sistema non ammette soluzioni per $a!=1$.
Per $a=1$ la ...
Ciao ragazzi, sono bloccato su questo esercizio:
Per prima cosa
$p(i)=(a+ib)(-i)+(c+id)(-1)+(e+if)i+(g+ih)=-ia+b-c-id+ie-f+g+ih$
$p(-i)=(a+ib)i+(c+id)(-1)+(e+if)(-i)+(g+ih)=ia-b-c-id-ie+f+g+ih$
$p(i=0)=a(-i)+c(-1)+ei+g=-ia-c+ie+g$
a) Per verificare se $X$ e $Y$ siano sottospazi di $V$, serve verificare che siano soddisfatti appartenenza vettore nullo, chiusura rispetto alla somma e chiusura rispetto al prodotto.
Appartenenza del vettore nullo:
posto $alpha=(a+ib); beta=(c+id); gamma=(e+if); delta=(g+ih)$ e preso un vettore nullo $(0,0,0,0)$, si ...
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