Esercizio sulla base ed immagine di un'applicazione lineare

[giulio013]

Ho svolto l'esercizio e volevo sapere se è svolto correttamente.

- Data un'applicazione lineare f:R4 -> R3, (x,y,z,t) -> (x+y, y+z, z-x), scrivere una base kerf (nucleo di f) e una base di Imf(immagine di f).

Per prima cosa mi trovo il rango, poiché trovando il rango trovo anche la dimensione dell'immagine, quindi faccio il sistema:
$ { ( x+y = 0 ),( y + z = 0 ),( z - x = 0 ):} $

poi faccio la matrice associata (i termini noti sono l'ultima colonna):

$ ( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ) ) $

Qui il mio dubbio sta nel fatto che le incognite in R4 sono 4 mentre in R3 sono 3 quindi non sapevo se considerare nella matrice associata anche la t secondo l'ordine (x,y,z,t) cosa che non ho fatto, fatto bene?
faccio l'eliminazione di Gauss e trovo che il rango è 3, quindi la dimensione del kernel sarebbe uguale ad 1.
Poi per trovarmi una base dell'immagine allora risolvo il sistema trovato con Gauss, corretto?

[cooper1]

la matrice associata è corretta. ora sai che le colonne della matrice rappresentativa sono un sistema di generatori per l'immagine e dunque riducendo con Gauss e trovando le colonne l.i. hai trovato una base dell'immagine.
per la base del nucleo devi invece estrarre una base da quel sistema omogeneo.