Integrale trigonometrico con teorema dei residui
Buon pomeriggio,
sto svolgendo il seguente esercizio assegnatomi, e preso dal testo Complex Analysis - Mathews, Howell.
A lezione abbiamo trattato gli integrali trigonometrici, con funzione $f(cos(t),sin(t))$, e abbiamo visto come ponendo $z=e^{it}$ sia possibile ricondurre l'integrale sul periodo al calcolo dei residui all'interno di $\Gamma={z \in \mathbb{C}: |z| < 1}$ della funzione $-i/zf((z+z^-1)/2,(z-z^-1)/(2i))$.
Ho provato quest'ultima strada ma, com'era prevedibile, giungo a qualcosa di estremamente laborioso:
la funzione che ottengo è $ (-i(z^6+1))/(2z^5*(10z^2-3z^4-3)) $.
Pertanto ho:
sto svolgendo il seguente esercizio assegnatomi, e preso dal testo Complex Analysis - Mathews, Howell.
Calculate
$ int_(0)^(2pi) (cos^2(3t))/(5-3cos(2t)) dt $
Hint: Laurent series
A lezione abbiamo trattato gli integrali trigonometrici, con funzione $f(cos(t),sin(t))$, e abbiamo visto come ponendo $z=e^{it}$ sia possibile ricondurre l'integrale sul periodo al calcolo dei residui all'interno di $\Gamma={z \in \mathbb{C}: |z| < 1}$ della funzione $-i/zf((z+z^-1)/2,(z-z^-1)/(2i))$.
Ho provato quest'ultima strada ma, com'era prevedibile, giungo a qualcosa di estremamente laborioso:
la funzione che ottengo è $ (-i(z^6+1))/(2z^5*(10z^2-3z^4-3)) $.
Pertanto ho:
- 1. un polo di ordine $5$ in $z=0$
2. Risolvendo la biquadratica trovo che le singolarità interne a $Gamma$ sono per $z_{2,3}=+-sqrt(3)/3$, e sono poli di ordine $2$ entrambi.
[/list:u:1ht5ladj]
Solo per il primo polo dovrei calcolare la derivata quinta della $f$ e fare il solito limite.
A sto punto ho cercato di "interpretare" il suggerimento: dovrei calcolare lo sviluppo di Laurent dell'integranda di partenza (quella col coseno) e poi andare a vedere il cofficiente $c_{-1}$ ? Ho cercato un po' su internet ma non abbiamo visto ancora prodotto di Cauchy in serie.
Oppure devo scomporre la funzione $ (-i(z^6+1))/(2z^5*(10z^2-3z^4-3)) $ in fratti semplici e poi cercare tramite stratagemmi algebrici di scriverne lo sviluppo in serie di Laurent in $Gamma$ e vedere quanto vale il coefficiente $c_{-1}$?
Grazie a chiunque avrà la pazienza di cimentarsi
Risposte
Non mi risulta il numeratore:
$(cos^2 3t)/(5-3cos2t)=(cos^2t(3-4cos^2t)^2)/(2(4-3cos^2t))=((z^2+1)^2/(4z^2)[3-(z^2+1)^2/z^2]^2)/(2[4-(3(z^2+1)^2)/(4z^2)])=((9(z^2+1)^2)/(4z^2)-(3(z^2+1)^4)/(2z^4)+(z^2+1)^6/(4z^6))/(8-(3(z^2+1)^2)/(2z^2))=$
$=((z^2+1)^2[9z^4-6z^2(z^2+1)^2+(z^2+1)^4])/(2z^4[16z^2-3(z^2+1)^2])=$
$=((z^2+1)^2[9z^4-6z^2(z^4+2z^2+1)+(z^4+2z^2+1)^2])/(2z^4(-3z^4+10z^2-3))=$
$=((z^2+1)^2(9z^4-6z^6-12z^4-6z^2+z^8+4z^4+1+4z^6+2z^4+4z^2))/(2z^4(-3z^4+10z^2-3))=$
$=((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(2z^4(-3z^4+10z^2-3))$
Non mi pare di aver commesso errori.
$(cos^2 3t)/(5-3cos2t)=(cos^2t(3-4cos^2t)^2)/(2(4-3cos^2t))=((z^2+1)^2/(4z^2)[3-(z^2+1)^2/z^2]^2)/(2[4-(3(z^2+1)^2)/(4z^2)])=((9(z^2+1)^2)/(4z^2)-(3(z^2+1)^4)/(2z^4)+(z^2+1)^6/(4z^6))/(8-(3(z^2+1)^2)/(2z^2))=$
$=((z^2+1)^2[9z^4-6z^2(z^2+1)^2+(z^2+1)^4])/(2z^4[16z^2-3(z^2+1)^2])=$
$=((z^2+1)^2[9z^4-6z^2(z^4+2z^2+1)+(z^4+2z^2+1)^2])/(2z^4(-3z^4+10z^2-3))=$
$=((z^2+1)^2(9z^4-6z^6-12z^4-6z^2+z^8+4z^4+1+4z^6+2z^4+4z^2))/(2z^4(-3z^4+10z^2-3))=$
$=((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(2z^4(-3z^4+10z^2-3))$
Non mi pare di aver commesso errori.
Come al solito grazie mille SE.
Ok, ho trovato quello che non andava nei conti: fatto sta che però non riesco proprio a muovermi. Calcolare i residui attorno ai poli rimane comunque un'ardua impresa con il limite standard (da qui l'hint del testo).
Quello che non riesco a capire è come posso, da questa espressione, scrivere la serie di Laurent. Mi viene in mente di scrivere il denominatore come $2z^4*(z - sqrt(3))*(z+sqrt(3))*(z-sqrt(3)/3)(z+sqrt(3)/3)$ e cercare di scrivere qualcosa con la serie geomtrica ma non cavo fuori nulla di interessante.
Tu credi che ci sia da sviluppare qui in serie di Laurent oppure già dall'espressione di partenza?
Ok, ho trovato quello che non andava nei conti: fatto sta che però non riesco proprio a muovermi. Calcolare i residui attorno ai poli rimane comunque un'ardua impresa con il limite standard (da qui l'hint del testo).
Quello che non riesco a capire è come posso, da questa espressione, scrivere la serie di Laurent. Mi viene in mente di scrivere il denominatore come $2z^4*(z - sqrt(3))*(z+sqrt(3))*(z-sqrt(3)/3)(z+sqrt(3)/3)$ e cercare di scrivere qualcosa con la serie geomtrica ma non cavo fuori nulla di interessante.
Tu credi che ci sia da sviluppare qui in serie di Laurent oppure già dall'espressione di partenza?
Il valore dovrebbe essere il seguente (Wolfram):
Concordo sullo sviluppare in serie di Laurent. Ti faccio sapere.
Concordo sullo sviluppare in serie di Laurent. Ti faccio sapere.
Grazie ancora, se riesco a tirar fuori qualcosa scriverò qui in ogni caso 
Non ho capito se hai delle difficoltà anche nello sviluppo in $[z=0]$:
$(-i(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(2z^5(-3z^4+10z^2-3))=-i/(2z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)$
Poichè:
$((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)$
è olomorfa in $[z=0]$, è sufficiente determinare il coefficiente del termine $z^4$:
$(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1)1/(-3(1-10/3z^2+z^4))$
utilizzando la serie geometrica per trattare la frazione. Mi pare fattibile.
$(-i(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(2z^5(-3z^4+10z^2-3))=-i/(2z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)$
Poichè:
$((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)$
è olomorfa in $[z=0]$, è sufficiente determinare il coefficiente del termine $z^4$:
$(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1)1/(-3(1-10/3z^2+z^4))$
utilizzando la serie geometrica per trattare la frazione. Mi pare fattibile.
"anonymous_0b37e9":
Poichè:
$((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)$
è olomorfa in $[z=0]$, è sufficiente determinare il coefficiente del termine $z^4$:
Non mi torna il motivo per cui è necessario conoscere solo il coefficiente di $z^4$. Quindi tu qui stai cercando di sviluppare il pezzo che ho citato in serie di Laurent , corretto?
E per farlo scrivi il denominatore in modo da poter usare la serie geoemtrica, anche qui spero di non scrivere castronerie.
Dalla tua messa in evidenza avrei $ (z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1)1/(-3(1-10/3z^2+z^4))=(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1)*(-1/3)*sum_{n=0}^(infty)(10/3z^2+z^4) $
Una volta fatto questo, dovrei riconoscere a occhio quanto vale il residuo, essendo questo il coefficiente di della potenza $-1$-esima di $z$. Ma poiché questa non compare, il residuo in $[z=0]$ è nullo?
Inutile scomodare la serie:
$(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1)1/(-3(1-10/3z^2+z^4))=$
$=-1/3(z^4+2z^2+1)[3z^4-2z^2+1+o(z^4)][1+10/3z^2-z^4+100/9z^4+o(z^4)]$
Di questo prodotto devi determinare il coefficiente $c_4$ del termine $z^4$. Il residuo è $[-i/2c_4]$.
$(z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1)1/(-3(1-10/3z^2+z^4))=$
$=-1/3(z^4+2z^2+1)[3z^4-2z^2+1+o(z^4)][1+10/3z^2-z^4+100/9z^4+o(z^4)]$
Di questo prodotto devi determinare il coefficiente $c_4$ del termine $z^4$. Il residuo è $[-i/2c_4]$.
Ok, prima di controllare vorrei capire perché proprio il coefficiente di $z^4$. Io so che il residuo è il coefficiente della potenza $-1$-esima di $z$.
Come avrai notato sono alle primi armi con l'analisi complessa, perciò ti chiedo scusa se sembro "duro", ma anche riguardando gli appunti non trovo una spiegazione valida
Come avrai notato sono alle primi armi con l'analisi complessa, perciò ti chiedo scusa se sembro "duro", ma anche riguardando gli appunti non trovo una spiegazione valida
Ho aggiunto qualcosa. Forse è più chiaro. Ti ricordo che devi moltiplicare per $[-i/(2z^5)]$. Così facendo ottieni il coefficiente $c_(-1)$ di $1/z$.
Quindi, moltiplicando per $-i/(2z^5)$, ottengo proprio il coefficiente della potenze $-1$-esima! Ci sono finalmente! (oggi sono proprio fuso).
Mentre per gli altri punti, sostanzialmente devo agire allo stesso modo, sempre sviluppando con Laurent immagino.
Mentre per gli altri punti, sostanzialmente devo agire allo stesso modo, sempre sviluppando con Laurent immagino.
Ci ho ripensato. Trattandosi di poli del 2° ordine è meglio la formula. Prima o poi faccio i conti. Sono fattibili, anche perché i poli sono reali e opposti.
In effetti è sufficiente fare il limite per $z \rarr z_0$ di $((z-z_0)^2f(z))'$, con $z_0=sqrt(3)/3$.Provo pure io. Grazie mille SE, mi hai dato una grandissima mano !
Da conti precedenti mi risulta che il residuo nel polo $z=0$ vale $[-i/2*(-91/27)]=[i91/54]$
An sì, ma i poli $z_{1,2}=+-sqrt(3)/3$ sono del prim'ordine!
Per cui, calcolando $[lim_(z -> z_1) (z-z_1)f(z)=-49/54\mathbb{i} ]$ . Dal momento che sono reali e opposti, anche il limite per $z \rarr z_2$ risulta $[-49/54\mathbb{i}]$.
In definitiva
Per cui, calcolando $[lim_(z -> z_1) (z-z_1)f(z)=-49/54\mathbb{i} ]$ . Dal momento che sono reali e opposti, anche il limite per $z \rarr z_2$ risulta $[-49/54\mathbb{i}]$.
In definitiva
$ int_(0)^(2pi) (cos^2(3t))/(5-3*cos(2t))dt=2*pi*\mathbb{i}*(-49/54mathbb{i] - 49/54mathbb{i] +91/54mathbb{i])=7pi/27 $
"feddy":
... ma i poli $[z_(1,2)=+-sqrt(3)/3]$ sono del 1° ordine ...
Hai senz'altro ragione, non me ne ero accorto. A questo punto, poiché:
$-i/(2z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/(-3z^4+10z^2-3)=i/(6z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/((z+sqrt3/3)(z-sqrt3/3)(z^2-3))$
per il calcolo dei residui:
$Res(-sqrt3/3)=lim_(z->-sqrt3/3)i/(6z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/((z-sqrt3/3)(z^2-3))=-49/54i$
$Res(sqrt3/3)=lim_(z->sqrt3/3)i/(6z^5)((z^2+1)^2(z^8-2z^6+3z^4-2z^2+1))/((z+sqrt3/3)(z^2-3))=-49/54i$
Inoltre:
$-1/3(z^4+2z^2+1)[3z^4-2z^2+1+o(z^4)][1+10/3z^2-z^4+100/9z^4+o(z^4)]=...-91/27z^4+... rarr$
$rarr Res(0)=91/54i$
In definitiva:
$\int_{0}^{2\pi}cos^2(3t)/(5-3cos(2t))dt=2\pii(-49/54i-49/54i+91/54i)=7/27\pi$
Per essere sicuro ho rifatto i conti. Insomma, siamo a cavallo.
Ahaha non ti fidavi proprio, eh? 
Anzi, ti ringrazio moltissimo, era uno dei primi esercizi che facevo e avevo bisogno di conferme.
Anzi, ti ringrazio moltissimo, era uno dei primi esercizi che facevo e avevo bisogno di conferme.
"anonymous_0b37e9":
Prima o poi faccio i conti.
Ho mantenuto una promessa. Buon proseguimento.
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