Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dovrei trovare l'equazioni che descrivono il sottospazio V di $ R^4 $ generato da $ {(1,0,0,4),(2,1,3,2),(1,5,6,0)} $ che ho controllato, formano una base di V. Essendo V di dimV=3, dovremmo in teoria avere n-dimV=1 equazioni che descrivano V.
Però non riesco a trovarle, poichè con l'eliminazione di Gauss imponendo che il rango di A (=3) sia uguale al rango di B...
$ A=( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , 5 ),( 0 , 3 , 6 ),( 4 , 2 , 0 ) ) $ , $ B=( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 4 , 2 , 0 , w ) ) $
viene questo:
$ ( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 0 , 0 , 8 , w-4x+2z ) ) $
che non posso utilizzare...
Ho sbagliato qualcosa/devo provare ...
Una proposizione studiata mi dice che: se ogni v appartenente a V, escluso il vettore nullo, è autovettore per f, allora esiste uno scalare k tale che f= id v. (f, ovviamente, operatore lineare). Capisco, e forse sbaglio, che in questo caso esiste un unico autovalore comune.
Un altro dice che se V è somma diretta di tutti gli autospazi per f(operatore lineare), relativi ai vari autovalori, è diagonalizzabile.
Il secondo non sta a significare che ogni vettore di v è autovalore? Non riesco a ...
Chiamo varietà topologica di dimensione \(\displaystyle n \) uno spazio di Hausdorff a base numerabile localmente euclideo di dimensione \(\displaystyle n \).
Chiamo varietà differenziabile una coppia \(\displaystyle (M, \mathcal U ) \) dove \(\displaystyle M \) è una varietà topologica ed \(\displaystyle \mathcal U \) è un atlante massimale su \(\displaystyle M \). \(\displaystyle \mathcal U \) si chiama struttura differenziabile su \(\displaystyle M \).
Per il teorema di Whitney ogni varietà ...
Salve ragazzi!
Vi propongo una parte di esercizio che in teoria ho svolto ma di cui ho alcuni dubbi, la traccia è la seguente:
Considera l’applicazione lineare $T : RR_(3)[t] -> RR_2$ tale che $T(p(t)) = ((p(1)), (p'(2)))$
(i) Calcola la dimensione del nucleo e dell’immagine di T;
Io ho preso una base di $RR_(3)[t]: {1, t, t^2}$
Ho esplicitato $p(t)={1, t, t^3}$ e $p'(t)={1, 2t}$ per ricavare quindi
$p(1)={1, 1, 1}$ e $p'(2)={1, 4, 0}$
A questo punto la matrice associata all'applicazione lineare dovrebbe essere ...
Buongiorno. Ho trovato un esercizio che chiede di mostrare se i seguenti spazi topologici sono omeomorfi
$ X=[ 0,1] × [0,1 ] $ e $ Y=( 0,1 )× ( 0,1 ) $ .
1)Premetto che a trovare una funzione bicontinua e biunivoca spesso mi mette in difficoltà, quindi, volevo chiedere: è formalmente giusto mettere a confronto le proprietà dei due insiemi? Ad esempio nel caso di $ X $ e $ Y $ espressi sopra, posso dire che $ X $ è chiuso e limitato in $ RR^ 2$ , quindi è ...
Ciao a tutti! Ho questo esercizio in cui non riesco a trovare gli autovalori.
SI trovi per quali valori del parametro complesso k la matrice
$A_k$= $((k,1,2),(1,k,k),(0,0,1))$
è tale che l'endomorfismo associato $L_Ak$: $CC^3$ $rarr$ $CC^3$ sia diagonalizzabile e per tali valori del parametro si esibiscano una base di autovettori e una matrice che diagonalizza $A_k$ .
La matrice è diagonalizzabile se gli autovettori relativi a ciascun ...
Buongiorno ho dei dubbi riguardo il seguente esercizio... nel primo punto da quello che ho fatto ho punti regolari per ogni (u,v) con v diverso da zero. Poi pero non so come calcolare il piano tangente in un punto GENERICO e non stabilito e di seguito quindi anche gli altri punti mi mandano in crisi
L'esercizio è il seguente:
Sia S la superficie parametrizzata da ϕ(u, v) = (uv, vu^2 − v + 1, 1 − v), con (u, v) ∈ R^2.
(1) determinare i punti regolari di S;
(2) determinare il piano tangente ...
Ciao ragazzi, la prossima settimana ho l' esame di algebra e geometria con un professore diciamo stravagante... Spero possiate aiutarmi con questo esercizio di un vecchio esame, grazie in anticipo.
Siano $ V = {(1, 0, 2),(2, 1, 0)} ⊆RR^3 $ e $ W = {(1, 2),(3, 2)} ⊆ RR^2 $
Scrivere la matrice canonicamente associata a una trasformazione lineare g : $RR^3 $ $rarr$ $RR^2$
tale che $ g(Span(V )) = Span(W) $
Io ho pensato di fare cosi' :
$ g(Span(V ))=g(h(1;0;2)+k(2;1;0))=g((h;0;2h))+g((2k;k;0))=(h;2h)+(3k;2k) $
da qui non so più che fare, ...
Salve ragazzi, penso che questa domanda possa essere abbastanza stupida, ma ci tengo a farla .
In un esercizio ho trovato la seguente formula della retta :
\(\displaystyle r : x = y = z = t\)
Ora la mia domanda è :
è in forma parametrica ?
Quindi posso scriverla anche scriverla cosi ? (scusate ma non riesco a fare un'unica parentesi graffa)
{x=y
{y=z
{z=t
Da com'è scritta tutti i valori sono uguali a \(\displaystyle t \) ?
Ed il vettore direttore di questa retta è \(\displaystyle ( 1, ...
Salve a tutti,ho bisogno gentilmente di un grande aiuto.
Mi sono imbattuto in questo esercizio: 'Nel fascio di coniche di equazione 2x^2 - (k+2)y^2 + (x+3)xy - (2x+5)y - 2 =0, determinare le coniche degeneri, i punti base, la conica per il punto di coordinate omogenee (-1,2,0).
Io ho iniziato a risolvere la prima parte,però mi è sorto un dubbio : quando mi chiede di determinare le coniche degeneri all'interno del fascio, devo estrarre le due coniche che formano il fascio e studiarle ...
Ciao a tutti, devo rispondere a questo quesito :" Una matice simmetrica e definita positiva è sempre invertibile?"
Secondo me si perchè essendo simmetrica è invertibile e siccome è definita positiva ha sempre tutti gli autovalori positivi
è corretta come risposta ?
Salve a tutti, non saprei proprio il procedimento per risolvere quesiti analoghi a questo:
In un triangolo rettangolo, un cateto misura i 4/3 dell'altro. Sapendo che l'area del
triangolo misura 24 cm^2 , la lunghezza del cateto minore è?
Se potrei gentilmente avere il procedimento per risolvere il quesito.
Grazie a tutti anticipatamente e spero di aver scelto la giusta sezione.
Buongiorno a tutti, sono sempre io questo esame mi sta uccidendo.
Nel compito d'esame c'era un esercizio in cui $ V=\mathcal(Mat_(3)(mathbb(C) ) ) $ con il prodotto interno $ Vxx Vrarr mathbb(C) $ definito da $ < A,B> = tr(AB^** ) $ dove $ B^** $ è la trasposta della coniugata. Sia W il sottospazio di V delle matrici triangolari superiori e Z il sottopsazio di V delle matrici trinagolari inferiori, si determinino le dimensioni di $ W^_|_ $ e $ Z^_|_ $ e si scriva una base per ciascuno di ...
Sia L : $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ l’applicazione lineare che, rispetto alle basi standard, ha matrice:
$((-1,2,-2),(2,-4,4),(-2,4,-4))$
Trovare una base ortonormale di $RR^3$ che diagonalizza L.
Ho pensato di trovare la matrice diagonalizzante di L e ortogonalizzarla tramite Gram-Schmidt, per poi normalizzarla, può funzionare?
Salve,
ho bisogno di avere un aiuto su questo esercizio.
nello spazio vettoriale R[x] dei polinomi a coefficienti reali siano:
U={p(x) appartenente a R[x] | p(-x)=p(x)}
V={p(x) appartenente a R[x] | p(-x)=-p(x)}
verificare se U e V sono dei sottospazi vettoriali.
Grazie 1000
Saluti
Salve ragazzi ho provato a risolvere questo esercizio, ma ad un certo punto non riesco piu ad andare avanti.
"Si consideri il sottospazio vettoriale di R^3
W={(a,b,c) di R^3 : 5a+2b+7c=0}
-Determinare le equazioni cartesiane, parametriche e una base di W perpendicolare
-dato il vettore v=(0,1,3) trovare la sua proiezione ortogonale su W perpendicolare."
io ho provato cosi:
$ { ( a=-2/5s-7/5t ),( b=s ),( c=t ):} $
$ ( ( a ),( b ),( c ) )= t( ( -7/5),( 0 ),( 1 ) )+s( ( -2/5),( 1 ),( 0 ) ) $
$ W= span{( ( -7/5),( 0 ),( 1 ) )+( ( -2/5),( 1 ),( 0 ) )} $ dove il primo è W1 e il secondo W2
$ W^_|_ = {v=(a,b,c): <v,W1> =0; <v,W2> =0} $
le ...
Ciao, sto cercando di capire un esercizio svolto dalla mia prof di matematica, credo che abbia sbagliato a svolgerlo, oppure non ho capito qualcosa io.
Questo è l'esercizio:
Calcolare il determinante della matrice
$\{(x1 + x2 + kx3 = k),(2x1 - x3= 1),(-x1 + kx2 + 2x3= 0):}$
E la prof lo svolge così:
$((1,1,k),(2,0,1),(-1,k,2))$
"Si vede che det(A) = $k-3+2k=0"$
A me invece continua a venirmi così:
$((1,1,k),(2,0,-1),(-1,k,2))$
E il determinante mi viene : det(A) = $k-3+2k^2$
cos' ho sbagliato ??
Salve , avrei dei dubbi su questi due punti di un'esercizio:
Siano date le basi $U = (1,1,0,0),(0,-1,0,0) $ e $ V = (1,0,0,0),(0,1,1,1)$
A ) Stabilire se esiste una matrice A ∈ M4(R) avente U e V come autospazi (relativi a due autovalori diversi).
B ) Costruire, se possibile, una funzione lineare $f : R^4 → R^4$ tale che $ker(f) = U, Im(f) = V $.
Allora la A) secondo me non esiste, perchè due autospazi relativi a due autovalori diversi sono in somma diretta ( e non è questo il caso).
Il punto B invece è possibile? Ad ...
Buongiorno, la mia domanda è piuttosto semplice. Se scrivo dei vettori di R^n in una matrice, facendo loro corrispondere le righe della matrice, ed eseguo delle operazioni elementari sulle righe stesse, il rango non cambia e posso vedere, calcolando ad esempio il determinante con il metodo dei minori orlati, dopo una riduzione parziale, o riducendo a gradini completamente, qual è il rango, e quindi se i vettori sono tutti linearmente indipendenti o, nel caso, quanti vettori lo sono. Ma è ...
Ho un problema con questo esercizio, non riesco a capire come trovare la matrice da cui poi ricavare autovalori eccetera.
Sia B={$e_1$+$e_2$, $e_1$-$e_2$} una base di $RR^2$ e T: $RR^2$ $rarr$ $RR^2$ l'unico endomorfismo tale che
T(1,1)= (3,-1)
T(1,-1)=(9,-3)
si determinino gli autovalori e gli autospazi di T, se ne discuta la diagonalizzabilità e se l'endomorfismo è diagonalizzabile, si trovi una ...
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