Esponenziale immaginario come limite di una successione
Salve a tutti.
Studiando gli operatori lineari nello spazio di Hilbert mi sono imbattuto in una questione spinosa che ora vi presento.
In $L^2(\mathbbR)$ l'operatore $A$ definito sul dominio $D_A={f\inL^2(\mathbbR), f_(AC), f'\inL^2(\mathbbR)}$ che agisce come $Af=-i(df)/dx$ risulta essere autoaggiunto (siete d'accordo?). Il suo spettro puntuale è vuoto e anche quello residuo, dal momento che l'operatore è autoaggiunto. L'equazione agli autovalori è
$-i(d)/dxf=\lambdaf$ che restituisce $f=Ce^(i\lambdax)\notinL^2(\mathbbR)$.
D'altra parte, leggo da alcune dispense, è possibile trovare una successione di elementi ${f_n}_n\inD_A$ tale che
$lim_n ||Af_n-\lambdaf_n||=0$.
I miei dubbi sono i seguenti:
1 - Quali sono le funzioni $f_n$?
Dalle suddette dispense risulta che
$f_n(x)= { ( 0\ " se "x\notin(-n-1,n+1) ),( e^(i\lambdax)\ " se "x\in(-n,n) ),( g_n(x)\ " se "x\in(-n-1,-n) uu (n, n+1) ):} $
Dove non ho prestato molta attenzione alle parentesi degli intervalli. Riformulando la domanda: come sono fatte le $g_n$?
2 - Siamo in presenza di spettro continuo il che vuol dire che
$R_\lambda=(A-\lambda\mathbbI)^(-1)$ esiste ma non è limitato (solo per $\lambda$ reale immagino). Come si dimostra questa affermazione?
Grazie!
Studiando gli operatori lineari nello spazio di Hilbert mi sono imbattuto in una questione spinosa che ora vi presento.
In $L^2(\mathbbR)$ l'operatore $A$ definito sul dominio $D_A={f\inL^2(\mathbbR), f_(AC), f'\inL^2(\mathbbR)}$ che agisce come $Af=-i(df)/dx$ risulta essere autoaggiunto (siete d'accordo?). Il suo spettro puntuale è vuoto e anche quello residuo, dal momento che l'operatore è autoaggiunto. L'equazione agli autovalori è
$-i(d)/dxf=\lambdaf$ che restituisce $f=Ce^(i\lambdax)\notinL^2(\mathbbR)$.
D'altra parte, leggo da alcune dispense, è possibile trovare una successione di elementi ${f_n}_n\inD_A$ tale che
$lim_n ||Af_n-\lambdaf_n||=0$.
I miei dubbi sono i seguenti:
1 - Quali sono le funzioni $f_n$?
Dalle suddette dispense risulta che
$f_n(x)= { ( 0\ " se "x\notin(-n-1,n+1) ),( e^(i\lambdax)\ " se "x\in(-n,n) ),( g_n(x)\ " se "x\in(-n-1,-n) uu (n, n+1) ):} $
Dove non ho prestato molta attenzione alle parentesi degli intervalli. Riformulando la domanda: come sono fatte le $g_n$?
2 - Siamo in presenza di spettro continuo il che vuol dire che
$R_\lambda=(A-\lambda\mathbbI)^(-1)$ esiste ma non è limitato (solo per $\lambda$ reale immagino). Come si dimostra questa affermazione?
Grazie!
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