Analisi superiore

Buondì, vorrei un controllo su queste dimostrazioni dove temo di non aver usato qualche ipotesi. Teorema: Sia $(\X, \mathcal{M}, \mu)$ uno spazio di misura con $\mu$ completa e sia $\{f_n\}_{n \in NN}$ una successione di funzioni misurabili. Allora (i) Se $f_n \overset{\mu}{\to} f$ e $f_n \overset{\mu}{\to} g$ con $f$ e $g$ misurabili, allora $f \overset{\text{q.o.}}{=}g$. (ii) Se $f_n \overset{\mu}{\to} f$ con $f$ misurabile e esiste $g$ misurabile tale che ...

Buongiorno a tutti, Mi sono imbattuta in questa uguaglianza.. $$ \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} * (pq)^n * s^{2n} = \frac{1}{\sqrt{1-4pqs^2}}$$ Come si risolve? Usando arcsin? Non so proprio come fare. Grazie a tutti!

Buonasera , nell'esame di qualche giorno fa, ho avuto tale funzione: [tex]f(z) = \frac{e^{iz}-i}{cos(z)^{2}}[/tex] nel punto [tex]3 \pi/2[/tex] la funzione presenta un polo del secondo ordine. Mi è stato chiesto di calcolarne il residuo. Ho pensato di applicare la definizione e quindi di calcolare: [tex]\lim_{z->3\pi/2} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(\frac{(z-\frac{3\pi}{2})^2 (e^{iz}-i)}{cos(z)^2})[/tex] Tuttavia i calcoli sono molto lunghi.. calcolo prima la derivata, applico ...

Buongiorno a tutti, sto cercando di risolvere la seguente equazione: $$2q_i=q_{i+1}+q_{i−1}$$ con condizioni $q_0=0$ e $q_N=1$. Devo trovare tutte le soluzioni $q_i$ per $i=0,...,N$. AGGIORNAMENTO: ho scoperto che la soluzione deve essere della forma $q_i=A*i+C$, dove $A$ e $C$ sono costanti i cui valori si ottengono usando le condizioni al bordo, ovvero $C=0$ e ...

Ciao a tutti, è il mio primo post in analisi superiore, mi sento un po' in soggezione L'argomento è la misura di Lebesgue: ho un dubbio sul seguente Teo. Per ogni collezione numerabile ${E_k}_k$ di sottoinsiemi mutuamente disgiunti di $M(RR^n)$ si ha $mu(uuu_k^(oo)E_k)=sum_k^(oo)mu(E_k)$ Riporto due proposizioni che vengono utilizzate nella dimostrazione: Prop 1. Un sottoinsieme $E$ di $RR^n$ è misurabile se e solo se per ogni $epsilon>0$ esiste un insieme ...

Salve a tutti, non ho ben capito come si applica il Lemma di Sard. Posso applicarlo alla seguente proposizione per affermare che i fronti che ammettono margini cuspidali sono un sottoinsieme denso dei fronti? Per fronte s'intende una particolare varietà. "Siano p un punto singolare non degenere del fronte f, $\gamma$ la curva singolare passante per p e $\eta $ un campo vettoriale nullo lungo $\gamma$. Allora: p=$\gamma(t_0)$ è un margine cuspidale se e solo se ...

Ciao a tutti, ho un dubbio sugli spazi $L^p$ Se ho una successione di funzioni $f_n$ che sta in un certo $L^p(\Omega)$ con $p\in(1,+i\infty)$ è automatico dire che $||f_n||_p<\infty$ ??

Ciao a tutti! Durante una lezione il prof ha svolto il seguente esercizio. Sia $Omega = {(x,y,z) : (x+y+z)^2 + (y-z)^2 <= (x-y+z)^2, 1<=y+z<=2}$ Valutare se $Omega$ è limitato, misurabile e nel caso calcolarne il volume. Nel svolgerlo considera l'applicazione $phi(x,y,z) = (x+y+z, y-z, x-y+z)$ e dopo aver verificato che il determinante del gradiente di $phi$ è diverso da zero ha posto $phi(x,y,z)=(u,v,w)$ e risultando l'applicazione lineare e invertibile manda insiemi limitati in insiemi limitati quindi per valutare la limitatezza ...

Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo. Dimostrare che $B$ è un boreliano $<=> f(B)$ è un boreliano. Non so da dove cominciare, forse perchè ho capito come è fatto un boreliano, ma formalmente non saprei lavorarci. So che gli aperti sono boreliani, quindi siccome la mia funzione è un omeomorfismo ($f^(-1)$ è continua) manda aperti in aperti. Stessa cosa con i chiusi. Ma non è questo il modo di lavorare, anche perchè sicuramente mi sfuggirà qualche boreliano. Come ...

Sia $Gamma={z in CC: |z|=R}, R>0$. Calcolare $ oint_(Gamma) 1/zdz $. Discutere le conseguenze quanto a: (i)l'esistenza di una primitiva di $1/z$ su tutto $CC \setminus {0}$. (ii)l'eventuale esistenza di un logaritmo complesso su $C \setminus {0}$. Sol.: Evidentemente $Gamma$ è una curva di Jordan (chiusa, $C^1$, e iniettiva). L'inghippo nel poter applicare G-C sta nel fatto che $Int(Gamma)$ non è contenuto in $A$, con ...

Ciao a tutti, è il mio primo post in questo forum e spero di scriverlo correttamente. Probabilmente la mia domanda è banale, ma avrei bisogno di una spiegazione dettagliata dell'esercizio seguente: Avendo $X=C[-1,1]$, e la funzione: $\delta_0: f in X -> f(0)$ Mostrare che $delta_0$ è continua da $(X, \norm{}_\infty)$ a $(\R, ||)$ ma non è continua da $(X, \norm{}_\1)$ a $(\R, ||)$. Grazie mille e buona giornata!

Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio e ringrazio chiunque di offrisse di darmi una mano. Sono veramente in crisi. L’origine Ω di una semiretta si muove su un piano (x, y), con base di versori (⃗e1, ⃗e2, ⃗e3), de- scrivendo una circonferenza (O, R) con velocitascalare s ̇. In ogni istante la semiretta passa per un punto P che percorre la stessa circonferenza con velocita scalare 3s ̇. Detto ⃗ε1 il versore della semiretta, e ⃗εe = ⃗e3, determinare base e rulletta del moto di (Ω, ...

Salve! Devo svogere il seguente integrale usando il th dei residui: $ \int _{partial D}(4z+pi)/((e^(4iz)+1)cos2z) $ Ora mi trovo che ha un polo in $pi/4$ . Il problema è che non riesco a classificarne l'ordine. Wolfram mi dice che è un polo del secondo ordine, ma per verificarlo dovrei svolgere il $ lim _{x->pi/4} (z-pi/4)^2 (4z+pi)/((e^(4iz)+1)cos2z) $ , cosa che non mi pare fattibile. L'altra opzione è calcolarsi la serie di Laurent in un intorno di pi/4 e calcolare il termine $ a_(-1) $ . Qualcuno ha idea di come si faccia? Grazie per ...

Ciao a tutti, in Analisi 3 abbiamo dimostrato la ML-inequality e subito dopo mi e' stato proposto il seguente esercizio, nel quale non sono certo della risoluzione. Stimare l'integrale $ int_{Gamma} z^2 + bar(z)^4 +5 dz $, dove $Gamma$ e' il quarto di circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine. (sugg. disuguaglianza triangolare) Evidentemente, $|Gamma|=pi/2$ (alternativamente potevo calcolare ) $ int_{0}^{pi/2} |gamma'(t)|dt $ , dove $gamma$ e' la ...

Salve, vi scrivo per un aiuto riguardante il seguente esercizio: Sia $ h(x)=(sinx/x)^2 $ Verificare che $ hin L^1(mathbb(R) ) $ e calcolare la sua trasformata di Fourier Qualcuno può darmi dei suggerimenti su come svolgere l'esercizio? Perchè non so proprio da dove cominciare! Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte

Sono alla prese con la dimostrazione della seguente proposizione, vorrei sapere se ho scritto troppe scemenze o no: Proposizione: Sia $(X, \mathcal{M}, \mu)$ uno spazio di misura e siano $f,g : X \to RR$ tali che $f$ è misurabile, $f=g $ q.o. $\quad \quad$ (1) Allora (i) Se lo spazio è completo allora (1) implica che $g$ è misurabile. (ii) Se per ogni coppia di funzioni $f,g$ che rispettano la (1) si ha che $g$ è misurabile, ...

Dato \(s \in \mathbb{R}\), sia \(H^s (\mathbb{R}^n) \) lo spazio di Sobolev definito usando la trasformata di Fourier. Conosco una dimostrazione del problema nel titolo, ma fa uso della decomposizione di Littlewood-Paley e di alcune sue proprietà. Ci si può arrivare per altre strade?

Ciao a tutti, sono alla prese con l'equazione di Burgers $ (delu)/(delx) + u*(delu)/(delz) = 0 $ , con condizione iniziale $ g(x)={ ( 0rarr x<=0 vv x>=2 ) ,( x rarr 0<=x<=1),( 2-x rarr 1<=x<=2):} $ , essendo $ u(0,x)=g(x) $ . Nella transizione tra le prime due definizioni non ho problemi, dato che a sinistra le caratteristiche sono tutte parallele con pendenza pari a zero, mentre a destra partono con pendenza pari a zero ma dipendente dal valore di x0. Il problema sorge tra il secondo e il terzo intervallo: dato che le caratteristiche si intersecano mi aspetterei di ...

Salve ragazzi, in una traccia d'esame mi è stato chiesto di verificare se la seguente funzione, appartenesse o meno allo spazio L1. Il prof faceva riferimento a una piccola dimostrazione per verificarlo, ma io non riesco a capire la procedura. La funzione è : (senx/x)^2. Grazie per l'attenzione e buona giornata

Sera! Qualcuno sa dirmi dove posso trovare una dimostrazione di questo fatto? Teorema Sia $(X,d)$ metrico e $\mu$ una misura esterna su $X$. Se per ogni $E,F\subseteq X$, con $d(E,F)>0$, vale \[\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)\] allora $\mu$ è una misura esterna boreliana (ovvero i boreliani di $X$ sono $\mu$-misurabili).