Applicazione lineare tra spazi di matrici
Salve a tutti ragazzi, mi sono da poco iscritto al sito quindi perdonatemi se ci saranno eventuali errori nella scrittura del post.
Detto questo, avrei bisogno di un piccolo aiuto nella risoluzione di questo esercizio:
"Data la matrice $M=((0,1),(1,0))$ e l’applicazione $T : M2,2(R) → M2,2(R)$ definita da $T(X) = MXM$
Scrivi la matrice associata a T rispetto a una base a tua scelta"
Il problema adesso è questo, prima d'ora non ho mai affrontato un esercizio con questo tipo di applicazione però ovviamente prima di scrivere il post ho provato comunque a risolverlo arrivando a questo risultato:
In pratica ho provato a considerare la $X$ come una matrice canonica; quindi, $X = ((a,b),(c,d))$ ed ho considerato $MXM$ come il prodotto della matrice canonica $X$ per due volte la matrice $M$ arrivando ad ottenere come risultato la stessa $X$; ovvero $((a,b),(c,d))$
Di conseguenza andando a trovare la matrice associata ad $((a,b),(c,d))$ ed utilizzando come base quella canonica sono arrivato ad ottenere, come matrice associata a T, questa matrice $A=((a,b),(c,d))$ ovvero una matrice quattro per quattro $((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Adesso, non so perchè ma tutto questo non mi convince molto...
Se gentilmente qualcuno potrebbe darmi una mano ne sarei veramente contento.
Grazie in anticipo a tutti
Detto questo, avrei bisogno di un piccolo aiuto nella risoluzione di questo esercizio:
"Data la matrice $M=((0,1),(1,0))$ e l’applicazione $T : M2,2(R) → M2,2(R)$ definita da $T(X) = MXM$
Scrivi la matrice associata a T rispetto a una base a tua scelta"
Il problema adesso è questo, prima d'ora non ho mai affrontato un esercizio con questo tipo di applicazione però ovviamente prima di scrivere il post ho provato comunque a risolverlo arrivando a questo risultato:
In pratica ho provato a considerare la $X$ come una matrice canonica; quindi, $X = ((a,b),(c,d))$ ed ho considerato $MXM$ come il prodotto della matrice canonica $X$ per due volte la matrice $M$ arrivando ad ottenere come risultato la stessa $X$; ovvero $((a,b),(c,d))$
Di conseguenza andando a trovare la matrice associata ad $((a,b),(c,d))$ ed utilizzando come base quella canonica sono arrivato ad ottenere, come matrice associata a T, questa matrice $A=((a,b),(c,d))$ ovvero una matrice quattro per quattro $((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Adesso, non so perchè ma tutto questo non mi convince molto...
Se gentilmente qualcuno potrebbe darmi una mano ne sarei veramente contento.
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
In generale:
In particolare:
Quindi, rispetto alla base naturale:
$((0,1),(1,0))((x_(11),x_(12)),(x_(21),x_(22)))((0,1),(1,0))=((0,1),(1,0))((x_(12),x_(11)),(x_(22),x_(21)))=((x_(22),x_(21)),(x_(12),x_(11)))$
In particolare:
$((0,1),(1,0))((1,0),(0,0))((0,1),(1,0))=((0,1),(1,0))((0,1),(0,0))=((0,0),(0,1))$
$((0,1),(1,0))((0,1),(0,0))((0,1),(1,0))=((0,1),(1,0))((1,0),(0,0))=((0,0),(1,0))$
$((0,1),(1,0))((0,0),(1,0))((0,1),(1,0))=((0,1),(1,0))((0,0),(0,1))=((0,1),(0,0))$
$((0,1),(1,0))((0,0),(0,1))((0,1),(1,0))=((0,1),(1,0))((0,0),(1,0))=((1,0),(0,0))$
Quindi, rispetto alla base naturale:
$T=((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$
Ok perfetto, ho già trovato il primo errore nella prima parte della soluzione... però sto provando a rifare i calcoli ma nel primo passaggio non riesco a ricondurmi al tuo risultato. Che calcolo hai fatto? 
Poi non ho capito bene i passaggi della parte centrale della soluzione; cioè, al posto di moltiplicare la matrice $M$ per la base canonica "intera" posso "dividerlo" in quattro passaggi moltiplicando poi, ogni volta, la matrice $M$ per la canonica di $X_11$, $X_12$, $X_21$ e $X_22$, giusto? In pratica o in un modo o nell'altro posso risolvere l'esercizio?
Poi non ho capito bene i passaggi della parte centrale della soluzione; cioè, al posto di moltiplicare la matrice $M$ per la base canonica "intera" posso "dividerlo" in quattro passaggi moltiplicando poi, ogni volta, la matrice $M$ per la canonica di $X_11$, $X_12$, $X_21$ e $X_22$, giusto? In pratica o in un modo o nell'altro posso risolvere l'esercizio?
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